衡水理科数学.pdf

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2017—2018学年度第一学期高三十模考试
数学试卷(理科)
一、选择题(每小题5分,,请将正
确答案的序号填涂在答题卡上)
{x|ylog(2x)},B{x|x23x20},则CB()
2A
A.(,1)B.(,1]C.(2,)D.[2,)
23i
,复数z对应的点的坐标为(2,2),则z在复平面内对应的点位于()
32i

ABC中,sinA2sinBcosC0,3bc,则tanA的值是()
32343
.
333
n
{(x,y)|0xm,0y1},s为(e1)的展开式的第一项(e为自然对数的底数),
mns,若任取(a,b)A,则满足ab1的概率是()
22e2e1
.
eeee
4
xlgx
的图象大致是()
x
·1·:.
.
,若该几何体的体积为2448,则该几何体的表面积为
()
9066641
1
1717,blog17,clog16,则a,b,c的大小关系为()
1617
bcaba
,则输出结果为()
·2·:.
..5151
x2y2
,设椭圆E:221(ab0)的右顶点为A,右焦点为F,B为椭圆在第二象限上
ab
的点,直线BO交椭圆E于点C,若直线BF平分线段AC于M,则椭圆E的离心率是()
1211
.
2334
(x)为定义域为R的奇函数,且f(x)f(2x),当x[0,1]时,f(x)sinx,则函
59
数g(x)cos(x)f(x)在区间[,]上的所有零点的和为()
22

2
(x)xsinx,其中f'(x)为函数f(x)的导数,求f(2018)f(2018)
20191
f'(2019)f'(2019)()

:yax1a(aR),若存在实数a使得一条曲线与直线l有两个不同的交点,且
以这两个交点为端点的线段长度恰好等于a,则称此曲线为直线l的“绝对曲线”.下面给出的四
条曲线方程:
①y2x1;②(x1)2(y1)21;③x23y24;④y24x.
其中直线l的“绝对曲线”的条数为()

·3·:.
二、填空题:(本大题共4小题,每题5分,共20分)
x2y20
x3y4
,y满足2xy40,且m,则实数m的取值范围.
x1
yx1
x2y2
21的左右焦点分别为F1、F2,P是双曲线右支上一点,I为PF1F2的内心,
ab
PI交x轴于Q点,若F1QPF2,且PI:IQ2:1,则双曲线的离心率e的值为.

,e2满足e13e1e22,则e1在e2方向上投影的最大值是.
:
131;
2335;
337911;
3
413151719;
……
若m3(mN*)按上述规律展开后,发现等式右边含有“2017”这个数,则m的值
为.
三、解答题:(本大题共6小题,、证明过程或演算步
~21为必考题,、23题为选考题,考生根据
要求作答)
{an}中,公差d0,S735,且a2,a5,a11成等比数列.
·4·:.
(1)求数列{an}的通项公式;
1*
(2)若Tn为数列{}的前n项和,且存在nN,使得Tnan10成立,求实数的取值
anan1
范围.
,学校对某班男、女学生学习时间进行调查,学习时间按整小时
统计,调查结果绘成折线图如下:
(1)已知该校有400名学生,试估计全校学生中,每天学习不足4小时的人数.
(2)若从学习时间不少于4小时的学生中选取4人,设选到的男生人数为X,求随机变量X的分
布列.
22
(3)试比较男生学习时间的方差S1与女生学习时间方差S2的大小.(只需写出结论)
,四棱锥PABCD的底面为矩形,已知PAPBPCBC1,AB2,过
底面对角线AC作与PB平行的平面交PD于E.
·5·:.
(1)试判定点E的位置,并加以证明;
(2)求二面角EACD的余弦值.
,ABC的两个顶点为B(0,1),C(0,1),平面内两点P、Q同时满

