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§
教学目的掌握函数行列式.
教学要求
(1).掌握函数行列式
(2)能用函数行列式解决一些简单的问题
一、函数行列式
由到R的映射〔或变换〕就是n元函数,即
,或
由到的映射〔或变换〕就是n个n元
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§
教学目的掌握函数行列式.
教学要求
(1).掌握函数行列式
(2)能用函数行列式解决一些简单的问题
一、函数行列式
由到R的映射〔或变换〕就是n元函数,即
,或
由到的映射〔或变换〕就是n个n元函数构成的函数组,即
,或
表为,设它们对每个自变量都存在偏导数,行列式〔2〕
称为函数组在点的雅可比行列式,也称为函数行列式,表为.
例:求以下函数组〔变换〕的函数行列式:
.
二、函数行列式的性质
为了简单起见,仅就n=2的情形加以讨论,所有结果对任意自然数n都是正确的.
2
一元函数与的复合函数的导数是,与它类似的有:
,而也有连续偏导数,那么
.
证明:由复合函数的微分法那么,有
由行列式的乘法,有
.
假设一元函数在点某邻域具有连续的导数,,在点某邻域保持同一符号,因而在函数严格单调,它存在反函数,且
和它类似的有:
,且,那么存在有连续偏导数的反函数组,且
证明:§〔3〕,令,有
,
即,.
三、函数行列式的几何性质
,,
3
到的平均伸缩系数,假设当时平均伸缩系数存在极限,即
,
那么称是映射f在点的伸缩系数.
由此可见,一元函数在点的导数的绝对值有新的几何意义:它是映射f在点的伸缩系数.
同样,到的变换也有类似的几何意义.
,且,,那么包含点的面积微元与对应的包含点的面积微元之比是,即
.
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