定积分的概念
第6章定积分及其应用
二. 定积分的定义
一. 曲边梯形的面积
三. 定积分的性质
定积分的概念
在我国古代南北朝(公元 429 — 500 年)时,
南朝的科学家祖冲之运用逐渐增加圆内多边形的边数,算出正多边形的面积,逼近相应的圆的面积,得到了π近似值.
在初等几何中,计算任意多边形面积时,常采用如下方法:首先将任意多边形划分为若干个小三角形,分别计算各个三角形的面积,然后求和,得到任意多边形的面积。
阿基米德运用这种方法,求得抛物线与
x 轴及直线 x =1 所围成的平面图形面积的近似值.
就是说,在计算复杂图形的面积时,可以先将它划分为若干个容易算得面积的小块,并分别求出各小块图形的面积,然后求和,即得到原图形的面积的近似值(边界线为直线时,可得精确值).
如果在上述方法中引入极限过程, 会产生什么效果?
曲边梯形的面积
曲边梯形:三边为直线,其中有两边相互
平行且与第三边垂直(底边),第四边是一条
曲线,它与垂直于底边的直线至多有一个交点
(这里不排除某直线缩成一点).
1. 曲边梯形
2. 求曲边梯形的面积
首先,我们重复阿基米德的做法:
分划—代替—求和
得到曲边梯形的近似值,然后,引入极限过程,
求出曲边梯形的精确值.
第一步:分划
任意引入分点
称为区间的一个分法 T
第二步:代替
对每个小曲边梯形均作上述的代替
第三步:求和
第四步:取极限
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