足:①PAPBPC0;②QAQBQC;③PQ//BC.
(1)求顶点A的轨迹E的方程;
(2)过点F(2,0)作两条互相垂直的直线l1,l2,直线l1,l2与A的轨迹E相交弦分别为A1B1,
A2B2,设弦A1B1,A2B2的中点分别为M,N.
①求四边形A1A2B1B2的面积S的最小值;
②试问:直线MN是否恒过一个定点?若过定点,请求出该定点,若不过定点,请说明理由.
ln(x1)
(x).
ax1
(1)当a1,求函数yf(x)的图象在x0处的切线方程;
(2)若函数f(x)在(0,1)上单调递增,求实数a的取值范围;
(3x1)ln(x1)(3y1)ln(y1)
(3)已知x,y,z均为正实数,且xyz1,求证
x1y1
(3z1)ln(z1)
0.
z1
请考生在22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.
22.[选修4-4:坐标系与参数方程]
24
在极坐标系中,曲线C1的极坐标方程是,以极点为原点O,极轴为x轴正半
4cos3sin
·6·:.
xcos
轴(两坐标系取相同的单位长度)的直角坐标系xOy中,曲线C2的参数方程为:(
ysin
为参数).
(1)求曲线C1的直角坐标方程与曲线C2的普通方程;
x'22x
(2)将曲线C2经过伸缩变换后得到曲线C3,若M,N分别是曲线C1和曲线C3上
y'2y
的动点,求MN的最小值.
23.[选修4-5:不等式选讲]
已知f(x)2xax1(aR).
(1)当a1时,解不等式f(x)2.
21
(2)若不等式f(x)x1xa对xR恒成立,求实数a的取值范围.
2
·7·:.
十模数学答案(理)
一、选择题
1-5:BDACD6-10:DACCA11、12:AC
二、填空题
342
13.[2,7].
23
三、解答题
76
7a1d35a13d5
:(1)由题意可得2,即2.
22da1d
(a14d)(a1d)(a110d)
a12
又因为d0,所以.所以ann1.
d1
1111111111
(2)因为,所以Tn
anan1(n1)(n2)n1n22334n1n2
11n
.
2n22(n2)
**n
因为存在nN,使得Tnan10成立,所以存在nN,使得(n2)0成
2(n2)
立,
*n
即存在nN,使得2成立.
2(n2)
n111
又2,(当且仅当n2时取等号),
2(n2)4416
2(n4)2(n4)
nn
·8·:.
11
所以.即实数的取值范围是(,].
1616
:(1)由折线图可得共抽取了20人,其中男生中学习时间不足4小时的有8人,女生中学习
时间不足4小时的有4人.
12
∴可估计全校中每天学习不足4小时的人数为:400240人.
20
(2)学习时间不少于4本的学生共8人,其中男学生人数为4人,故X的所有可能取值为0,1,
2,3,4.
4
C41
由题意可得P(X0)4;
C870
13
C4C4168
P(X1)4;
C87035
C2C2
443618
P(X2)4;
C87035
C3C1168
P(X3)44;
C47035
8
C41
P(X4)4.
C470
8
所以随机变量X的分布列为
X01234
181881
P
7035353570
11636161
∴均值EX012342.
7070707070
·9·:.
(3)由折线图可得s2s2.
12
:(1)E为PD的中点,证明如下:
连接OE,因为PB//平面AEC,平面PBD平面AECOE,PB平面AEC,所以
PB//OE,又O为BD的中点,所以E为PD的中点.
(2)连接PO,因为四边形ABCD为矩形,所以OAPC,所以PO
理,得POBD,所以PO平面ABCD,以O为原点,OP为z轴,过O平行于AD的直线为
x轴,过O平行于CD的直线为y轴建立空间直角坐标系(如图所示).
121212121
易知A(,,0),B(,,0),C(,,0),D(,,0),P(0,0,),
222222222
121
E(,,),
444
12112
则EA(,,),OA(,,0).
44422

显然,(x,y,z)是平面ACE的一个法向量,
121
xyz0
n1EA0444
则,即,取y1,
n1OA012
xy0
22

则n1(2,1,22),

nOP222
所以cosn,OP1,
1
n1OP11
·10·:.
222
所以二面角EACD的余弦值为.
11
2
x2332
20.(1)y1(x0);(2)①S的最小值的,②直线MN恒过定点,0.
324


试题解析:(1)∵PAPB2PO,

∴由①知PC2PO,
∴P为ABC的重心.
xy
设A(x,y),则P,,由②知Q是ABC的外心,
33
22
xxx2
∴Q在x轴上由③知Q,0,由QCQA,得1xy,化简整理得:
333
x2
y21(x0).
3
x2
2
(2)解:F(2,0)恰为y1的右焦点,
3
①当直线l1,l2的斜率存且不为0时,设直线l1的方程为myx2,
myx222
由(m3)y22my10,
x23y230

