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初中数学二次函数知识点汇总
博明学校2010年中考数学专题复习(二次函数)
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:一般地,如果是常数,,那么叫做的二次函数.
(1)抛物线的顶点是坐标原点,对称轴是轴.
(2)函数的图像与的符号关系.
①当时抛物线开口向上顶点为其最低点;
②当时抛物线开口向下顶点为其最高点.
(3)顶点是坐标原点,对称轴是轴的抛物线的解析式形式为.
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(包括重合)轴的抛物线.
:的形式,其中.
,可分为以下几种形式:①;②;③;④;⑤.
:开口方向、对称轴、顶点.
①的符号决定抛物线的开口方向:当时,开口向上;当时,开口向下;
相等,抛物线的开口大小、形状相同.
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②平行于轴(或重合),轴记作直线.
,如果二次项系数相同,那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同,只是顶点的位置不同.
、对称轴的方法(1)公式法:,∴顶点是,对称轴是直线.
(2)配方法:运用配方的方法,将抛物线的解析式化为的形式,得到顶点为(,),对称轴是直线.
(3)运用抛物线的对称性:由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形,所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴,对称轴与抛物线的交点是顶点.
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用配方法求得的顶点,再用公式法或对称性进行验证,才能做到万无一失.
,的作用
(1)决定开口方向及开口大小,这与中的完全一样.
(2)
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,故:①时,对称轴为轴;②(即、同号)时,对称轴在轴左侧;③(即、异号)时,对称轴在轴右侧.
(3)的大小决定抛物线与轴交点的位置.
当时,,∴抛物线与轴有且只有一个交点(0,):
①,抛物线经过原点;②,与轴交于正半轴;③,与轴交于负半轴.
以上三点中,当结论和条件互换时,,则.
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:
函数解析式
开口方向
对称轴
顶点坐标
当时
(轴)
(0,0)
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开口向上
当时
开口向下
(轴)
(0,)
(,0)
(,)
()
(1)一般式:.已知图像上三点或三对、的值,通常选择一般式.
(2)顶点式:.已知图像的顶点或对称轴,通常选择顶点式.
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(3)交点式:已知图像与轴的交点坐标、,通常选用交点式:.
(1)轴与抛物线得交点为(0,).
(2)与轴平行的直线与抛物线有且只有一个交点(,).
(3)抛物线与轴的交点
二次函数的图像与轴的两个交点的横坐标、,:
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①有两个交点抛物线与轴相交;
②有一个交点(顶点在轴上)抛物线与轴相切;
③没有交点抛物线与轴相离.
(4)平行于轴的直线与抛物线的交点
同(3)一样可能有0个交点、1个交点、,两交点的纵坐标相等,设纵坐标为,则横坐标是的两个实数根.
(5)一次函数的图像与二次函数的图像的交点,由方程组
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