第一节定积分.ppt

第一节定积分
第1页，共28页，2022年，5月20日，17点32分，星期六
第一节
一、定积分问题举例
二、 定积分的定义
三、 定积分的性质
定积分的概念及性质
第五章
第2页，共28页，2022年，5月第一节定积分
第1页，共28页，2022年，5月20日，17点32分，星期六
第一节
一、定积分问题举例
二、 定积分的定义
三、 定积分的性质
定积分的概念及性质
第五章
第2页，共28页，2022年，5月20日，17点32分，星期六
一、定积分问题举例
1. 曲边梯形的面积
设曲边梯形是由连续曲线
以及两直线
所围成 ,
求其面积 A .
矩形面积
梯形面积
第3页，共28页，2022年，5月20日，17点32分，星期六
解决步骤 :
1) 大化小.
在区间 [a , b] 中任意插入 n –1 个分点
用直线
将曲边梯形分成 n 个小曲边梯形;
2) 常代变.
在第i 个窄曲边梯形上任取
作以
为底 ,
为高的小矩形,
并以此小
梯形面积近似代替相应
窄曲边梯形面积
得
第4页，共28页，2022年，5月20日，17点32分，星期六
3) 近似和.
4) 取极限.
令
则曲边梯形面积
第5页，共28页，2022年，5月20日，17点32分，星期六
2. 变速直线运动的路程
设某物体作直线运动,
且
求在运动时间内物体所经过的路程 s.
解决步骤:
1) 大化小.
将它分成
在每个小段上物体经
2) 常代变.
得
已知速度
n 个小段
过的路程为
第6页，共28页，2022年，5月20日，17点32分，星期六
3) 近似和.
4) 取极限 .
上述两个问题的共性:
解决问题的方法步骤相同 :
“大化小 , 常代变 , 近似和 , 取极限 ”
所求量极限结构式相同:
特殊乘积和式的极限
第7页，共28页，2022年，5月20日，17点32分，星期六
二、定积分定义
任一种分法
任取
总趋于确定的极限 I ,
则称此极限 I 为函数
在区间
上的定积分,
即
此时称 f ( x ) 在 [ a , b ] 上可积 .
记作
第8页，共28页，2022年，5月20日，17点32分，星期六
积分上限
积分下限
被积函数
被积表达式
积分变量
积分和
定积分仅与被积函数及积分区间有关 ,
而与积分
变量用什么字母表示无关 ,
即
第9页，共28页，2022年，5月20日，17点32分，星期六
定积分的几何意义:
曲边梯形面积
曲边梯形面积的负值
各部分面积的代数和
第10页，共28页，2022年，5月20日，17点32分，星期六
定理1.
定理2.
且只有有限个间断点
可积的充分条件:
(证明略)
例1. 利用定义计算定积分
解:
将 [0,1] n 等分, 分点为
取
第11页，共28页，2022年，5月20日，17点32分，星期六
注
第12页，共28页，2022年，5月20日，17点32分，星期六
[注] 利用
得
两端分别相加, 得
即
第13页，共28页，2022年，5月20日，17点32分，星期六
例2. 用定积分表示下列极限:
解:
第14页，共28页，2022年，5月20日，17点32分，星期六
说明:
根据定积
分定义可得如下近似计算方法:
将 [a , b] 分成 n 等份:
(左矩形公式)
(右矩形公式)
第15页，共28页，2022年，5月20日，17点32分，星期六
(梯形公式)
为了提高精度, 还可建立更好的求积公式, 例如辛普森
公式, 复化求积公式等,
并有现成的数学软件可供调用.
第16页，共28页，2022年，5月20日，17点32分，星期六
三、定积分的性质
(设所列定积分都存在)
( k 为常数)
证:
= 右端
第17页，共28页，2022年，5月20日，17点32分，星期六
证: 当
时,
因
在
上可积 ,
所以在分割区间时, 可以永远取 c 为分点 ,
于是
第18页，共28页，2022年，5月20日，17点32分，星期六
当 a , b , c 的相对位置