二次函数(最全的中考二次函数知识点总结).pdf

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相关概念及定义
14m24m7
yax2bxca,,bcy(m)xxm是二次
二次函数的概念:一般地,形如(是常数,a0)的函2
数,叫做二次函数。这里需要强调:和一元二次方程类似,二次项系数a0,函数
而b,.
Comment[l2]:给出过程
2
二次函数yaxbxc的结构特征:
Comment[l3]:分别需要哪些信息可
⑴等号左边是函数,右边是关于自变量x的二次式,x的最高次数是2.
以求得函数表达式?
⑵a,,bc是常数,a是二次项系数,b是一次项系数,c是常数项.
二次函数各种形式之间的变换Comment[l4]:将yax2bxc转化
二次函数yax2bxc用配方法可化成:yaxh2k的形式,其中为其它两式
b4acb2Comment[l5]:画函数
h,k.2
2a4ayxx1图像
二次函数由特殊到一般,可分为以下几种形式:
Comment[l6]:先画出yx2图像,
①2;②2;③2;④2;⑤
yaxyaxkyaxhyaxhk探究其性质
yax2bxc.
Comment[l7]:先画出y3x22的图
二次函数解析式的表示方法
像
一般式:yax2bxc(a,b,c为常数,a0);
顶点式:ya(xh)2k(a,h,k为常数,a0);
两根式:ya(xx1)(xx2)(a0,x1,x2是抛物线与x轴两交点的横坐标).
注意:任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式,但并非所有的二次函数
都可以写成交点式,只有抛物线与x轴有交点,即b24ac0时,抛物线的解析式
.
二次函数yax2bxc图象的画法
五点绘图法:利用配方法将二次函数yax2bxc化为顶点式ya(xh)2k,
确定其开口方向、对称轴及顶点坐标,然后在对称轴两侧,左右对称地描点画图.
一般我们选取的五点为:顶点、与y轴的交点0,c、以及0,c关于对称轴对
称的点2h,c、与x轴的交点x1,0,x2,0(若与x轴没有交点,则取两组
关于对称轴对称的点).
画草图时应抓住以下几点:开口方向,对称轴,顶点,与x轴的交点,与y轴的
交点.
二次函数yax2的性质
a的符号开口方向顶点坐标对称轴性质
x0时,y随x的增大而增大;x0时,
a0向上0,0y轴y随x的增大而减小;x0时,y有最小值
0.
x0时,y随x的增大而减小;x0时,
a0向下0,0y轴y随x的增大而增大;x0时,y有最大值
0.
二次函数yax2c的性质
a的符号开口方向顶点坐标对称轴性质
x0时,y随x的增大而增大;x0时,
a0向上0,cy轴y随x的增大而减小;x0时,y有最小值
c.
时,随的增大而减小;时,2
x0yxx0Comment[l8]:先画出yx1的图
向下0,c轴随的增大而增大;时,有最大值
a0yyxx0y像
c.
2
2的图像
二次函数yaxh的性质:Comment[l9]:yx11
a的符号开口方向顶点坐标对称轴性质Comment[l10]:a大的开口大还是小?
xh时,y随x的增大而增大;xh时,
a0向上h,0X=hy随x的增大而减小;xh时,y有最小值Comment[l11]:自己验证
0.
xh时,y随x的增大而减小;xh时,
a0向下h,0X=hy随x的增大而增大;xh时,y有最大值
0.
二次函数yaxh2k的性质
a的符号开口方向顶点坐标对称轴性质
xh时,y随x的增大而增大;xh时,
a0向上h,kX=hy随x的增大而减小;xh时,y有最小值
k.
xh时,y随x的增大而减小;xh时,
a0向下h,kX=hy随x的增大而增大;xh时,y有最大值
k.
抛物线yax2bxc的三要素:开口方向、对称轴、顶点.
a的符号决定抛物线的开口方向:当a0时,开口向上;当a0时,开口向
下;
a相等,抛物线的开口大小、形状相同.
b
对称轴:平行于y轴(或重合)的直线记作x.特别地,y轴记作直线
2a
x0.
b4acb2
顶点坐标:(,)
2a4a
,如果二次项系数a相同,那么抛
物线的开口方向、开口大小完全相同,只是顶点的位置不同.
抛物线yax2bxc中,a,b,c与函数图像的关系
二次项系数a
二次函数yax2bxc中,a作为二次项系数,显然a0.
⑴当a0时,抛物线开口向上,a越大,开口越小,反之a的值越小,开口越大;
⑵当a0时,抛物线开口向下,a越小,开口越小,反之a的值越大,开口越大.
