知识题六样本及抽样分布解答.docx

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知识题六样本及抽样分布解答
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知识题六样本及抽样分布解答
.
样本及抽样散布
一、填空题
:,,,,,则样本均值
,样本方差=2;


X~N(5,16)

中随机地抽取一个容量为

36的样本,则均值

X落在

4
知识题六样本及抽样分布解答
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与6之间的概率


;
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X~N(1000,

2)

(单位:小时),抽取一容量为
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9的样本,获得

x

940,s

100,则

P(X

940)

;
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知识题六样本及抽样分布解答
7
知识题六样本及抽样分布解答
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知识题六样本及抽样分布解答


X1,X2,...,X7为整体

X~N(0,)的一个样本,则P(

Xi2

4)


;
知识题六样本及抽样分布解答
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知识题六样本及抽样分布解答
i1
知识题六样本及抽样分布解答
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知识题六样本及抽样分布解答


X1,X2,...,X6为整体

X~N(0,1)的一个样本,且

cY听从

2散布,这里,
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知识题六样本及抽样分布解答
Y (X1

X2

X3)2

(X

4

X5

X6)2,则c

1/3

;
知识题六样本及抽样分布解答
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知识题六样本及抽样分布解答
,Y互相独立,均听从N(0,32)散布且X1,X2,...,X9与Y1,Y2,...,Y9分
别是来自整体X,Y的简单随机样本,则统计量U X1 ... X9听从参数为 9
Y12 ... Y92
的t 散布。
,X2,X3,X4是取自X~N(0,22)正态整体的简单随机样本且
Y a(X! 2X2)2 b(3X3 4X4)2,,则a ,b 时,统计量Y服
从2散布,其自由度为2;
8
.设整体X听从正态散布X~
N(0,22),而X1,X2,...,X15是来自整体的简单随机
X
2
...
X2
1
10
样本,则随机变量Y2(X112
...
X152)听从F
散布,参数为10,5
;
9
.设随机变量X~t(n)(n
1),Y
1
,则Y~F(n,1)
;
X2
知识题六样本及抽样分布解答
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.
~F(n,n)且P(X
1
,A为常数,则P(X
A
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知识题六样本及抽样分布解答
11若1,
,n是取自正态整体
N(,2)的一个样本,则
1
n

n
i听从 。
i 1
知识题六样本及抽样分布解答
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知识题六样本及抽样分布解答
12样本(X1, ,Xn)的函数f(X1, ,Xn)称为 ,此中f(X1, ,Xn)不含未
知参数。
13
设整体X听从N(
,
2),X和S2分别为来自整体
X的样本容量为n的样本均值和方
n
X)2
差,则
i1(Xi
~
,
(n1)S2
~
。
2
2
14
设随机变量X和Y互相独立且都听从正态散布
N(0,32),而X1,
,X9和Y1,
,Y9分别
是来自整体X和Y简单随机样本,则统计量
U
X1
X9听从
散布。t(9)
Y12
Y92
15
设随机变量X和Y互相独立且都听从正态散布
N(0,32),而X1,
,X9和Y1,
,Y9分别
是来自整体
X和Y的简单随机样本,则统计量
V
X12
X92
听从
散布。
Y12
Y92
F(9,9)
二、选择题

N(,
2),此中
为未知参数,(X1,X2,X3)是取自整体
X的
一个容量为
3的样本,以下不是统计量的是
(
)

X2
{X1,X2,X3}
C.
1(X1X2
X3)
D.
1(X1
X2X3)
4
,X2,
,X16是来自正态整体N(2,
2)的一个样本,
X
1
16
Xi,则4X
8~
16i1
(
).
A.
t(15)
(16)
C.
2(15)
D.
N(0,1)
,X2,
,Xn是取自正态总体X~N(,2)的一个样本,X
1n
Xi,
ni1
2
1
n
2
n
1(X
)
).
Sn
(Xi
X),则Y
Sn
听从的散布是(
ni1
A.
t(n
1)
B.
t(n)
C.
2(n
1)
D.
知识题六样本及抽样分布解答
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.
,X2,...,Xn是来自整体N(,
2)的简单随机样本,X
是样本均值,
记
2
1
n
22
1n
22
1
n
2
S1
n1i1
(XiX),S2
(Xi
X),S3
(Xi
),
ni1
n1i1
S42
1
n
(Xi
)2,则听从自由度n1的t散布的随机变量是T
(
A
);
ni1
A.
X
B.
X
C.
X
D.
X
S1
n1
S2n1
S3
n1
S4
n1
(x)是经验散布函数,鉴于来自整体
X的样本,而F(x)是X整体的
散布函数,则以下命题错误的为,关于每个给定的
x,Fn(x)(
B
)

(x)

(x)
-1散布,X1,
X2,...,X5是来自整体X的样本,X是样本
均值,则以下各选项中的量不是统计量的是( B )
A.
1
2
3
4
5
}
.
(1p)X
min{X
,X
,X
,X
,X
BX1
{X1,X2,X3,X4,X5}

5X
,X2,...,Xn是正态整体N(,
2)的一个样本,此中
已知而
2未知,
则以下各选项中的量不是统计量的是(
C)。

(Xi
)2

(XiX)2
i
1
ni1
n
(Xi
)2
C.
{Xi}
i1
,X2,...,Xn和Y1,Y2,...,Yn分别来自两个正态整体
N(1,22)和N(2,5)的
样本,且互相独立,S12,S22分别为两个样本的样本方差,则听从
F(7,9)的统计量
知识题六样本及抽样分布解答
知识题六样本及抽样分布解答
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是( B )
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.

