高中数学全部知识点提纲整理.pdf

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高中数学全部知识点提纲整理
高中数学全部知识点提纲整理
一、集合与简易逻辑
、无序性和互异性.
,时,必须注意到“极端”情况:或;求集合的子集时是否注
意到是任何集合的子集、是任何非空集合的真子集.
“抓住关联字词”;注意:“不‘或’即‘且’,
不‘且’即‘或’”.
4.“或命题”的真假特点是“一真即真,要假全假”;“且命题”的真
假特点是“一假即假,要真全真”;“非命题”的真假特点是“一真
一假”.
“‘逆’者‘交换’也”、“‘否’者‘否定’也”.
原命题等价于逆否命题,但原命题与逆命题、
法分为三步:假设、推矛、得果.

二、函数
、对数式,
2.(1)映射是“‘全部射出’加‘一箭一雕’”;映射中第一个集合中的
元素必有像,但第二个集合中的元素不一定有原像(中元素的像有且
仅有下一个,但中元素的原像可能没有,也可任意个);函数是“非空
:.
数集上的映射”,其中“值域是映射中像集的子集”.
(2)函数图像与轴垂线至多一个公共点,但与轴垂线的公共点可能没
有,也可任意个.
(3)函数图像一定是坐标系中的曲线,但坐标系中的曲线不一定能成
为函数图像.

(1)奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性,则其单调性完全相
同.
偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性,则其单调性恰恰相反.
(2)复合函数的单调性特点是:“同性得增,增必同性;异性得减,减必
异性”.
复合函数的奇偶性特点是:“内偶则偶,内奇同外”.复合函数要考虑
定义域的变化。(即复合有意义)
(以下结论要消化吸收,不可强记)
(1)函数与函数的图像关于直线(轴)对称.
推广一:如果函数对于一切,都有成立,那么的图像关于直线(由“和
的一半确定”)对称.
推广二:函数,的图像关于直线对称.
(2)函数与函数的图像关于直线(轴)对称.
(3)函数与函数的图像关于坐标原点中心对称.
三、数列
、数列项的项数,递推公式与递推数列,数列的通项与
:.
数列的前项和公式的关系

(1)等差数列公差的取值与等差数列的单调性.
(2)也成等差数列.
(3)两等差数列对应项和(差)组成的新数列仍成等差数列.
(4)仍成等差数列.
(5)“首正”的递等差数列中,前项和的最大值是所有非负项之和;
“首负”的递增等差数列中,前项和的最小值是所有非正项之和;
(6)有限等差数列中,奇数项和与偶数项和的存在必然联系,由数列
,则“偶数项和“奇
数项和=总项数的一半与其公差的积;若总项数为奇数,则“奇数项和
-偶数项和”=此数列的中项.
(7),常考
虑选用“中项关系”转化求解.
(8)判定数列是否是等差数列的主要方法有:定义法、中项法、通项
法、和式法、图像法(也就是说数列是等差数列的充要条件主要有这
五种形式).
:
(1)等比数列的符号特征(全正或全负或一正一负),等比数列的首项、
公比与等比数列的单调性.
(2)两等比数列对应项积(商)组成的新数列仍成等比数列.
(3)“首大于1”的正值递减等比数列中,前项积的最大值是所有大
:.
于或等于1的项的积;“首小于1”的正值递增等比数列中,前项积的
最小值是所有小于或等于1的项的积;
(4)有限等比数列中,奇数项和与偶数项和的存在必然联系,由数列
,则“偶数项和”=“奇
数项和”与“公比”的积;若总项数为奇数,则“奇数项和“首项”
加上“公比”与“偶数项和”积的和.
(5),实数存在等比中
,,两实
数要么没有等比中项(非同号时),如果有,必有一对(同号时).在遇到
三数或四数成等差数列时,常优先考虑选用“中项关系”转化求解.
(6)判定数列是否是等比数列的方法主要有:定义法、中项法、通项
法、和式法(也就是说数列是等比数列的充要条件主要有这四种形式).

(1)如果数列成等差数列,那么数列(总有意义)必成等比数列.
(2)如果数列成等比数列,那么数列必成等差数列.