22m1
设A1(x1,y1),B1(x2,y2),则y1y22,y1y22,
m3m3
2
①根据焦半径公式得A1B123(x1x2),
3
·11·:.
22m262
又x1x2my12my22m(y1y2)222222,
m3m3
1
223212
4323(m1)m23(m1)
所以A1B12322,同理A2B22,
m3m313m1
23
m
(m21)2(m21)2
3
则S62262,
(m3)(3m1)22
4(m1)

2
22
当m33m1,即m1时取等号.
322m32m22m
②根据中点坐标公式得M2,2,同理可求得N2,2,
m3m33m13m1

2m2m
22
3m3m34m
则直线MN的斜率为kMN22,
32m323(m1)
22
3m1m3
2m4m32
∴直线MN的方程为y22x2,
m33(m1)m3

432
整理化简得3ym324xm6ym3324xm9y0,
32
令y0,解得x.
4
32
∴直线MN恒过定点,0.
4

②当直线l1,l2有一条直线斜率不存在时,另一条斜率一定为0,直线MN即为x轴,过点
·12·:.
32
,0.
4

332
综上,S的最小值的,直线MN恒过定点,0.
24

ln(x1)
21.(1)当a1时,f(x)则f(0)0,
x1
1ln(x1)
f'(x)2则f'(0)1,
(x1)
∴函数yf(x)的图象在x0时的切线方程为yx.
(2)∵函数f(x)在(0,1)上单调递增,∴ax10在(0,1)上无解,
当a0时,ax10在(0,1)上无解满足,
当a0时,只需1a01a0,∴a1①
ax1
aln(x1)
f'(x)x1,
2
(ax1)
∵函数f(x)在(0,1)上单调递增,∴f'(x)0在(0,1)上恒成立,
即a(x1)ln(x1)x1在(0,1)上恒成立.
1
设(x)(x1)ln(x1)x'(x)ln(x1)(x1)1ln(x1),
x1
∵x(0,1),∴'(x)0,则(x)在(0,1)上单调递增,
∴(x)在(0,1)上的值域为(0,2ln21).
·13·:.
11
∴a在(0,1)上恒成立,则a②
(x1)ln(x1)x2ln21
1
综合①②得实数a的取值范围为1,.
2ln21
ln(x1)
(3)由(2)知,当a1时,f(x)在(0,1)上单调递增,
1x
1ln(x1)134
于是当0x时,f(x)f()ln,
31x323
1ln(x1)134
当x1时,f(x)f()ln,
31x323
34(3x1)ln(x1)33
∴(3x1)f(x)(3x1)ln,即(3x1)ln,
23x124
(3y1)ln(y1)33(3z1)ln(z1)33
同理有(3y1)ln,(3z1)ln,
y124z124
(3x1)ln(x1)(3y1)ln(y1)(3z1)ln(z1)
三式相加得0.
x1y1z1
24
:(1)∵C1的极坐标方程是,∴4cos3sin24,整理得
4cos3sin
4x3y240,∴C1的直角坐标方程为4x3y240.
xcos2222
曲线C2:,∴xy1,故C2的普通方程为xy1.
ysin
x'22xx'2y'2

(2)将曲线C2经过伸缩变换后得到曲线C3的方程为1,则曲线C3的参数
y'2y84
x22cos
方程为(为参数).设N22cos,2sin,则点N到曲线C1的距离为
y2sin
·14·:.
422cos32sin24241sin()2424241sin()
d
555
42
(tan).
3
2424124241
当sin1时,d有最小值,所以MN的最小值为.
55
:(1)当a1时,等式f(x)2,即2x1x12,
11
x11xx
等价于或2或2,
12xx12
12xx122x1x12
2
解得x或x4,
3
2
所以原不等式的解集为(,)(4,);
3
a
ax,x
2
(2)设g(x)f(x)x1x2xax,则f(x),
a
3xa,x
2
aa
则f(x)在(,)上是减函数,在(,)上是增函数,
22
aaa
∴当x时,f(x)取最小值且最小值为f(),
222
a2111
∴a,解得a1,∴实数a的取值范围为(,1).
2222
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·15·