总结起来,a决定了抛物线开口的大小和方向,a的正负决定开口方向,a的大小决
定开口的大小.
一次项系数b
在二次项系数a确定的前提下,b决定了抛物线的对称轴.
⑴在a0的前提下,
b
当b0时,0,即抛物线的对称轴在y轴左侧;
2a
b
当b0时,0,即抛物线的对称轴就是y轴;
2a
b
当b0时,0,[l12]:用三种方法分别求
2ayx2x1的顶点和对称轴
⑵在a0的前提下,结论刚好与上述相反,即
b
当b0时,0,即抛物线的对称轴在y轴右侧;
2a
b
当b0时,0,即抛物线的对称轴就是y轴;
2a
b
当b0时,0,即抛物线对称轴在y轴的左侧.
2a
总结起来,在a确定的前提下,b决定了抛物线对称轴的位置.
总结:
常数项c
⑴当c0时,抛物线与y轴的交点在x轴上方,即抛物线与y轴交点的纵坐标为正;
⑵当c0时,抛物线与y轴的交点为坐标原点,即抛物线与y轴交点的纵坐标为0;
⑶当c0时,抛物线与y轴的交点在x轴下方,即抛物线与y轴交点的纵坐标为
负.
总结起来,c决定了抛物线与y轴交点的位置.
总之,只要a,,bc都确定,那么这条抛物线就是唯一确定的.
求抛物线的顶点、对称轴的方法
2
b4acb2
公式法:yax2bxcax,∴顶点是
2a4a
b4acb2b
(,),对称轴是直线x.
2a4a2a
配方法:运用配方的方法,将抛物线的解析式化为yaxh2k的形式,得
到顶点为(h,k),对称轴是直线xh.
运用抛物线的对称性:由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形,所以对称轴的
连线的垂直平分线是抛物线的对称轴,对称轴与抛物线的交点是顶点.
用配方法求得的顶点,再用公式法或对称性进行验证,才能做到万无一失.
用待定系数法求二次函数的解析式
一般式:yax2bx、y的值,通常选择一般式.
顶点式:yaxh2,通常选择顶点式.
交点式:已知图像与x轴的交点坐标x1、x2,通常选用交点式:
yaxx1xx2.
直线与抛物线的交点
y轴与抛物线yax2bxc得交点为(0,c).
与y轴平行的直线xh与抛物线yax2bxc有且只有一个交点(h,
ah2bhc).
抛物线与x轴的交点:二次函数yax2bxc的图像与x轴的两个交点的横坐
2
标x1、x2,是对应一元二次方程axbxc
交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定:
①有两个交点0抛物线与x轴相交;
②有一个交点(顶点在x轴上)0抛物线与x轴相切;
③没有交点0抛物线与x轴相离.
平行于x轴的直线与抛物线的交点
可能有0个交点、1个交点、,两交点的纵坐标相等,设Comment[l13]:理解推导
纵坐标为k,则横坐标是ax2bxck的两个实数根.
2
2Comment[l14]:由yx如何平移得
一次函数ykxnk0的图像l与二次函数yaxbxca0的图像
到yx2x1?
ykxn
的交点,由方程组的解的数目来确定:①方程组有两组不
G2
yaxbxc
同的解时l与G有两个交点;②方程组只有一组解时l与G只有一个交点;
③方程组无解时l与G没有交点.
抛物线与x轴两交点之间的距离:若抛物线yax2bxc与x轴两交点为
2
Ax1,0,Bx2,0,由于x1、x2是方程axbxc0的两个根,故
bc
xx,xx
12a12a
22
22b4cb4ac
ABx1x2x1x2x1x24x1x2
aaaa
二次函数图象的对称:二次函数图象的对称一般有五种情况,可以用一般式或顶点式表
达
关于x轴对称
yax2bxc关于x轴对称后,得到的解析式是yax2bxc;
yaxh2k关于x轴对称后,得到的解析式是yaxh2k;
关于y轴对称
yax2bxc关于y轴对称后,得到的解析式是yax2bxc;
yaxh2k关于y轴对称后,得到的解析式是yaxh2k;
关于原点对称
yax2bxc关于原点对称后,得到的解析式是yax2bxc;
yaxh2k关于原点对称后,得到的解析式是yaxh2k;
关于顶点对称
b2
yax2bxc关于顶点对称后,得到的解析式是yax2bxc;
2a
yaxh2k关于顶点对称后,得到的解析式是yaxh2k.
