平面向量-知识点详解-(1).docx

必修4 第二章 平面向量 知识点详解
平面向量的实际背景及基本概念
向量：既有大小又有方向的量。
向量的模：向量的大小即向量的模（长度），如的模分别记作||和。
注：向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小。
几类特殊向量必修4 第二章 平面向量 知识点详解
平面向量的实际背景及基本概念
向量：既有大小又有方向的量。
向量的模：向量的大小即向量的模（长度），如的模分别记作||和。
注：向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小。
几类特殊向量
零向量：长度为0的向量，记为，其方向是任意的，与任意向量平a行，
零向量＝｜｜＝0。由于的方向是任意的，且规定平行于任何向量。
单位向量：模为1个单位长度的向量，向量为单位向量。
平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量，称为平行向量。记作∥。
规定：与任何向量平等，
（4）相反向量：与长度相等、方向相反的向量，叫做的相反向量。记作。
关于相反向量有：① 零向量的相反向量仍是零向量， ②=； ③； ④若、是互为相反向量，则=,=,+=。
（5）相等向量：长度相等且方向相同的向量。
平面向量的线性运算

（1）定义：求两个向量和的运算叫做向量的加法
（2）向量加法的法则—“三角形法则”与“平行四边形法则”
（3）向量加法的运算律：
①交换律： ②结合律：

定义：若则向量叫做与的差，记为。求两个向量差的运算，叫做向量的减法。
向量减法的法则—“三角形法则”与“平行四边形法则”

定义：实数λ与向量的积是一个向量，记作，它的长度与方向规定如下：
；
当时，的方向与的方向相同；当时，的方向与的方向相反；当时，，方向是任意的。
数乘向量的运算律
；②；③。
平面向量的基本定理及坐标表示
平面向量的坐标表示：在直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量作为基底，由平面向量的基本定理知，该平面内的任一向量可表示成，由于与数对(x,y)是一一对应的，因此把(x,y)叫做向量的坐标，记作=(x,y)，其中x叫作的横坐标，y叫做作纵坐标。
规定：
① ，
② 相等的向量坐标相同，坐标相同的向量是相等的向量；
平面向量的坐标运算：
①若，则；
②若，则；
③若=(x,y)，则=(x, y)；
④若，则；
⑤若， 则
二．向量的表示方法：
1．几何表示法：用带箭头的有向线段表示，如，注意起点在前，终点在后；
2．符号表示法：用一个小写的英文字母来表示，如，，等；
3．坐标表示法：在平面内建立直角坐标系，以与轴、轴方向相同的两个单位向量，为基底，则平面内的任一向量可表示为，称为向量的坐标，＝叫做向量的坐标表示。如果向量的起点在原点，那么向量的坐标与向量的终点坐标相同。
运算
向量形式
坐标形式：；
加法
<1>平行四边形法则：起点相同，对角线为和向量。
<2>三角形加法法则：首尾相连。
记：
减法
起点相同的两个向量的差，（箭头指向被减向量）
记：
数乘
是一个向量，
方向：时，与同向；时，与反向；时，
数量积
运算性质
①交换律：；
②结合律：；③。
加法：