高三文科数学知识点总结.docx

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高中数学必修1知识点
第一章会合与函数观点
【】会合的含义与表示
〔1〕会合的观点
会合中的元素拥有确立性、互异性和无序性.
〔2〕常用数集及其记法
N表示自然数集,N
或N表示正整数集,
Z表示整数集,Q表示有理数集,
R表示实数集.
〔3〕会合与元素间的关系
对象a与会合M的关系是a
M,或许a
M,二者必居其一.
4〕会合的表示法
①自然语言法:用文字表达的形式来描绘会合.
②列举法:把会合中的元素一一列举出来,写在大括号内表示会合.③描绘法:{x|x拥有的性质},此中x为会合的代表元素.④图示法:用数轴或韦恩图来表示会合.
5〕会合的分类
①含有有限个元素的会合叫做有限集.②含有无穷个元素的会合叫做无穷集.③不含有任何元素的会合
叫做空集().
【】会合间的根本关系
〔6〕子集、真子集、会合相等
名称记号意义

性质表示图
AB
〔或
子集
BA)
AB
真子集
〔或BA〕
会合
AB
相等

中的任一元素都属于B
B,且B中起码有一元素不属于A
中的任一元素都属于B,B中的任一元素都属于A

(1)A
A
(2)
A
A(B)
BA
(3)假定A
B且B
C,那么A
C
(4)假定A
B且B
A,那么A
B
或
〔1〕
A〔A为非空子集〕
BA
(2)假定A
B且B
C,那么A
C
(1)AB
A(B)
(2)BA
〔7
〕会合A有n(n1)
个元素,那么它有
2n个子集,它有2n
1个真子集,它有2n
1个非空子集,它
有2n
2非空真子集.
【
】会合的根本运算
〔8
〕交集、并集、补集
名称
记号
意义
性质
表示图
.
.适用文档.
交集
并集

