排队论问题.ppt

几种重要的概率分布
1 贝努里分布
它的概率分布为:P{X=1}=p,P{X=0}=1-p
它也称两点分布或(0-1)分布。它描述一次贝努里试验中,成功或失败的概率。
2    二项分布
P{X=k}=Cnkpk(1-p)n-k, k=0,1,…,n
它描述n次贝努里试验中事件A出现k次概率。
3     几何分布
P{X=k}=p(1-p)k-1, k=1,2, …
它描述在k次贝努里试验中首次出现成功的概率。
几何分布有一个重要的性质-----后无效性:在前n次试验未出现成功的条件下,再经过m次试验(即在n+m次试验中)首次出现成功的概率,等于恰好需要进行m次试验出现首次成功的无条件概率。用式子表达:
P{X=n+m | X>n}=P{X=m} (请同学们试证明之)
这种与过去历史(试验次数n)无关的性质称为马尔可夫性。
4 泊松分布(Poisson)
P{X = k} = λk e -λ/ k! k=0,1,2,…
泊松分布是最重要的离散型概率分布之一,它作为表述随机现象的一种形式,在计算机性能评价等实践中扮演了重要的角色。
在实际系统模型中,一般都要假定任务(或顾客)的到来是服从泊松分布的。实践也证明:这种假设是有效的。
5    (负)指数分布
它是一种连续型的概率分布,它的概率密度为
f(x)= λe-λx x≥0
0 x<0
分布函数:
F(x)=1-e-λx x≥0
指数分布的一个有用的性质是它的数学期望等于标准差:
μx = σx = 1/λ
在连续型随机变量中,只有指数分布具有无后效性。
即: 若随机变量ζ服从指数分布, 对任意的 s>0 ,t>0 ,有 P{ζ>s+t|ζ>s}=P{ζ>t}
在离散型随机变量中,只有几何分布具有无后效性。这两种分布可以分别用来描绘离散等待时间和连续等待时间。
在排队理论中,指数分布是很重要的。它可以描述某一任务(或顾客)的服务持续时间。
k阶爱尔朗分布
概率密度: f (x)= (λkx)n-1λke-λkx /(n-1)! x≥0,λ>0.
0 x<0
数字特征: E[X]=1/λ; Var[X]=1/(kλ2 )
  如果k个随机变量Xi,i=1,2,…,k,分别服从指数分布,那么随机变量X=X1+X2+ …+Xk服从k阶爱尔朗分布。即:具有k阶爱尔朗分布的随机变量可以看作具有同一指数分布的独立的k个随机变量之和。
k阶爱尔朗分布在排队模型中,得到广泛应用。如:假定顾客在到达窗口排队必须通过一个关口,这个关口由k层构成,通过每层的时间服从参数为λ的指数分布,这样顾客通过整个关口到达窗口排队时,就实现了爱尔朗分布。
如下图:

k … 2 1 00…00 窗口
基本组成
输入来源
队列
服务机构
排队系统
顾客
服务完离开
排队系统的三个基本组成部分.
输入过程(顾客按照怎样的规律到达);
排队规则(顾客按照一定规则排队等待服务);
服务机构(服务机构的设置,服务台的数量,服务的方式,服务时间分布等)
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排队系统的到达和服务
1 到达规律的描述
(1)主要描述参数
(a)到达时点
将某一时刻设为t0,顾客依次到达的时刻用…≤t-1≤t0≤t1≤t2≤…表示,如果在时刻tk到达的顾客为Nk,则到达时点可用{tk、Nk)表示。
(b)平均到达间隔
一个顾客到达时刻之间的时宽为到达间隔。
(c)到达速率
单位时间到达顾客的平均数叫到达速率,也称到达密度或输入速率。
(2)到达规律
顾客的到达规律可以用概率来描述,两个顾客到达的时间间隔是独立的随机变量,服从同一概率分布时。常用的分布规律有:
(a)一般到达
(b)泊松到达
(c)爱尔朗到达
(d)等间隔到达
泊松分布和指数分布在排队论中的应用
泊松分布(Poisson):
P{X = k} = λk e-λ/ k! k=0,1,2,…, μx = σx = λ
泊松分布是最重要的离散型概率分布之一,也是表述随机现象的一种重要形式。在实际系统模型中,一般都要假定任务(或顾客)的到来是泊松分布的。实践也证明:这种假设有效。
如果顾客到达的人数是符合泊松分布,即在时间T内有k个顾客到达的概率为:
p=(λT)k e-λT/ k! ,
在时间T内顾客到达的平均顾客数= λT,
平均到达速度(顾客数/秒)= λ
服从泊松分布过程的到达被认为是随机到达,因为当顾客根据泊松过程到达时,顾客在各个时刻到达的可能性相同并与其它顾客的到达无关。
(负)指数分布:
它是一种连续型的概率分布,它的概率密度:
f(x)=λe-λx x≥0
它的分布函数:F(x)=1-e-λx x≥0
指数分布的一个有用的性质是它的数学期望等于标准差:μx