人教版八年级教学数学分式知识点总结及典型例题.docx

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分式的知识点及典型例题解析
1、分式的定义:
例:以下式子中,
15
2
、
9a
、
5ab
、
3a2
b2
、2-
2
、
1
、
5xy
1
、
1
、
x2
1
、
、8a
b
xy
-
232xy
4
am
6
x
2
2
3xy、3
、
1
中分式的个数为(
)
(A)2
(B)3
(C)4
(D)
x
a
y
m
5
练习题:(1)以下式子中,是分式的有.
⑴
2x7
;⑵
x1
;⑶
5a2
;⑷
x2
x2
;⑸2
b2
;⑹
xy
2.
x
5
2
3
a
b
2x
2
y
(2)以下式子,哪些是分式?
a;
x2
3
;y3
;
7x;xxy;1b.
5
4
y
8
x2y
45
2、分式有,无心义,总有意义:
(1)使分式有意义:令分母≠0按解方程的方法去求解;
(2)使分式无心义:令分母=0按解方程的方法去求解;
注意:(x2
1≠0)
例1:当x
时,分式
1
有意义;
例2:分式2x
1中,当x
____时,分式没
x
5
2
x
有意义
例3:当x
时,分式
1
1有意义。
例4:当x
时,分式
x
有
x2
x2
1
意义
例5:x,y满足关系
时,分式x
y无心义;
x
y
例6:不论x取什么数时,老是有意义的分式是(
)
A.
22x
B.
x
C.
33x
1

25
x
1
x
2x1
x
x
例7:使分式
有意义的x的取值范围为(
)



2
x2
1
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例8:若是分式
x2
没有意义,则x的值为(
)
B.-1或-3C.-
1)(x3)
(x
同步练习题:
3、分式的值为零:
使分式值为零:令分子=0且分母≠0,注意:当分子等于
0使,看看能否使分母=0了,假如
使分母=0了,那么要舍去。
例1:当x
时,分式1
2a的值为0
例2:当x
时,分式x2
1的
a
1
x
1
值为0
a
2
的值为为零,则a的值为(
)
A.
2

例3:假如分式
2
a
上全不对
例4:能使分式x2
x的值为零的所有x的值是(
)
x2
1
Ax0
Bx1Cx0或x1Dx
0或x
1
例5:要使分式
x2
9
的值为0,则x的值为(
)-3

C.-3
2
5x
x
6
D2
例6:若a
10
则
a
是
(
)A.
正数
B.
负数
C.
零
D.
随意有理数
,
a
4、分式的基天性质的应用:
分式的基天性质:分式的分子与分母同乘或除以一个不等于
0的整式,分式的值不变。
A
A
C
C0
A
AC
B
B
C
B
BC
例1:xy
aby
;
6x(y
z)
yz
;假如5(3a
1)
5成立,则a的取值范围是________;
a
3(y
z)2
7(3a
1)
7
例2:ab2
(
1
)
bc
(
b
c
a3b3
a
)
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2
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例3:假如把分式a
2b中的a和b都扩大10倍,那么分式的值(
)
ab
A、扩大10倍
B
、减小10倍
C
、是本来的20倍D、不变
例4:假如把分式10x
中的x,y都扩大10倍,则分式的值(
)
x
y

B
.扩大10倍
C
.不变
D
.减小到本来的1
10
例5:假如把分式
xy
中的x和y都扩大2倍,即分式的值(
)
x
y
A、扩大2倍;
B、扩大4倍;
C、不变;
D减小2倍
例6:假如把分式x
y中的x和y都扩大2倍,即分式的值(
)
x
y
A、扩大2倍;
B、扩大4倍;
C、不变;
D减小2倍
例7:假如把分式x
y中的x和y都扩大2倍,即分式的值(
)
xy
A、扩大2倍;
B、扩大4倍;
C、不变;
D减小1倍
例8:若把分式x3y的x、y同时减小12倍,则分式的值(
2
)
2x




