第1节特征值与特征向量、相似矩阵.ppt

§1 特征值与特征向量、相似矩阵
第五章矩阵的特征值与特征向量
§2 矩阵可对角化的条件、实对称
矩阵的对角化
§1 特征值与特征向量、相似矩阵
一、特征值与特征向量
二、相似矩阵
§1 特征值与特征向量、相似矩阵
§1 特征值与特征向量、相似矩阵
一、特征值与特征向量
定义1:
列向量,使得
则称数为方阵A的一个特征值,非零向量称为
设A是n阶方阵,若对于数,存在n维非零
A的属于特征值的一个特征向量.
注:
存在非零向量使
1 特征值与特征向量、相似矩阵
设是一个未知量,矩阵称为A的
定义2:
特征矩阵,它的行列式
特征方程,其根称为A的特征根,即A的特征值.
称为A的特征多项式. 方程称为A的
注. n阶方阵A在复数范围内有n个特征值.
1 特征值与特征向量、相似矩阵
(1 )
若是A的属于特征值的特征向量,则
也是A的属于的特征向量.
(3) 特征向量不是被特征值所唯一确定的.
(4) 特征值是被特征向量所唯一确定的.
(一个特征值可以有多个特征向量)
(一个特征向量只能属于一个特征值)
(2)
也是A的属于的特征向量.
若是A的属于特征值的特征向量,
则不全为零
1 特征值与特征向量、相似矩阵
求矩阵的特征值与特征向量的一般步骤
ii)把所求得的特征值逐个代入方程组
的全部线性无关的特征向量.
并求出它的一组基础解系,它们就是属于这个特征值
全部特征值.
i)求A的特征多项式的全部根,它们就是A的
1 特征值与特征向量、相似矩阵
.
.
.
例题
1 特征值与特征向量、相似矩阵
性质1:n阶矩阵A与它的转置矩阵的特征值相同.
性质3:已知为n阶矩阵A的一个特征值,则
(1) 必有一个特征值为;
(2) 必有一个特征值为;
主要性质
① A的全体特征值的和=
② A的全体特征值的积=
性质2:设n阶矩阵,则
1 特征值与特征向量、相似矩阵
(3) 必有一个特征值为;
(4)A可逆时, 必有一个特征值为;
(5)A可逆时, 必有一个特征值为;
(6)多项式必有一个特征值为.
,则A的特征值
只能是1或2.
1 特征值与特征向量、相似矩阵
:1,2,3,求
行列式.
:1,—1,2,求
行列式.
例5:已知3阶矩阵A的特征值为:1,-1,2,
则矩阵的特征值为: ,
行列式= .
1 特征值与特征向量、相似矩阵