{x|x
〔1〕A
A
A
A
A,且
B
〔2〕A
A
B
〔3〕A
B
A
x
B}
B
B
A
{x|x
〔1〕A
A
A
A
A,或
A
B
〔2〕A
A
B
x
〔3〕A
B
A
B}
B
B
A
1A(UA)
2A(UA)U
补集
{x|xU,且xA}
U(AB)(UA)(
UB)
UA
U(AB)(UA)(UB)
【增补知识】含绝对值的不等式与一元二次不等式的解法
〔1〕含绝对值的不等式的解法
不等式
解集
|x|a(a0)
{x|axa}
|x|a(a0)
x|xa或xa}
把ax
b看成一个整体,化成|x|
a,
|axb|c,|ax
b|c(c0)
|x|
a(a0)型不等式来求解
2〕一元二次不等式的解法鉴别式
b2
4ac
0
0
0
二次函数
y
ax2
bx
c(a
0)
的图象
O
一元二次方程
b
b
2
4ac
ax2
bx
c
0(a
0)
x1,2
2a
x1x2
b
无实根
〔此中x1x2)
2a
的根
ax2
bx
c
0(a
0)
{x|x
x1或x
x2}
{x|x
b}
R
的解集
2a
ax2
bx
c
0(a
0)
{x|x1
x
x2}
的解集
〖〗函数及其表示
.
.适用文档.
【】函数的观点
〔1〕函数的观点
①设A、B是两个非空的数集,假如依照某种对应法那么f,对于会合A中任何一个数x,在会合
B中都有独一确立的数f(x)和它对应,那么这样的对应〔包含会合A,B以及A到B的对应法
那么f〕叫做会合A到B的一个函数,记作f:AB.
②函数的三因素:定义域、值域和对应法那么.
③只有定义域同样,且对应法那么也同样的两个函数才是同一函数.
〔2〕区间的观点及表示法
①设a,b是两个实数,且
a
b,知足a
xb的实数x的会合叫做闭区间,记做
[a,b];知足
axb的实数x的会合叫做开区间,记做
(a,b);知足ax
b,或ax
b的实数x的
会合叫做半开半闭区间,分别记做
[a,b),
(a,b];知足xa,x
a,xb,x
b的实数x的集
合分别记做[a,),(a,
),(
,b],(
,b).
注意:对于会合{x|a
x
b}与区间(a,b),前者a能够大于或等于b,尔后者一定
b.
3〕求函数的定义域时,一般依照以下原那么:
f(x)是整式时,定义域是全体实数.
②f(x)是分式函数时,定义域是使分母不为零的一的确数.
③f(x)是偶次根式时,定义域是使被开方式为非负值时的实数的会合.
④对数函数的真数大于零,当对数或指数函数的底数中含变量时,底数须大于零且不等于1.
⑤ytanx中,xk(kZ).
2
⑥零〔负〕指数幂的底数不可以为零.
⑦假定f(x)是由有限个根本初等函数的四那么运算而合成的函数时,那么其定义域一般是各根本初
等函数的定义域的交集.
⑧对于求复合函数定义域问题,一般步骤是:假定f(x)的定义域为[a,b],其复合函数f[g(x)]的
定义域应由不等式ag(x)b解出.
⑨对于含字母参数的函数,求其定义域,依据问题详细状况需对字母参数进行分类议论.
⑩由实质问题确立的函数,其定义域除使函数存心义外,还要切合问题的实质意义.
4〕求函数的值域或最值
,假如在函数的值域中存在一个
.
.适用文档.
最小〔大〕数,这个数就是函数的最小〔大〕,其实质是同样的,:
①察看法:对于比较简单的函数,我们能够经过察看直接获取值域或最值.②配方法:将函数分析式化成含有自变量的平方式与常数的和,而后依据变量的取值范围确立函数的值域或最值.
③鉴别式法:假定函数yf(x)能够化成一个系数含有y的对于x的二次方程
a(y)x2b(y)xc(y)0,那么在a(y)0时,因为x,y为实数,故一定有
b2(y)4a(y)c(y)0,从而确立函数的值域或最值.
④不等式法:利用根本不等式确立函数的值域或最值.
⑤换元法:经过变量代换抵达化繁为简、化难为易的目的,三角代换可将代数函数的最值问题转变成三角函数的最值问题.
⑥反函数法:利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系确立函数的值域或最值.
⑦数形联合法:利用函数图象或几何方法确立函数的值域或最值.
⑧函数的单一性法.
【】函数的表示法
5〕函数的表示方法
表示函数的方法,常用的有分析法、列表法、图象法三种.
分析法::就是列出表格来表示两个变量之间
:就是用图象表示两个变量之间的对应关系.
〔6〕映照的观点
①设A、B是两个会合,假如依照某种对应法那么f,对于会合A中任何一个元素,在会合B中
都有独一的元素和它对应,那么这样的对应〔包含会合A,B以及A到B的对应法那么f〕叫做
会合A到B的映照,记作f:AB.
②给定一个会合A到会合B的映照,且aA,,那么我们把元素
b叫做元素a的象,元素a叫做元素b的原象.
〗函数的根天性质
】单一性与最大〔小〕值
1〕函数的单一性①定义及判断方法
函数的
定义图象判断方法
性质
.
.适用文档.
假如对于属于定义域
I内某
个区间上的随意两个自变量
y
y=f(X)
的值x1、x2,当x1<x2
时,都
f(x2)
....
有f(x1)<f(x2),那么就说
.........
f(x1)
f(x)在这个区间上是增函数.
...
o
x1
x2
x
函数的
单一性
假如对于属于定义域
I内某
y
y=f(X)
个区间上的随意两个自变量
f(x1)
的值x1、x2,当x1<x2
时,都
...
f(x2)
有f(x1)>f(x2),那么就说
.........
f(x)在这个区间上是减函数.
o
x1
x2x
...