例9:若x、y的值均扩大为本来的2倍,则以下分式的值保持不变的是(
)
A、3x
B
、3x
C
、3x2
D
、3x3
2y
2y2
2y
2y2
例10:依据分式的基天性质,分式
a可变形为(
)
a
a
a
b
a
a
A
B
C
D
a
b
ab
ab
a
b
例11:不改变分式的值,使分式的分子、分母中各项系数都为整数,


;
x

例12:不改变分式的值,使分子、分母最高次项的系数为正数,
1
x
=
。
x
x
2
1
5、分式的约分及最简分式:
①约分的看法:把一个分式的分子与分母的公因式约去,叫做分式的约分
②分式约分的依照:分式的基天性质.
③分式约分的方法:把分式的分子与分母分解因式,而后约去分子与分母的公因式.
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3
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④约分的结果:最简分式(分子与分母没有公因式的分式,叫做最简分式)
约分主要分为两类:第一类:分子分母是单项式的,主要分数字,同字母进行约分。
第二类:分子分母是多项式的,把分子分母能因式分解的都要进行因式分解,再去找共同的
因式约去。
例1:以下式子(1)x2
y
2
1
;(2)b
a
ab;(3)b
a
1;(4)x
y
xy
x
y
xy
caac
ab
xyxy
中正确的选项是(
)A
、1个
B、2个
C、3
个
D、4个
例2:以下约分正确的选项是(
)
A、x6x3
;
B、x
y
0;
C、
x
y
1;
D、2xy2
1
x2
xy
x
2
xyx
4x2y
2
例3:以下式子正确的选项是(
)
2xy
ay
1
C.
yzyz
D.
cdcdcdcd
0
A
0
B.
xx
x
a
a
a
2xy
ay
例4:以下运算正确的选项是(
)
A、
a
a
B、24
1
C、a2
a
D、1
11
ab
ab
xx2
b2
b
2mmm
例5:以下式子正确的选项是(
)

b2
B
.a
b
0
C.
ab
1
D
.

a3b
aa2
ab
ab

2ab
例6:化简m2
3m的结果是(
)A、m
B、
m
C、m
D、m
9m2
m3
m3
m3
3m
4x
2
y
3
x
1
1x
1y
3x
5y
;3xy2
5
3
例
7:约分:6xy2
;
x2
9=
xy;

。
例
8:约分:
a2
4
=
;
4xy
;a(a
b)
x
y
4a
;
y)2
a
2
4
16x2y
b(a
b)
(x
ax
ay
x2
16
x2
9
14a2bc
3
2
y
2
;
2
;
2x
6
3
___________
x
x8x16
21abc
9
m2
5ab
__________
x2
9
__________。
m
__________
2
2
6x
9
3
20a
b
x
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4
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例9:分式
a
2
,
a
b
,
4a
,
1
中,最简分式有( )
2
3
2
2
12(ab)
x2
a
a
b

