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第二讲:古希腊数学
古希腊的变迁
公元前6-前4世纪末
公元前11世纪-前9世纪:希腊各部落进入爱琴地区
公元前9-前6世纪:希腊各城邦先后形成
亚历山大后期:公元前30-公元640年
西罗马帝国:公元395-476年
东罗马帝国:公元395-1453年(610年改称拜占廷帝国)
公元前11世纪-前6世纪
亚历山大前期:公元前4世纪末-前30年(希腊化时期)
罗马帝国:公元前27-公元395年
希腊时期
亚历山大时期
波希战争(前499-前449)
伯罗奔尼撒战争(前431-前404)
马其顿帝国:前6世纪-前323年(前337年希腊各城邦承认马其顿的霸主地位,前334-前323亚历山大东征)
前48-前30年凯撒、屋大维侵占埃及
公元640年阿拉伯人焚毁亚历山大城藏书
公元330年君士坦丁大帝迁都拜占廷
(一)论证数学的发端
(1)泰勒斯(约625-.)
证明四条定理;
泰勒斯定理: 半圆上的圆周角是直角;
预报日蚀(.);测量金字塔的高等。
希腊数学一般指从公元前600年至公元600年间,活动于希腊半岛、爱琴海区域、马其顿与色雷斯地区、意大利半岛、小亚细亚以及非洲北部的数学家们创造的数学。
泰勒斯
他是一位圣贤,又是一位天文学家,在日月星辰的王国里,他顶天立地、万古流芳。
(2)毕达哥拉斯(约580-.)
萨摩斯岛—> 克洛托内
毕达哥拉斯定理(勾股定理) ; 正多面体; 黄金分割;
“万物皆数”;不可公度量。
a b b a
Plutarch(约46--120)的面积证明法
b a b a
b c c
a a c a
毕达哥拉斯定理:
毕达哥拉斯
,
约前580
|
前500
正多面体作图
五种正多面体:正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体和正二十面体。五种正多面体的作图都与毕达哥拉斯学派有关,前三种归功于毕氏学派,后两种为毕氏学派晚期学生所作。
正十二面体由正五边形围成。正五边形的作图与著名的“黄金分割”问题有关。
黄金分割
毕达哥拉斯学派的形数
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“万物皆数”
仅指整数,对数进行分类,分数被看成两个整数之比。
定义了完全数(即因数之和等于该数,如6, 28等)、过剩数(即因数之和大于该数)、不足数(即因数之和小于该数)亲和数(即 a 是 b 的因数之和, b 也是 a 的因数之和,最小的一对亲和数为220和284)等
三角形数: N =1+2+3+…+n = n (n +1) / 2 ;
正方形数:N =1+3+5+7+….+(2n-1) ;
五边形数:N =1+4+7+….+(3n-2)= n(3n-1) /2 ;
六边形数:N =1+5+9+….+(4n-3)=2n2-n .
这是一些等差数列。可以推广到三维空间去构造多面体数。“形数”体现了数与形结合的思想。
数形结合的另一个典型例子:
(m2 -1) / 2 , m , (m2 +1) / 2 ( m 为奇整数)
给出的毕达哥拉斯三元数组,它们分别表示一个直角三角形的两条直角边和斜边,与勾股定理密切相关。这一公式未能给出全部毕达哥拉斯数组。