1〕利用定义
2〕利用函数的单一
性
3〕利用函数图象〔在
某个区间图
象上涨为增〕
4〕利用复合函数
1〕利用定义
2〕利用函数的单一
性
3〕利用函数图象〔在某个区间图
象降落为减〕
4〕利用复合函数
②在公共定义域内,两个增函数的和是增函数,两个减函数的和是减函数,增函数减去一个减函数为
增函数,减函数减去一个增函数为减函数.
③对于复合函数
y
f[g(x)],令u
g(x),假定
y
f(u)为增,
ug(x)为增,那么
y
f[g(x)]为增;假定y
f(u)为减,u
g(x)为减,那么y
f[g(x)]为增;假定
yf(u)为增,u
g(x)为减,那么y
f[g(x)]为减;假定y
f(u)为减,u
g(x)y
为增,那么
y
f[g(x)]为减.
〔2〕打“√〞函数
f(x)
x
a(a
0)的图象与性质
x
f(x)分别在(
,
a]、[
a,)上为增函数,分别在
o
x
[
a,0)、(0,a]上为减函数.
〔3〕最大〔小〕值定义
①一般地,设函数
y
f(x)的定义域为I,假如存在实数
M知足:〔1〕
对于随意的x
I,都有f(x)
M;
〔2〕存在x0
I,使得
f(x0)
,我们称
M是函数f(x)
的最大值,记作
fmax(x)
M.
②一般地,设函数
y
f(x)的定义域为I,假如存在实数
m知足:〔1〕对于随意的
xI,都有
f(x)m;〔2〕存在x0
I,使得f(x0),我们称
m是函数f(x)的最小值,记作
fmax(x)
m.
.
.适用文档.
】奇偶性
4〕函数的奇偶性①定义及判断方法
函数的
定义
图象
判断方法
性质
假如对于函数
f(x)
定义域内
〔1〕利用定义〔要先
随意一个x,都有f(-x)=-
判判定义域能否对于
.......
f(x),那么函数f(x)
叫做奇函
原点对称〕
....
..
数.
〔2〕利用图象〔图象
.
对于原点对称〕
函数的
奇偶性
假如对于函数
f(x)
定义域内
〔1〕利用定义〔要先
随意一个x,都有f(-x)=f(x),
判判定义域能否对于
..........
那么函数f(x)
叫做偶函数.
原点对称〕
...
〔2〕利用图象〔图象
对于y轴对称〕
②假定函数f(x)为奇函数,且在x
0处有定义,那么
f(0)0.
③奇函数在y轴双侧相对称的区间增减性同样,偶函数在
y轴双侧相对称的区间增减性相反.
④在公共定义域内,两个偶函数〔或奇函数〕的和〔或差〕还是偶函数〔或奇函数〕,两个偶函数〔或
奇函数〕的积〔或商〕是偶函数,一个偶函数与一个奇函数的积〔或商〕是奇函数.
〖增补知识〗函数的图象
〔1〕作图
利用描点法作图:
①确立函数的定义域;②化解函数分析式;
③议论函数的性质〔奇偶性、单一性〕;④画出函数的图象.
利用根本函数图象的变换作图:
要正确记忆一次函数、二次函数、反比率函数、指数函数、对数函数、幂函数、三角函数等各样根本
初等函数的图象.
①平移变换
y
f(x)
h0,左移h个单位
h
0,右移|h|个单位
y
f(x)
k0,上移k个单位
k
0,下移|k|个单位
②伸缩变换

f(xh)yf(x)k
y
f(x)
0
1,伸
1,缩
y
f(x)
0
A1,缩
A1,伸
③对称变换

f(x)yAf(x)
yf(x)
x轴
f(x)
yf(x)
y轴
y
yf(x)
.
.适用文档.
y
f(x)
原点
y
f(x)
直线
yx
yf1(x)
yf(x)
y
f(x)
去掉y轴左边图象
y
f(|x|)
保存y轴右边图象,并作其对于
y轴对称图象
y
f(x)
保存x轴上方图象
y
|f(x)|
将x轴下方图象翻折上去
2〕识图
对于给定函数的图象,要能从图象的左右、上下分别范围、变化趋向、对称性等方面研究函数的定义域、值域、单一性、奇偶性,注企图象与函数分析式中参数的关系.
3〕用图
函数图象形象地显示了函数的性质,为研究数目关系问题供给了“形〞的直观性,它是探究解题门路,.
第二章根本初等函数(Ⅰ)
〗指数函数
】指数与指数幂的运算
〔1〕根式的观点
①假如
x
n
aaRxRn
nN
x
an
n
,
,
,
1,且
,那么
叫做
的