.2个C
.3个

6、分式的乘,除,乘方:
分式的乘法:乘法法测:
a
c
ac
b
·
=.
d
bd
分式的除法:除法法规:
acadad
b
÷
=
·
=
d
b
c
bc
分式的乘方:求n个同样分式的积的运算就是分式的乘方,用式子表示就是(a),b
n
是把分子、:(a)n=a(n为正整数)
bbn
例题:
计算:(1)26x2
25x4
(2)16x3y4
56x4
(3)a
a
1
15x6
39y7
125a10
100a13
a
计算:(4)
ab
a2b2
a4
(5)
x2x2
25
(6)
a2
1
a1
a
2
ab
aba
2
x5x
2
4
2
4a4a2
a
计算:(7)
6x
2
y
2
4x
()
6ab
3b2
()
xy
x
2
xy
3y
3
8
2a
9
x
y
计算:(10
)
2x25y10y
(11
)
x2
1
(1
x)
x3
(12
)
3y2
6x
21x2
x
2
6x9
x2
x
a2
a2
1
a
1
a
2
4a4
a
1
计算:(13)a
1
a2
4
1
1
(14)
2a
6
a
3
a2
3
a
a2a2
2a1a2
44aa2
a6
求值题:(1)已知:x
3,求
x2
x2
y2
xy
y2
的值。
y
4
2xyy2
x2
xy
(2)已知:
x
9y
y
3x
,求
x2
y2
的值。
x2
y2
(3)已知:1
1
3,求2x
3xy
2y的值。
x
y
x
2xy
y
例题:
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5
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2y2
2a
5
3y3
3
计算:(1)
)
3
()
=
(3)
=
(
3x
2
b
2x2
b
2
3
2
b2
3
计算:(4)
=
(5)
a
ab4
2a2
b
a
(6)aa2
a
2
a
1
2
1
a2
1
a
a
1
求值题:(1)已知:
x
y
z
求
xy
yz
xz
2
3
4
x
2
y
2
z
2的值。
(2)已知:
x
2
10
x
25
y
3
0求x2
x的值。
2xy
2y
例题:计算
(x
2
y)
x2
y
x
的结果是(
)A
x2
Bx
2
y
C
1
D
x
x2
y
x2
y
y
1
1y
例题:化简x
x
1
的结果是(
)A.
1
B.
xy
C.
y
D.
y
x
x
x
y
计算:(1)
2x3
8x
x2
;(2)
x2
2x122x
2
2a2
÷
a1
x2
4x42x4
x2
1
x1
(3)(a-1)·
2
a
2a12a2
7、分式的通分及最简公分母:
通分:主要分为两类:第一类:分母是单项式;第二类:分母是多项式(要先把分母因式分
解)
分为三各种类:“二、三”型“;二、四”型“;四、六”型等三各种类。
“二、三”型:指几个分母之间没有关系,最简公分母就是它们的乘积。
2
x
。
比方:
最简公分母就是x2x2
x2
x2
“二、四”型:指其一个分母完整包含另一个分母,最简公分母就是其一的那个分母。
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6
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比方:
2
x
最简公分母就是x2
4x2x2
x
2
x2
4
“四、六”型:指几个分母之间有同样的因式,同时也有独到的因式,最简公分母要有独到的;
同样的都要有。
比方:
x
2
最简公分母是:2xx2
2x2
xx2
这些种类自己要在做题过程中认真地去认识和应用,认真的去发现之间的差别与联系。
1
1
n2,
2
例1:分式m
n
,
m2
m
n
的最简公分母是(
)
A.(mn)(m2
n2)
B.(m2
n2)2
C.(mn)2(mn)
n2
例2:对分式y
,x2
,1
通分时,最简公分母是(
)
2x
3y
4xy

x2y3

x2
y
2

2

2
例3:下边各分式:x2
1,
x
y
,
x1,x2
y2,此中最简分式有(
)个。
x2
xx2
y2
x1
x2
y2




例4:分式
1
,
a
的最简公分母是
.
2
4
4
a
2a
例5:分式a与1的最简公分母为________________;b
例6:分式
2
1
2
,
2
1
的最简公分母为
。
y
x
xy
x
8、分式的加减:
分式加减主体分为:同分母和异分母分式加减。
1、同分母分式不用通分,分母不变,分子相加减。
2、异分母分式要先通分,在变为同分母分式就可以了。
通分方法:先观察分母是单项式还是多项式,假如是单项式那就连续考虑是什么种类,找出最简公分母,进行通分;假如是多项式,那么先把分母能分解的要因式分解,考虑什么种类,连续通分。
分类:第一类:是分式之间的加减,第二类:是整式与分式的加减。
例1:
22n
=
例:2a2
3a2
4=
mm
2
2
1a2
1
a
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7
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例3:
y
x
=
例4:
x
2y
y
2x
=
xy
y
x
2
y
2
y
2
x
2
x
2
y
2
x
计算:(1)
4
m1
(2)
ab
(3)
a2
b2
m3m3
abba
(ab)2
(ba)2
(4)5a2b3-3a2b5
-8a2b.
ab2
ab2
ab2
13115
例5:化简1
+1
+1等于(
)