(3)如果数列既成等差数列又成等比数列,那么数列是非零常数数列;
但数列是常数数列仅是数列既成等差数列又成等比数列的必要非充
分条件.
(4)如果两等差数列有公共项,那么由他们的公共项顺次组成的新数
列也是等差数列,且新等差数列的公差是原两等差数列公差的最小公
倍数.
如果一个等差数列与一个等比数列有公共项顺次组成新数列,那么常
:.
选用“由特殊到一般的方法”进行研讨,且以其等比数列的项为主,
探求等比数列中那些项是他们的公共项,并构成新的数列.
:
(1)公式法:①等差数列求和公式(三种形式),
②等比数列求和公式(三种形式),
(2)分组求和法:在直接运用公式法求和有困难时,常将“和式”中
“同类项”先合并在一起,再运用公式法求和.
(3)倒序相加法:在数列求和中,若和式中到首尾距离相等的两项和
有其共性或数列的通项与组合数相关联,则常可考虑选用倒序相加法,
发挥其共性的作用求和(这也是等差数列前和公式的推导方法).
(4)错位相减法:如果数列的通项是由一个等差数列的通项与一个等
比数列的通项相乘构成,那么常选用错位相减法,将其和转化为“一
个新的的等比数列的和”求解(注意:一般错位相减后,其中“新等
比数列的项数是原数列的项数减一的差”!)(这也是等比数列前和公式
的推导方法之一).
(5)裂项相消法:如果数列的通项可“分裂成两项差”的形式,且相
邻项分裂后相关联,那么常选用裂项相消法求和
(6)通项转换法。
四、三角函数
(的终边在终边所在射线上).
终边与终边共线(的终边在终边所在直线上).
终边与终边关于轴对称
:.
终边与终边关于轴对称
终边与终边关于原点对称
一般地:终边与终边关于角的终边对称.
与的终边关系由“两等分各象限、一二三四”确定.
:,扇形面积公式:1弧度(1rad).
:一是全正、二正弦正、三是切正、四余弦正.
:正弦线“站在轴上(起点在轴上)”、余弦线
“躺在轴上(起点是原点)”、正切线“站在点处(起点是)”.务必重视
“三角函数值的大小与单位圆上相应点的坐标之间的关系,‘正弦’
‘纵坐标’、‘余弦’‘横坐标’、‘正切’‘纵坐标除以横坐标之商’”;
务必记住:单位圆中角终边的变化与值的大小变化的关系为锐角
,平方关系的运用中,务必重视“根据已知角
的范围和三角函数的取值,精确确定角的范围,并进行定号”;
:奇变偶不变,符号看象限.
:角、函数名、次数、系数(常值)的变换,其
核心是“角的变换”!
角的变换主要有:已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、
角与其倍角的变换、两角与其和差角的变换.
、图像及其变换:
(1)三角函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、有界性和周期性
注意:正切函数、余切函数的定义域;绝对值对三角函数周期性的影
响:一般说来,某一周期函数解析式加绝对值或平方,其周期性是:
:.
弦减半、,
其周期性不变;,但的周期为,y=|tanx|的周期
不变,问函数y=cos|x|,,y=cos|x|是周期函数吗?
(2)三角函数图像及其几何性质:
(3)三角函数图像的变换:两轴方向的平移、伸缩及其向量的平移变
换.
(4)三角函数图像的作法:三角函数线法、五点法(五点横坐标成等差
数列)和变换法.
:
(1)内角和定理:三角形三角和为,任意两角和与第三个角总互补,

三内角的余弦值为正值任两角和都是钝角任意两边的平方和大于第
三边的平方.
(2)正弦定理:(R为三角形外接圆的半径).
(3)余弦定理:常选用余弦定理鉴定三角形的类型.
五、向量
,请注意:向量运算中向量起点、
终点及其坐标的特征.
:零向量、单位向量(与共线的单位向量是,平行(共线)向
量(无传递性,是因为有)、相等向量(有传递性)、相反向量、向量垂
直、以及一个向量在另一向量方向上的投影(在上的投影是).
(共线)的充要条件
:.
:如果e1和e2是同一平面内的两个不共线向
量,那么对该平面内的任一向量a,有且只有一对实数,使a=e1+e2.