是奇数时,
a的n次方根用符号
na表示;当n是偶数时,正数a的正的n次方根用符号n
a表示,负的n次方
根用符号
na表示;0的n次方根是
0;负数a没有n次方根.
②式子na叫做根式,这里
n叫做根指数,
n为奇数时,a为随意实数;当
n为偶数时,a
0.
③根式的性质:(na)n
a;当n为奇数时,nan
a;当n为偶数时,
nan
|a|
a
(a
0)
.
a
(a
0)
〔2〕分数指数幂的观点
m
n
m
a
n
a
(
a
0,
,
N
,且
n
1)
.0的正分数指数
①正数的正分数指数幂的意义是:
幂等于0.
m
1
m
1
)m(a
②正数的负分数指数幂的意义是:
a
n
(
)n
n(
0,m,n
N,且n1).0
a
a
的负分数指数幂没存心义.
注意口诀:底数取倒数,指数取相反数.
〔3〕分数指数幂的运算性质
①ar
as
ar
s(a
0,r,sR)
②
(ar)s
ars(a
0,r,s
R)
③(
)r
r
b
r(
a
0,
b
0,
rR
)
ab
a
【
】指数函数及其性质
.
4〕指数函数函数名称
定义
图象
定义域
值域
过定点
奇偶性
单一性
函数值的
变化状况
a变化对图象的影响

.适用文档.
指数函数
函数yax(a0且a1)叫做指数函数
a10a1
yyaxyaxy
y1
y1
(0,1)
(0,1)
O
x
O
x
R
(0,)
图象过定点
(0,1),即当x
0时,y
1.
非奇非偶
在R上是增函数
在R上是减函数
ax
1(x0)
ax
1(x0)
ax
1(x0)
ax
1(x0)
ax
1(x0)
ax
1(x0)
在第一象限内,
a越大图象越高;在第二象限内,
a越大图象越低.
〗对数函数
】对数与对数运算
(1)对数的定义
①假定axN(a0,且a1),那么x叫做以a为底N的对数,记作xlogaN,此中a叫做
底数,N叫做真数.
②负数和零没有对数.
③对数式与指数式的互化:
xlogaN
ax
N(a0,a1,N0).
〔2〕几个重要的对数恒等式
loga10,logaa
1,logaab
b.
〔3〕常用对数与自然对数
常用对数:lgN,即log10N;自然对数:lnN,即logeN〔〕.
.
.适用文档.
〔4〕对数的运算性质
假如a
0,a
1,M
0,N
0,那么
①加法:logaM
loga
Nloga(MN)
②减法:logaM
M
logaNloga
N
③数乘:nlogaM
logaM
n
(n
R)
④a
logaN
N
⑤logabMn
nlogaM(b
0,n
R)
⑥换底公式:logaN
logbN(b0,且b1)
b
logba
【】对数函数及其性质
5〕对数函数函数
名称
对数函数
定义
函数
log
(
0且
叫做对数函数
y
axa
a
1)
a1
0a
1
x
1
x
1
y
y
loga
x
y
ylogax
图象
定义域
值域
过定点
奇偶性
单一性
函数值的
变化状况
a变化对图象的影响
反函数的观点

(1,0)
O
(1,0)
x
O
x
(0,)
R
图象过定点(1,0),即当x1时,y0.
非奇非偶
在(0,
)上是增函数
在(0,
)上是减函数
logax
0
(x
1)
logax
0
(x
1)
logax
0
(x
1)
logax
0
(x
1)
logax
0
(0
x1)
logax
0
(0
x1)
在第一象限内,
a越大图象越靠低;在第四象限内,
a越大图象越靠高.
设函数yf(x)的定义域为A,值域为C,从式子yf(x)中解出x,得式子x(y).如
.
.适用文档.
果对于
y在C中的任何一个值,经过式子x
(y),x在A中都有独一确立的值和它对应,那么式
子x
(y)表示x是y的函数,函数x
(y)叫做函数y
f(x)的反函数,记作x
f1(y),
习惯上改写成yf1(x).
〔7〕反函数的求法
①确立反函数的定义域,即原函数的值域;②从原函数式
y
f(x)中反解出x
f
1(y);
③将x
f
1(y)改写成yf
1(x),并注明反函数的定义域.
〔8〕反函数的性质
①原函数y
f(x)与反函数y
f1(x)的图象对于直线
y
x对称.
②函数y
f(x)的定义域、值域分别是其反函数yf
1(x)的值域、定义域.
③假定
P(a,b)在原函数y
f(x)的图象上,那么
P'(b,a)在反函数y
f
1(x)的图象上.
④一般地,函数yf(x)要有反函数那么它一定为单一函数.
〖〗幂函数
〔1
〕幂函数的定义
一般地,函数y
x叫做幂函数,此中
x为自变量,
是常数.
〔2
〕幂函数的图象
3〕幂函数的性质
①图象散布:幂函数图象散布在第一、二、三象限,,图象散布在第
.