高中数学不等式知识点.doc

高中数学不等式知识点
不等式
知识点归纳:
一、不等式的概念与性质
1、实数的大小顺序与运算性质之间的关系:
2、不等式的性质:
(1),(反对称性)
(2),(传递性)
(3),故(移项法则)
推论:(同向不等式相加)
高中数学不等式知识点
不等式
知识点归纳:
一、不等式的概念与性质
1、实数的大小顺序与运算性质之间的关系:
2、不等式的性质:
(1),(反对称性)
(2),(传递性)
(3),故(移项法则)
推论:(同向不等式相加)
(4),
推论1:
推论2:
推论3:
不等式的性质是解、证不等式的基础,对于这些性质,关键是正确理解和熟练运用,要弄清每一个条件和结论,学会对不等式进行条件的放宽和加强。
3、常用的基本不等式和重要的不等式
(1)当且仅当
(2)
(3),则
(4)
4、最值定理:设
(1)如积
(2)如积
即:积定和最小,和定积最大。
运用最值定理求最值的三要素:一正二定三相等
5、均值不等式:
②“分析法”证题是一个非常好的方法,但是书写不是太方便,所以我们可以利用分析法寻找证题的途径,然后用“综合法”进行表达。
(4)反证法:正难则反直接证明难,就用反证。
(5)放缩法:将不等式一侧适当的放大或缩小以达证题目的
放缩法的方法有:
①添加或舍去一些项,如:;;
②将分子或分母放大(或缩小)
③利用基本不等式,
如:;
④利用常用结论:
Ⅰ、;
Ⅱ、;(程度大)
Ⅲ、;(程度小)
(6)换元法:换元的目的就是减少不等式中变量,以使问题化难为易,化繁为简,常用的换元有三角换元和代数换元。如:
已知,可设;
已知,可设();
已知,可设;
已知,可设;
(7)构造法:通过构造函数、方程、数列、向量或不等式来证明不等式;
证明不等式的方法灵活多样,但比较法、综合法、分析法和数学归纳法仍是证明不等式的最基本方法。要依据题设、题断的结构特点、内在联系,选择适当的证明方法,要熟悉各种证法中的推理思维,并掌握相应的步骤,技巧和语言特点。
数学归纳法法证明不等式将在数学归纳法中专门研究。
例1已知a,b∈R,且a+b=1。
求证:。
证法一:(比较法)
即(当且仅当时,取等号)。
证法二:(分析法)
因为显然成立,所以原不等式成立。
点评:分析法是基本的数学方法,使用时,要保证“后一步”是“前一步”的充分条件。
证法三:(综合法)由上分析法逆推获证(略)。
证法四:(反证法)假设,
则。
由a+b=1,得,于是有
所以,
这与矛盾。
所以。
证法五:(放缩法)∵
∴左边=
=右边。
点评:根据欲证不等式左边是平方和及a+b=1这个特点,选用基本不等式。
证法六:(均值换元法)∵,
所以可设,,
∴左边=
=右边
当且仅当t=0时,等号成立。
点评:形如a+b=1结构式的条件,一般可以采用均值换元
证法七:(利用一元二次方程根的判别式法)
设y=(a+2)2+(b+2)2,
由a+b=1,有,
所以,
因为,所以,即。
故。
例2,求证:。
证:,同样地,利用均值不等式,我们可以得到
,即。
例3已知,求证。
证:
例4已知,求的最大值。
解:由题可得当且仅当即时等式成立。
同理,可得;
故而可知其最大值为6.
例5已知,求证
证:令,且,于是
。
例6已知是正整数,求证:
证:当时,有
于是
小结:
1、掌握好不等式的证明,不等式的证明内容甚广,证明不但用到不等式的性质,不等式证明的技能、技巧,还要注意到横向结合内容的方方面面。如与数列的结合,与“二次曲线”的结合,与“三角函数”的结合,与“一元二次方程,一元二次不等式、二次函数”这“三个二次”间的互相联系、互相渗透和互相制约,这些也是近年命题的重点。
2、在不等式证明中还要注意数学方法,如比较法(包括比差和比商)、分析法、综合法、反证法、数学归纳法等,还要注意一些数学技巧,如数形结合、放缩、分类讨论等。
3、比较法是证明不等式最常用最基本的方法当欲证的不等式两端是多项式或分式时,常用差值比较法当欲证的不等式两端是乘积的形式或幂指不等式时常用商值比较法,即欲证
4、基本思想、基本方法:
⑴用分析法和综合法证明不等式常要用等价转化的数学思想的换元的基本方法。
⑵用分析法探索证明的途径,然后用综合法的形式写出证明过程,这是解决数学问题的一种重要的数学思想方法。
⑶“分析法”证明不等式就是“执果索因”,从所证的不等式出发,不断利用充分条件或者充要条件替换前面的不等式,直至找到显然成立的不等式,书写方法习惯上用“”来表达分析法是数学解题的两个重要策略原则的具体运用