;
:
六、不等式
1.(1)解不等式是求不等式的解集,最后务必有集合的形式表示;不等
式解集的端点值往往是不等式对应方程的根或不等式有意义范围的
端点值.
(2)解分式不等式的一般解题思路是什么?(移项通分,分子分母分解
因式,x的系数变为正值,标根及奇穿过偶弹回);
(3)含有两个绝对值的不等式如何去绝对值?(一般是根据定义分类讨
论、平方转化或换元转化);
(4)解含参不等式常分类等价转化,:按参数
讨论,最后按参数取值分别说明其解集,但若按未知数讨论,最后应
求并集.
,务必注意a,b(或
a,b非负),且“等号成立”时的条件是积ab或和a+b其中之一应
是定值(一正二定三等四同时).
:(根据目标不等式左右的运算结构选用)
a、b、cR,(当且仅当时,取等号)
:差比较法、商比较法、
函数性质法、综合法、分析法
:.
:
,能成立,恰成立等问题
(1)恒成立问题
若不等式在区间上恒成立,则等价于在区间上
若不等式在区间上恒成立,则等价于在区间上
(2)能成立问题
(3)恰成立问题
若不等式在区间上恰成立,则等价于不等式的解集为.
若不等式在区间上恰成立,则等价于不等式的解集为,
七、直线和圆
;直线方向向量的意义(或)
及其直线方程的向量式((为直线的方向向量)).应用直线方程的点斜式、
斜截式设直线方程时,一般可设直线的斜率为k,但你是否注意到直
线垂直于x轴时,即斜率k不存在的情况?
,常设其方程为或;知直线横截距,常设其方程为(直
线斜率k存在时,为k的倒数)或知直线过点,常设其方程为.
(2)直线在坐标轴上的截距可正、可负、
线的斜率为-1或直线过原点;直线两截距互为相反数直线的斜率为1
或直线过原点;直线两截距绝对值相等直线的斜率为或直线过原点.
(3)在解析几何中,研究两条直线的位置关系时,有可能这两条直线
重合,而在立体几何中一般提到的两条直线可以理解为它们不重合.
:夹角特指
:.
相交两直线所成的较小角,范围是。而其到角是带有方向的角,范围
是
:约束条件、可行解、可行域、目标函数、最
优解.
:最简方程;标准方程;
“函数方程思想”和“数形结合思想”
两种思路,等价转化求解,重要的是发挥“圆的平面几何性质(如半
径、半弦长、弦心距构成直角三角形,切线长定理、割线定理、弦切
角定理等等)的作用!”
(1)过圆上一点圆的切线方程
过圆上一点圆的切线方程
过圆上一点圆的切线方程
如果点在圆外,那么上述直线方程表示过点两切线上两切点的“切
点弦”方程.
如果点在圆内,那么上述直线方程表示与圆相离且垂直于(为圆心)的
直线方程,(为圆心到直线的距离).
;
过两圆交点的圆(公共弦)系为,当且仅当无平方项时,为两圆公共弦
所在直线方程.
八、圆锥曲线
,及其“括号”内的限制条件,在圆锥曲线问
题中,如果涉及到其两焦点(两相异定点),那么将优先选用圆锥曲线
:.
第一定义;如果涉及到其焦点、准线(一定点和不过该点的一定直线)
或离心率,那么将优先选用圆锥曲线第二定义;涉及到焦点三角形的
问题,也要重视焦半径和三角形中正余弦定理等几何性质的应用.
(1)注意:①圆锥曲线第一定义与配方法的综合运用;
②圆锥曲线第二定义是:“点点距为分子、点线距为分母”,椭圆点
点距除以点线距商是小于1的正数,双曲线点点距除以点线距商是
大于1的正数,抛物线点点距除以点线距商是等于1.
:圆锥曲线的对称性、圆锥曲线的范围、圆锥
曲线的特殊点线、,椭圆中、双曲线中.
重视“特征直角三角形、焦半径的最值、焦点弦的最值及其‘顶点、
焦点、准线等相互之间与坐标系无关的几何性质’”,尤其是双曲线中
焦半径最值、焦点弦最值的特点.
