极限运算法则
定理 1 有限个无穷小的和也是无穷小
例如 当 x 0 时 x 与 sin x 都是无穷小
x sin x 也是无穷小
可表示为常数 ( A
B)与无穷小 (
)之和
因此
lim [ f (x)
g (x)]
lim f (x)
lim
g (x)
A
B
推论 1
如果 lim
f (x)存在
而 c 为常数
则
lim [ c f (x)]
c lim f (x)
推论 2
如果 lim
f (x)存在
而 n 是正整数
则
lim [ f (x)] n
[lim
f (x)] n
定理 4
设有数列 { x
} 和 { y
} 如果
n
n
lim xn
A
lim
yn
B
n
n
那么
(1) lim ( xn
yn )
A
B
n
(2) lim ( xn yn)
A B
n
(3) 当 yn
0
(n
1 2
)且 B
0 时
lim xn
A
n
yn
B
定理 5
如果 ( x)
(x) 而 lim
(x)
a lim (x)
b
那么 a
b
例 1 求 lim (2x 1)
1
解 lim (2x 1) lim 2x lim 1 2 lim x 1 2 1 1 1
x 1 x 1 x 1 x 1
讨论
若 P( x) a0 xn a1xn 1
an 1 x an
提示
lim P(x)
lim (a
0
xn )
lim (a xn 1)
x x0
x x0
1
x x0
则 lim P(x) ?
x0
lim (an 1 x)
lim an
x x0
x x0
a
0
lim ( xn )
a
lim ( xn
1)
a
n
1
lim
x
lim a
n
x
x0
1
x x 0
x x
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