2
B.
5S12
2

2

2
S2
4S2
5S2
2S2
,X2,...,Xn是正态整体N(,
2)的一个样本,X和S2分别为样本均值
和样本方差,则下边结论不建立的有(
D
)
,S互相独立;
(n
1)S2互相独立;
1n
(Xi
2
1
n
)
2
互相独立。

2
X)

(Xi
i1
i1
,X2,...,Xn是正态整体N(
2)的一个样本,S2
1
n
X)2,
,
(Xi
n
1i1
则D(S2)等于(
)
A.
4

C.
4

n
n
n
1
n1
,X2,...,Xn是正态整体N(
,
2)的一个样本,X和S2分别为样本均
值和样本方差,则听从自由度为
n1的t
-散布的随机变量是(
C
)




S
S2
S
S2
,X2,...,Xn
是正态整体N(,
2)的一个样本,X和S2分别为样本均
值和样本方差,则(
C
)
2
(n
1)X
2
A.
X
~F(1,n
1)
B.
~F(1,n
1)
2
2
S
S
nX
2
(n
1)X
2
C.
~F(1,n
1)
D.
~F(1,n
1)
2
2
S
S
,Y都听从标准正态散布,则(
)。
(A)X+Y听从正态散布。
(B)X2+Y2听从
2散布。
(C)X2和Y2都听从
2散布。
(D)X2/Y2听从F散布。
(1,9),X1,X9为X的样本,则有(
)。
知识题六样本及抽样分布解答
知识题六样本及抽样分布解答
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知识题六样本及抽样分布解答
.
(A)
X
1
~N(0,1)
X
1
1
(B)
3
~N(0,1)
X1
X
1
(C).
~N(0,1)
(D)
3
~N(0,1)
9
,
Xn是来自正态整体
N(0,1)的简单随机样本,
X和S分别为样本的均值和标
准差,则有(
)。
X~t(n-1)
n
Xi2
2(n)
(A)nX~N(0,1)
(B)X~N(0,1)
(C)
(D)
~
S
i
1

X
,
Y
互相独立,
X
~N
(1,1
2
),Y~N(
2,
22),X1,
Xn为X的样本,
1
Y1,
Yn2
为Y的样本,则有(
)。
2
2
2
2
(A)X-Y~N(1
2,1
2)
(B)X-Y~N(1
2,1
2)
n1
n2
n1
n2
2
2
X
Y
N(
1
1
2
)
X
Y
(C
)
-
~
2,n1
n2
(
D)
-
~
2
2
N(1
2,
1
2)
n1
n2
三、解答题
,X2,X3是整体N(, 2)的一个样本,此中 已知而 0未知,则以下
的函数中哪些为统计量?为何?
(1)X1 X2 X3;是
2)X33;是
3)X1;是
(4) X22; 是
3
Xi
(5)i1 2 ;不是
(6)max{Xi};是
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.
(7) X3;不是
)中随机地抽取一个容量为 36的样本,求样本均值 X落在
。
2
解:X~N(52, )
36


X
52
()
()
, 分别求出样本均值的观察值 x与样本方差
的观察值s2,由此你能获得什么结论 ?
(1)5,2,3,5,8:x
s2
2
(2)105,102,103,105,108
xs2
2
,X2,...,,分别写出样
本X1,X2,...,Xn的概率函数或密度函数:
X~B(1,p);
X~Exp();
(3)
X~U(0,),
0。
解:
(1)
P(X
xi)
pxi(1p)1xi,i
0,1
n
n
n
xi
n
xi
P(X1
x1,X2
x2,,Xn
xn)
pxi(1p)1xi
pi1
(1p)i1
i
i1
ex,x 0
f(x)
0,x 0
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知识题六样本及抽样分布解答
.
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n
f(x1,x2, ,xn) f(xi)
i 1
1
0
(3)
,
f(x)
0,
0
n
f(x1,x2, ,xn) f(xi)
i1

