考研高数函数、极限、连续重要概念公式定理总结.doc

一、函数、极限、连续重要概念公式定理
(一)数列极限的定义与收敛数列的性质
数列极限的定义:给定数列,如果存在常数,对任给,存在正整数,使当时,恒有,则称是数列的当趋于无穷时的极限,或称数列收敛于,,则称数列发散.
收敛数列的性质:
(1)唯一性:若数列收敛,即,则极限是唯一的.
(2)有界性:若,则数列有界,即存在,使得对均有.
(3)局部保号性:设,且,则存在正整数,当时,有.
(4)若数列收敛于,则它的任何子列也收敛于极限.
(二)函数极限的定义
名称
表达式
任给
存在
当…时
恒有
当时,以为极限
当时, 以为极限
当时, 以为右极限
当时, 以为左极限
当时, 以为极限
当时, 以为极限
(三)函数极限存在判别法(了解记忆)
:对任意一串,都有.
:(1);
(2).
:对任意给定的,存在,当
,时,有.
:若存在,当时,有,且则.
:若对于任意两个充分大的,有(或),且存在常数,使(或),则存在.
(四)无穷小量的比较(重点记忆)
,设.
(1)若,则称是比高阶的无穷小量.
(2).
(3)是同阶无穷小量.
(4),记为.
(5)
(命题重点,历年必考)
当时,

(五)重要定理(必记内容,理解掌握)
定理1 .
定理2 .
定理3 (保号定理):,当
.
定理4 单调有界准则:单调增加有上界数列必有极限;单调减少有下界数列必有极限.
定理5 (夹逼定理):设在的领域内,恒有,且
则.
定理6 无穷小量的性质:
(1)有限个无穷小量的代数和为无穷小量;
(2)有限个无穷小量的乘积为无穷小量;
(3)无穷小量乘以有界变量为无穷小量.
定理7 在同一变化趋势下,无穷大量的倒数为无穷小量;非零的无穷小量的倒数为无穷大量.
定理8 极限的运算法则:设,则
(1)
(2)
(3)
定理9 数列的极限存在,则其子序列的极限一定存在且就等于该数列的极限.
定理10 初等函数在其定义域的区间内连续.
定理11 设连续,则也连续.
(六)重要公式(重点记忆内容,应考必备)
(1)
(2).(通过变量替换,这两个公式可写成更加一般的形式:设,且则有,)
(3).
(4)函数在处连续.
(5)当时,以下各函数趋于的速度
(6)几个常用极限


.
(七)连续函数的概念
1. 在处连续,需满足三个条件:
①在点的某个领域内有定义
②当时的极限存在
③.
2. 在左连续:在内有定义,且.
3. 在右连续:在内有定义,且.
4. 在内连续:如果在内点点连续.
5. 在内连续:如果在内连续,且左端点处右连续,右端点处左连续.
(八)连续函数在闭区间上的性质(重点记忆内容)
:设函数在上连续,则在上有界,即常数,对任意的,恒有.
:设函数在上连续,则在上至少取得最大值与最小值各一次,即使得:
; .
:若函数在上连续,是介于与(或最大值与最小值)之间的任一实数,则在
上至少一个,使得
.
:设函数在上连续,且,则