圆知识点总结.docx

圆知识点总结
圆知识点总结
一、圆的概念
集合形式的概念：
圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合；
轨迹形式的概念：
圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆；
二、圆的对称性 心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形。
②三角形的内心是三角形的三条角平分线的交点，它到三角形各边的距离相等。任何一个三角形都有且只有一个内心，三角形的内心在三角形的内部。

③△ABC中，∠C=90°，AC=b，BC=a，AB=c，则内切圆的半径r= 。
④S△ABC=，其中a，b，c是边长，r是内切圆的半径。
五、点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系
（1）点与圆的位置关系
1、点在圆内 点在圆内；
2、点在圆上 点在圆上；
3、点在圆外 点在圆外；
（2）直线与圆的位置关系
1、直线与圆相离 无交点；
2、直线与圆相切 有一个交点；
3、直线与圆相交 有两个交点；
（3）圆与圆的位置关系
外离（图1） 无交点 ；
外切（图2） 有一个交点 ；
相交（图3） 有两个交点 ；
内切（图4） 有一个交点 ；
内含（图5） 无交点 ；

六、切线的性质与判定定理
（1）切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是圆的切线；
两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可
即：∵且过半径外端
∴是⊙的切线
证明切线的方法：
已知直线过圆上点，作连接证明垂直；
②未知直线过圆上点，作垂直证明等于半径
补充：点到直线的距离公式
（2）切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径（如上图）
推论1：过圆心垂直于切线的直线必过切点。
推论2：过切点垂直于切线的直线必过圆心。
以上三个定理及推论也称二推一定理：
即：①过圆心；②过切点；③垂直切线，三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个。
（3）切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。
即：∵、是的两条切线
∴
平分
七、弧长和扇形面积
1、弧长公式：n°的圆心角所对的弧长l的计算公式为
2、扇形面积公式：（其中n是扇形的圆心角度数，R是扇形的半径，l是扇形的弧长。）
3、圆锥的侧面积：（其中l是圆锥的母线长，r是圆锥的地面半径。）
八、补充
（1）相交弦定理：圆内两弦相交，交点分得的两条线段的乘积相等。
即：在⊙中，∵弦、相交于点，
∴

（2）推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项。
即：在⊙中，∵直径，
∴
（3）切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。
即：在⊙中，∵是切线，是割线
∴
（4）割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等（如上图）。
即：在⊙中，∵、是割线
∴
（5）弦切角定理
弦切角：圆的切线与经过切点的弦所夹的角，叫做弦切角。
弦切角定理：弦切角等于弦与切线夹的弧所对的圆周角。
即：∠BAC=∠ADC
（5）两圆公共弦定理
圆公共弦定理：两圆圆心的连线垂直并且平分这两个圆的的公共弦。
如图：垂直平分。
即：∵⊙、⊙相交于、两点
∴垂直平分
（6）圆的公切线
两圆公切线长的计算公式：
（1）公切线长：中，；
（2）外公切线长：是半径之差； 内公切线长：是半径之和 。
（7）扇形、圆柱和圆锥的相关计算公式
1、扇形：（1）弧长公式：；
（2）扇形面积公式：
：圆心角 ：扇形多对应的圆的半径
：扇形弧长 ：扇形面积

2、圆柱：
（1）圆柱侧面展开图
=
（2）圆柱的体积：
（3）圆锥侧面展开图
①=
②圆锥的体积：
九、正多边形与圆
（1）与正多边形有关的概念
1、正多边形的中心
正多边形的外接圆和内切圆的公共圆心叫做这个正多边形的中心。
2、正多边形的半径
正多边形的外接圆的半径叫做这个正多边形的半径。
3、正多边形的边心距
正多边形的内切圆的