一线三等角.docx

Revised on November 25, 2020
一线三等角
一线三等角问题
一、问题引入
如图，中，，，过D作交BC延长线与E。
求证：
其他常见的一线三等角图形
（等腰三角形中底边上一线三等Revised on November 25, 2020
一线三等角
一线三等角问题
一、问题引入
如图，中，，，过D作交BC延长线与E。
求证：
其他常见的一线三等角图形
（等腰三角形中底边上一线三等角） （等腰梯形中底边上一线三等角）
（直角坐标系中一线三等角） （矩形中一线三等角）
（1）等腰三角形中一线三等角
例1、 如图，已知在△ABC中， AB=AC=6，BC=5，D是AB 上一点，BD=2，E是BC 上一动点，联结DE，并作，射线EF交线段AC于F．
（1）求证：△DBE∽△ECF；
（2）当F是线段AC中点时，求线段BE的长；
（3）联结DF，如果△DEF与△DBE相似，求FC的长．
(备用图)
本题中，第一问的结论是这类题共同的特性，只要等腰三角形底边上有三等角，必有三角形相似；
第二问中根据相似求线段的长，也很常见；有时候会反过来问，线段的长是多少是，三角线相似。变式练习1就是这类题型；
第三问，中间的三角形与左右两个形似时，有两种情况，一种是DF与底边平行，一种是E为中点；
在等腰三角形，将腰延长会交于一点，也构成等腰三角形，故而以上三点，在等腰梯形中也适用。
变式练习1 （浦东新区22题）
如图，已知等边△的边长为8，点、、分别在边、、上，，为中
点，当△与△相似时，求的值.
变式练习2（宝山22题）
如图6，已知Δ中，,点、在边上，满足∠ =∠.求证：；
（图6）
（2）等腰梯形中一线三等角
例2.（长宁区18题）如图，等腰梯形中，∥，，，∠，直角三角板含45度角的顶点在边上移动，一直角边始终经过点，△为等腰三角形，则的长等于 .
例3（徐汇区25）．如图，在梯形中，∥，，．点为边的中点，以为顶点作，射线交腰于点，射线交腰于点，联结．
（1）求证：△∽△；
（2）若△是以为腰的等腰三角形，求的长；
（3）若，求的长．
例4、（杨浦区基础考）四边形中，∥，，，．点为射线上动点（不与点、重合），点在直线上，且．记，，，．
（1）当点在线段上时，写出并证明与的数量关系；
（2）随着点的运动，（1）中得到的关于与的数量关系