,有“函数方程思想”和“数
形结合思想”两种思路,:
①直线与圆锥曲线相交的必要条件是他们构成的方程组有实数解,当
出现一元二次方程时,务必“判别式≥0”,尤其是在应用韦达定理解
决问题时,必须先有“判别式≥0”.
②直线与抛物线(相交不一定交于两点)、双曲线位置关系(相交的四种
情况)的特殊性,应谨慎处理.
③在直线与圆锥曲线的位置关系问题中,常与“弦”相关,“平行弦”
问题的关键是“斜率”、“中点弦”问题关键是“韦达定理”或“小小
直角三角形”或“点差法”、“长度(弦长)”问题关键是长度(弦长)公
:.
式
④如果在一条直线上出现“三个或三个以上的点”,那么可选择应用
“斜率”为桥梁转化.
(待定系数法、定义法、直译法、
代点法、参数法、交轨法、向量法等),以及如何利用曲线的方程讨论
曲线的几何性质(定义法、几何法、代数法、方程函数思想、数形结
合思想、分类讨论思想和等价转化思想等),这是解析几何的两类基
本问题,也是解析几何的基本出发点.
注意:①如果问题中涉及到平面向量知识,那么应从已知向量的特点
出发,考虑选择向量的几何形式进行“摘帽子或脱靴子”转化,还是
选择向量的代数形式进行“摘帽子或脱靴子”转化.
②曲线与曲线方程、轨迹与轨迹方程是两个不同的概念,寻求轨迹或
轨迹方程时应注意轨迹上特殊点对轨迹的“完备性与纯粹性”的影响.
③在与圆锥曲线相关的综合题中,常借助于“平面几何性质”数形结
合(如角平分线的双重身份)、“方程与函数性质”化解析几何问题为
代数问题、“分类讨论思想”化整为零分化处理、“求值构造等式、求
变量范围构造不等关系”等等.
九、直线、平面、简单多面体
(补形)转化为两直线的夹角计算
,或向量法(直线
上向量与平面法向量夹角的余角),三余弦公式(最小角定理),或先运
用等积法求点到直线的距离,:一斜线与
:.
平面上以斜足为顶点的角的两边所成角相等斜线在平面上射影为角
的平分线.
,主要依据相关定义、公理、定理和空间
向量进行,请重视线面平行关系、线面垂直关系(三垂线定理及其逆
定理):书写证明过程需规范.
、正棱柱、平行六面体、长方体、正方体、正四面体、棱锥、
正棱锥关于侧棱、侧面、对角面、平行于底的截面的几何体性质.
如长方体中:对角线长,棱长总和为,全(表)面积为,(结合可得关于
他们的等量关系,结合基本不等式还可建立关于他们的不等关系式),
如三棱锥中:侧棱长相等(侧棱与底面所成角相等)顶点在底上射影为
底面外心,侧棱两两垂直(两对对棱垂直)顶点在底上射影为底面垂心,
斜高长相等(侧面与底面所成相等)且顶点在底上在底面内顶点在底
上射影为底面内心.
:公式法、割补法、等积(转换)法、比
例(性质转换):补形:三棱锥三棱柱平行六面体

体.
正多面体的每个面都是相同边数的正多边形,以每个顶点为其一端都
有相同数目的棱,这样的多面体只有五种,即正四面体、正六面体、
正八面体、正十二面体、正二十面体.
。球表面积公式,
是球半径及的函数.
:.
十、导数
:曲线在该点处的切线的斜率(几何意义)、瞬时速度、
边际成本(成本为因变量、产量为自变量的函数的导数,C为常数)

在一个区间上(个别点取等号)在此区间上为增函数.
在一个区间上(个别点取等号)在此区间上为减函数.
、导数与最值:
(1)函数处有且“左正右负”在处取极大值;
函数在处有且左负右正”在处取极小值.
注意:①在处有是函数在处取极值的必要非充分条件.
②求函数极值的方法:先找定义域,再求导,找出定义域的分界点,
(小)值的条件,一定要既考虑,又
要考虑验“左正右负”(“左负右正”)的转化,否则条件没有用完,
这一点一定要切记.
③单调性与最值(极值)的研究要注意列表!
