样本及抽样分布.ppt

样本及抽样分布
例如,从总体中进行放回抽样,
显然是简单随机抽样,得到的样本就是简单随机样本。
从有限总体(即其中只含有有限多个个体的总体)中,进行不放回抽样,
虽然不是简单随机抽样,但是正如在前面我们已知的,若总体容量很大而样本容量较样本及抽样分布
例如,从总体中进行放回抽样,
显然是简单随机抽样,得到的样本就是简单随机样本。
从有限总体(即其中只含有有限多个个体的总体)中,进行不放回抽样,
虽然不是简单随机抽样,但是正如在前面我们已知的,若总体容量很大而样本容量较小( ),则可以近似地看作是放回抽样,
因而也就可以近似地看作是简单随机抽样,得到的样本可以近似地看作是简单随机样本。
今后,凡是提到抽样与样本,都是指简单随
机抽样与简单随机样本而言。
我们指出,从总体中抽取容量为的样本,
就是对代表总体的随机变量随机地、独立地
进行次试验(观测),每次试验的结果可以
看作是一个随机变量,次试验的结果就是个
随机变量,…
这些随机变量相互独立,并且与总体服从相同的分布。设得到的样本观测值分别是,…则可以认为抽样的结果是个相互独立的事件发生了
若将样本,,…,看作是一个维随机变
量,则
(1)当总体是离散随机变量,若记其分布率为,则样本
的分布律为:
(1)
(2)当总体是连续随机变量,且具有概率密度函数时,样本的概率密度为
,
的分布为:
,求来自这一总体的简单随机样本
的样本分布律。
求样本分布律。
,其中有个次品,个正品,进行放回抽样,定义如下:
求样本的分布律。
,求来自这一总体的简单随机样本的联合概率密度。
,求样本的联合概率密度。
第二节样本分布函数直方图
一、样本分布函数
,若样本容量较大,则相同的观测值可能重复出现若干次,为此,应当把这些观测值整理,并写出下面的样本频率分布表:
观测值
…
总计
频数
…
频率
…
1
其中
定义设函数
其中和式是对小于或等于的一切的频率
求和,则称为样本分布函数,经验分布函数。
易知样本分布函数具有下列性质:
(2)是非减函数;
(1)
(3)
(4)在每个观测值处是右连续的,点是的跳跃间断点,在该点的跃度就等于频率
样本分布函数的图形如图6-1所示
图6-1
对于任意的实数总体分布函数是事件的概率;样本分布函数是事件的频率。根据伯努利大数定理可知,
当时,对于任意的正数,有
格利文科(Glivenko)进一步证明了
当时,样本分布函数与总体分布函数之间存在着更密切的近似关系的结论。这些结论就是我们在数理统计中可以依据样本来推断总体的理论基础。
二、直方图
数理统计中研究连续随机变量的样本分布时,通常需要作出样本的频率直方图(简称直方图),作直方图的步骤如下:
1找出样本观测值中的最小值与最大值,分别记作与,即
2适当选取略小于的数与略大于的数,并用分点
把区间分成个子区间
第个子区间的长度为
此外,为了方便起见,分点应比样本观测值多取一位小数。
各子区间的长度可以相等,也可以不等;若使各子区间的长度相等,则有
子区间的个数一般取为8至15个,太多则由于频率的随机摆动而使分布显得杂乱,太少则难于显示分布的特征。
3把所有样本观测值逐个分到各子区间内,并计算样本观测值落在各子区间内的频数及频率
4在轴上截取各子区间,并以各子区间为底,
以为高作小矩形,各个小矩形的面积
就等于样本观测值落在该子区间内的频率,即
所有小矩形的面积的和
这样作出的所有小矩形就构成了直方图。
因为样本容量充分大时,随机变量落在各个子区间内的频率近似等于其概率
即
所以直方图大致地描述了总体的概率分布。
例测量100个某种机械零件的质量,得到样本观测值如下(单位:g)
246251259254246253237252250251
249244249244243246256247252252
250247255249247252252242245240
260263254240255250256246249253
246255244245257252250249255248
258242252259249244251250241253
250265247249253247248251251249
246250252256245254258248255251
249252254246250251247253252255
254247252257258247252264248244