定积分讲义.docx

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课程安排：2学期，周学时4,共96学时.
主要内容：定积分的计算
要求：听课、复习、作业
本次课题（或教材章节题目）：第五章定积分区间[a,b]上
可积.

（1）在[a,b]上f(x)
0,
b
f(x)dxA
曲边梯形的面积
a
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（2）在[a,b]上f(x)0,
b
af(x)dxA
曲边梯形面积的负值
3）若f(x)在[a,b]上变号，
定积分的性质
规定：当a
b
f(x)dx
0；
b时，
a
+
当
a
b
时，
b
a
—.
f(x)dx
f(x)dx
a
b
在下边的性质中，假设定积分都存在，且不考虑积分上下限的大小
b
b
b
性质1
a[f(x)
g(x)]dx
a
f(x)dx
ag(x)dx
性质2
b
b
(k为常数).
kf(x)dxkf(x)dx
a
a
性质3（定积分对于积分区间拥有可加性）
假设ac
b，
b
f(x)dx
c
b
a
f(x)dx
f(x)dx.
a
c
实行：不论a,b,c的相对地址怎样
,下式总成立.
b
c
f(x)dx
b
f(x)dx
a
f(x)dx.
a
c
性质4
b
b
b
a
1dx
dx
a
a
性质5（不等式性质）——比较性质
若是在区间[a,b]上f(x)
0
，则
b
f(x)dx
0.(a
b)
a
b
b
推论：若是在区间
[a,b]
上
f(x)
g(x)
，则
af(x)dx
ag(x)dx.
(ab)
性质6
设M及m分别是函数
f(x)在区间[a,b]上的最大值及最小值
则
性质7（定积分中值定理）
若是函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，则在积分区间
[a,b]上最少存在一个点
，使
b
f(x)dx
f()(ba).
(a
b)
a
四、例题
1
例1.?用定积分的几何意义求
0(1x)dx.
解:
函数y
1x在区间[0
1]
上的定积分是以
y
1x为曲边?以区间[0
1]为底的
曲边梯形的面积.
因为以y
1x为曲边?以区间[0
1]
为底的曲边梯形是素来角三角形
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其底边长及高均为
1
1
x)dx
111
1
因此(1
0
2
2.
例2.?用定积分的几何意义求
sinxdx.
解:因为ysinx在区间[
,
]上有正有负,因此
sinxdx等于[
,]上位于x轴上
方的图形面积A减去x轴下方的图形面积A,
因此
sinxdx
0
sinxdx
AA0.
sinxdx