(2)函数在一闭区间上的最大值是此函数在此区间上的极大值与其端
点值中的“最大值”
函数在一闭区间上的最小值是此函数在此区间上的极小值与其端点
值中的“最小值”;
注意:利用导数求最值的步骤:先找定义域再求出导数为0及导数不
存在的的点,然后比较定义域的端点值和导数为0的点对应函数值的
大小,其中最大的就是最大值,最小就为最小。
:.
怎样学好数学
学好数学兴趣是前提和基础,如果对数学这门功课不感兴趣,那么就
无法把它学好,学起来也是极其痛苦的。经验表明,我们对自己喜欢
的学科往往会投入更多的时间和精力去学,效果也更好。所以培养数
学学习兴趣,由简入难地做数学题效果会很不错。
学数学提前做预习是个好习惯,在预习过程中尽量把问题解决掉,再
做一些相关练习巩固。遇到不理解的地方标注出来等老师上课讲解,
反思自己看书为什么没看懂。
做课后练习题时,围绕公式去举一反三,读每一个已知条件都要给出
数学思维反馈,用画图、试值等多种方法去求解,不要拘泥于唯一解
法。数学成绩好的学生都不是光听课就能学会的,只有自己多琢磨、
多反思,才能学好数学。
学好数学还要善于总结错题,因为我们做错的很多题目都属于同一类
型,把这些题目归纳一下,其实只要掌握几个数学知识点就够了,就
能解决掉大部分错题。因此做数学题目要学会融会贯通、突破难点、
各个击破。
如何快速学好数学
一、课内重视听讲,课后及时复习。
新知识的接受,数学能力的培养主要在课堂上进行,所以要特点重视
课内的学习效率,寻求正确的学习方法。上课时要紧跟老师的思路,
:.
积极展开思维预测下面的步骤,比较自己的解题思路与教师所讲有哪
些不同。特别要抓住基础知识和基本技能的学习,课后要及时复习不
留疑点。
首先要在做各种习题之前将老师所讲的知识点回忆一遍,正确掌握各
类公式的推理过程,庆尽量回忆而不采用不清楚立即翻书之举。
认真独立完成作业,勤于思考,从某种意义上讲,应不造成不懂即问
的学习作风,对于有些题目由于自己的思路不清,一时难以解出,应
让自己冷静下来认真分析题目,尽量自己解决。在每个阶段的学习中
要进行整理和归纳总结,把知识的点、线、面结合起来交织成知识网
络,纳入自己的知识体系。
二、适当多做题,养成良好的解题习惯。
要想学好数学,多做题目是难免的,熟悉掌握各种题型的解题思路。
刚开始要从基础题入手,以课本上的习题为准,反复练习打好基础,
再找一些课外的习题,以帮助开拓思路,提高自己的分析、解决能力,
掌握一般的解题规律。
对于一些易错题,可备有错题集,写出自己的解题思路和正确的解题
过程两者一起比较找出自己的错误所在,以便及时更正。
在平时要养成良好的解题习惯。让自己的精力高度集中,使大脑兴奋,
思维敏捷,能够进入最佳状态,在考试中能运用自如。实践证明:越
到关键时候,你所表现的解题时解题时
随便、粗心、大意等,往往在大考中充分暴露,故在平时养成良好的
解题习惯是非常重要的。
:.
三、调整心态,正确对待考试。
首先,应把主要精力放在基础知识、基本技能、基本方法这三个方面
上,因为每次考试占绝大部分的也是基础性的题目,而对于那些难题
及综合性较强的题目作为调剂,认真思考,尽量让自己理出头绪,做
完题后要总结归纳。
调整好自己的心态,使自己在任何时候镇静,思路有条不紊,克服浮
躁的情绪。特别是对自己要有信心,永远鼓励自己,除了自己,谁也
不能把我打倒,要有自己不垮,谁也不能打垮我的自豪感。
在考试前要做好准备,练练常规题,把自己的思路展开,切忌考前去
在保证正确率的前提下提高解题速度。对于一些容易的基础题要有十
二分把握拿全分;对于一些难题,也要尽量拿分,考试中要学会尝试
得分,使自己的水平正常甚至超常发挥。
由此可见,要把数学学好就得找到适合自己的学习方法,了解数学学
科的特点,使自己进入数学的广阔天地中去。