n
n
xi
n
nei1
e
xi
,xi
0(i1,2,,n)
i1
i1
0,
0,xi
0(i
1,2,
,n)
1n
,
(i1,2,n)
0xi
知识题六样本及抽样分布解答
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知识题六样本及抽样分布解答
设X1,X2,...,,分别求出
E(X),D(X),E(S2).
(1)X~B(1,p);
E(X)
p,D(X)
p(1
p),E(S2)
p(1
p)
n
1
1
2
1
(2)X~Exp();
E(X)
,D(X)
n
2,E(S)
2
2
2
(3)
X~U(0,
),
0
。E(X)
,D(X)
,E(S2)
12
2
12n
6.
设X1,X2,...,Xn
是独立同散布的随机变量,且都听从
N(0,
2),试证:
1
n
2
2
(n);
(1)2
i1
Xi~
(2)1
n
2(
Xi)2
~
2(1)
n
i1
解:
(1)X1,X2,...,Xn
是独立同散布的随机变量,且都听从
N(0,
2)
Xi
~N(0,1),
Xi(i
1,2
n)独立,
1
n
2
n
Xi
2
2
~
(n)
2
Xi
(
)
i1
i
1
n
n
2),i
Xi
(2)
Xi
~N(0,n
1
~N(0,1)
i1
n
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.
n
2
1
n
Xi
2
(
Xi)2
i1
~
2(1)
n
i1
n
,X2是取自整体X的一个样本. 试证:X1 X 与 X2 X 有关系数等
于-1.
解:
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知识题六样本及抽样分布解答
cov(X1,X)cov(X1,X1X2)
1
cov(X1,X1)
2
2
D(X1
X)=D(X1)
D(X)-2cov(
X1,X)=
2
同理cov(X2,X)
1
2,D(X2
X)=12
2
2
cov(X1
X,X2
X)
cov(X1,X2)
cov(X1,X)
2
2
2
2

cov(X1,X2)]
1(2
0)
1
2
2
2
2
1
1
2
2
2
2
2
2
cov(X,X2) cov(X,X)
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0
2
2
2
2
2
cov(X1
X,X2
X)
2
1
X1X,X2
X
D(X1X)D(X2X)
2
2
8.
2)的一个样本,试求统计量
n
设X1,X2,...,Xn是取自正态整体N(
,
ciXi的
i1
散布,此中ci(i1,2,...,n)是不全为零的已知常数。
n
n
n
解:ciXi~N(ci
,ci2
2)
i1
i
1
i1
9.
设X1,X2,...,Xn
和Y1,Y2,...,Ym分别是取自正态整体N(
1,12)和N(
2,22)的样
本,且互相独立,试求统计量
U
aX
bY的散布,此中a,b是不全为零的已知
常数;
解:
2
2
2
X
~N(
,
2),i
1,2,
,n,X
~N(
,
1),aX~N(a,a
n
1)
i
1
1
1
n
1
知识题六样本及抽样分布解答
知识题六样本及抽样分布解答
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知识题六样本及抽样分布解答
.
,22),j1,2,,m,Y~N(2
2
2,b
2
2
Yj~N(2
,2),bX~N(b
n
2)
n
,a
2
2
b
2
2
aXbX~N(a1
b2
n
1
n
2)
10.
设X1,X2,...,X5是取自正态整体
N(0,2)的一个样本,试证:
(1)
当k
3时,k
X1
X2
t(3);;
2
X32
X42
X52
(2)
当k
3时k
(X1
X2)2
F(1,3);
2
X32
X42
X52
解:
(1)Xi
~N(0,
2),i
1,2
5
X1
X2
~N(0,2
2),X1
X2
~N(0,1)
2
Xi
0
5
Xi
2
2
2
3,4,5,
(
)
2
~
2
(3),
即
X3
X4
X5
~
2
(3)
~N(0,1),i
2
i
3
X1
X2
2
~t(3),即
3
X1
X2
~t(3)
,
K=
3
X32
X42
X52
2
X32
X42
X52
2
3
2
(2)X1
2
X
1
X2
X2~N(0,2
),
2
~N(0,1)
(X1
X2)2
~
2(1),X32
X32
X32
~
2(3)
2
2
2
(X1
X2)2
3(X1
X2)2
3
22
X32
X32
X32
2X32
X32
X32~F(1,3),
K
2
3
2
知识题六样本及抽样分布解答
知识题六样本及抽样分布解答
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知识题六样本及抽样分布解答
,X2,...,X4是独立同散布的随机变量,且它们都听从 N(0,4),试证:当
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.
a
1
,b
1
时,a(X1
2X2)2
b(3X34X4)2~
2(2).
20
100
解:X1
2X2
~N(0,20),X1
2X2~N(0,1)
20
3X3
4X4~N(0,100),3X3
4X4
~N(0,1)
100
(X1
2X2)2
(
3X3
4X4)2
~
2(2)
20
100
1(X
12X2)2
1
(3X3
4X4)2
~
2(2)
20
100
1
a,b
20100
,X2,...,Xn,Xn1是取自正态整体
N(,2)的一个样本,记
Xn
1n
2
1n
X)
2
ni
Xi,Sn
(Xi
1
ni1
试证:统计量
n
1
Xn1Xn~t(n);
n
1
Sn
(,
2),从中抽取简单随机样本
X1,X2,...,X2n,其
样本均值为
12n
n
2
的数学希望。
X
Xi,求统计量Y(XiXni
2X)
2ni1
i1
1
1
2
解:cov(Xi
Xni,X)
cov(Xi,X)
DXi
DXni
cov(Xni,X)
2n
2n
n
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