汉诺塔探趣.doc

“汉诺塔〞问题探趣
洞头县实验小学 502班 叶钫舟
指导老师 洞头县实验小学 陈素萍
一、问题的提出：
一位法国数学家曾编写过一个印度的古老传说：在世界中心贝拿勒斯〔在印度北部〕的圣庙里，一块黄铜板上插着三根宝石针续步骤的行走规律〞，从而保证正确完成“八层汉诺塔〞的操作！
3、熟练操作，归纳心得，总结要领，修正“规律〞
由于对复杂问题研究有困难，爸爸让我先对较低层级又有多步的“三层汉诺塔〞进行反复研究〔如右图：“三层汉诺塔〞分步图〕，并对“后续步骤的行走规律〞进行剖析探讨！结果如下：
第(1)步，单数层，块1首先到2柱；
原因：“三层汉诺塔〞，要移到右边柱位上，应领先让块1和块2都移到中柱1后，才能移动块3〔如右图C〕，这就要求块2向中柱走时，块1不在中柱1，只能在右柱2上〔如右图B〕。所以，第(1)步，块1“首先到右柱〞 〔如右图A〕。由此，我发现，“块3要到柱2〞，必须先“块2到柱1〞，而这又得先“块1到柱2〞。
清楚了这一点，对“五层汉诺塔〞也可类似倒推：块5要到2柱 块4要到1柱 块3要到2柱
块2要到1柱 块1要到2柱，其他“奇数层汉诺塔〞均可类似分析出第一步是同样的走法！
〔如果是双数层：块1先走中间柱；〕
第(2)步，块2走到另一柱〔中间柱〕；
这个是必然的，只有这个地方可以走！
第(3)步，块1跟到2块处〔跟到块2上来〕；
只有这样，块3才能到2柱来！
对应“三层汉诺塔〞分步图的图C，实质上是完成了将一个“二层汉诺塔〞从左柱移到中间柱的过程之后的图样！
第(4)步，块3走到右边柱；
第(5)步及其后，就是将中间柱上的“二层汉诺塔〞走到右边柱块3 上边来；
通过对“三层汉诺塔〞分步剖析之后，我对每一步都有了一定的理解。这种理解对“四层汉诺塔〞的操作应当也能运用！果然，我在操练“四层汉诺塔〞时，进一步领会到它与“三层汉诺塔〞有许多共同之处：
(1)要将一个N层汉诺塔移到右边柱上，首先应当将〔N－1〕层汉诺塔移到中间柱上来；而要将〔N－1〕层的汉诺塔移到中间柱上来，就得先将〔N－2〕层汉诺塔移到右边柱上，这又得先把〔N－3〕层汉诺塔移到中间柱上，……最终就是首先要把第一层移到某柱上！
(2)每当一较大的块正确移到某个柱上，其他比它小的块都要依次转移到这个较大的块的上边来！
(3)三根柱子在不同阶段，一为出发地，一为目的地，还有一为中间过渡用！
(4)多层汉诺塔的总步数，为一个低一层汉诺塔走两遍，再加一步〔最大块转移到目的地的这一步〕！
(5)一个多层汉诺塔，包含着一个个低层的汉诺塔，规律大致相同！
这样，我便初步领会了多级汉诺塔的操作要领，于是我便去解这个有255步的“八层汉诺塔〞，果然，第一遍虽然比拟慢，只花了12分钟就完成了。为了说明我的“速度〞，我让爸爸为我计时，第二遍，我只用了8分25秒！哈哈，有了很大的进步！经过屡次演练，我的最快成绩〔当然是用扑克牌演练的〕是：5分22秒！再过一段时间，相信会更加快的！
4、编制口诀，便于操作
单双层数分开走，对清层数再动手；一牌走，二牌走，一牌跟着二牌走；
三牌走，另一头，一二跟着三牌走；小牌走，大牌走，小牌跟着大牌走。
第一、二句是讲如何走第一步，第三四句是完成二级汉诺塔的转移，第五六句是完成三层汉