关于点m,n对称
yaxh2k关于点m,n对称后,得到的解析式是yaxh2m22nk
总结:根据对称的性质,显然无论作何种对称变换,抛物线的形状一定不会发生
变化,,可以依据题意或方
便运算的原则,选择合适的形式,习惯上是先确定原抛物线(或表达式已知的抛
物线)的顶点坐标及开口方向,再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向,然
后再写出其对称抛物线的表达式.
二次函数图象的平移
平移步骤:
⑴将抛物线解析式转化成顶点式yaxh2k,确定其顶点坐标h,k;
⑵保持抛物线yax2的形状不变,将其顶点平移到h,k处,具体平移方法如下:
【【(k>0)【【【【(k<0)【【【|k|【【【
y=ax2y=ax2+k
【【(h>0)【【【(h<0)【
【【(h>0)【【【(h<0)【
【【(h>0)【【【(h<0)【【【|k|【【【
【【|k|【【【【【|k|【【【
【【(k>0)【【【(k<0)【
【【|k|【【【
y=a(x-h)2y=a(x-h)2+k
【【(k>0)【【【(k<0)【【【|k|【【【

平移规律
在原有函数的基础上“h值正右移,负左移;k值正上移,负下移”.
概括成八个字“左加右减,上加下减”.
根据条件确定二次函数表达式的几种基本思路。
三点式。
1,已知抛物线y=ax2+bx+c经过A(3,0),B(23,0),C(0,-3)三点,求抛物线
的解析式。
2,已知抛物线y=a(x-1)2+4,经过点A(2,3),求抛物线的解析式。
顶点式。
1,已知抛物线y=x2-2ax+a2+b顶点为A(2,1),求抛物线的解析式。
2,已知抛物线y=4(x+a)2-2a的顶点为(3,1),求抛物线的解析式。
交点式。
1,已知抛物线与x轴两个交点分别为(3,0),(5,0),求抛物线y=(x-a)(x-b)的解析式。
1
2,已知抛物线线与x轴两个交点(4,0),(1,0)求抛物线y=a(x-2a)(x-b)的解析式。
2
定点式。
15a
1,在直角坐标系中,不论a取何值,抛物线yx2x2a2经过x轴上一
22
定点Q,直线y(a2)x2经过点Q,求抛物线的解析式。
2,抛物线y=x2+(2m-1)x-2m与x轴的一定交点经过直线y=mx+m+4,求抛物线的解析式。
3,抛物线y=ax2+ax-2过直线y=mx-2m+2上的定点A,求抛物线的解析式。
平移式。
1,把抛物线y=-2x2向左平移2个单位长度,再向下平移1个单位长度,得到抛物线
y=a(x-h)2+k,求此抛物线解析式。
2,抛物线yx2x3向上平移,使抛物线经过点C(0,2),求抛物线的解析式.
距离式。
1,抛物线y=ax2+4ax+1(a﹥0)与x轴的两个交点间的距离为2,求抛物线的解析式。
2,已知抛物线y=mx2+3mx-4m(m﹥0)与x轴交于A、B两点,与轴交于C点,且AB=BC,
求此抛物线的解析式。
对称轴式。
1、抛物线y=x2-2x+(m2-4m+4)与x轴有两个交点,这两点间的距离等于抛物线顶点到y轴
距离的2倍,求抛物线的解析式。
2、已知抛物线y=-x2+ax+4,交x轴于A,B(点A在点B左边)两点,交y轴于点C,且
3
OB-OA=OC,求此抛物线的解析式。
4
对称式。
1,平行四边形ABCD对角线AC在x轴上,且A(-10,0),AC=16,D(2,6)。AD交y轴
于E,将三角形ABC沿x轴折叠,点B到B1的位置,求经过A,B,E三点的抛物线的解
析式。
2,求与抛物线y=x2+4x+3关于y轴(或x轴)对称的抛物线的解析式。
切点式。
1,已知直线y=ax-a2(a≠0)与抛物线y=mx2有唯一公共点,求抛物线的解析式。
2,直线y=x+a与抛物线y=ax2+k的唯一公共点A(2,1),求抛物线的解析式。
判别式式。
1、已知关于X的一元二次方程(m+1)x2+2(m+1)x+2=0有两个相等的实数根,求抛物线
y=-x2+(m+1)x+3解析式。
2、已知抛物线y=(a+2)x2-(a+1)x+2a的顶点在x轴上,求抛物线的解析式。
3、已知抛物线y=(m+1)x2+(m+2)x+1与x轴有唯一公共点,求抛物线的解析式。