x
2x
3x
例6:b
ca
例7:22a
1
例8:3x
2
x
a
bc
a4a2
(x3)
3x
例9:x
x
6
1
2a1-a2
例11:a1
a
x3x2
3xx
例10:a2
a2a2
4
a1
例12:x2
x
1
x1
练习题:(1)
b
ab
(2)
1
4
x
1
(3)
12
+
2.
abb2
a2
2xx2
42x
a2
93a
(4)
b2
a
b
(5)2
x
y
a-b
x
y
y
x
例13:计算a
1
a
的结果是(
)A
1
1
B
1
1
C
a2
a
1
Da1
a
1
a
a
a
1
例14:请先化简:
1
2x
,而后选择一个使原式有意义而又喜爱的数代入求值.
x
2
x2
4
x
1
2x
例15:已知:x2
4x
3
0
求
2x2
的值。
x
4x
4
9、分式的混杂运算:
例1:
4
2x
例2:
1
x3x2
2x1
x
2
16x4x4
x1
x
2
1x
2
4x3
x
2
x
2
x2
2x
4
x
例3:(
2
x
2
)
x
2
例4:2
x1
x
x3
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8
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例5:
1
1
x
例6:1
x
y
x2
y2
x
x1
x
2y
x2
4xy
4y2
1
(
1
1)
x2
2y
例8:
x1
x
1
例7xyxy
2xyy2
x2
1
x2
x
2x
x
例9:
(
x
2
x2
x1
)
x4
x
2
2x
4x
4
x
练习题:
、分式求值问题:
例1:已知x为整数,且
2
+
2
+2x
18为整数,求所有吻合条件的
x值的和.
x
3
3x
x2
9
例2:已知x=2,y=1,求
24
24
÷
1
1
的值.
2
(xy)2
(xy)2
xyxy
例3:已知实数x满足4x2-4x+l=O,则代数式2x+1
的值为________.
2x
例4:已知实数a满足a2+2a-8=0,求
1
a
3
a2
2a
1的值.
a
1a2
1
a2
4a
3
例5:若x
1
3
求
x2
的值是(
).



x2
1
x
x4
8
10
2
4
例6:已知1
1
3,求代数式2x
14xy
2y的值
x
y
x
2xy
y
例7:先化简,再对a取一个适合的数,代入求值
a
1
a
3
a2
6a
9.
a
3
a
2
a2
4
练习题:
(1)
2
x2
4x
,此中x=5.
(2)a2
a
28a
16,此中a=5
(3)
2
a2
ab
b
2,此中
x
8x
16
16
a
2ab
a=-3,b=2
a
2
1
a1
x
2
x1
x
4
(4)
;此中a=85;
(5)(
,此中x=-1
2
2
2xx
2
)
x
a
4a4a2
x
4x4
(6)先化简,再求值:
3
x÷(x+2-
5
).此中x=-2.
2x
4
x
2
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9
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(7)(
a
2
a2
2
)(
a
2a2
b
2)1,此中a
2,b3
a
ba
2abb
a
ba
3
(8)先化,11x21,再一个你喜的数代入求.
xx
、分式其余型:
例1:察下边一列有律的数:
2,3,4
,5
,6
,7,⋯⋯.依据其律可知第
3
8
15
24
35
48
n个数是___(n正整数)
例2:察下边一列分式:
1,22,
43,
84,165,...,依据你的,它的第
8是
,
第n是
x
x
x
x
x
。
例3:按示的程序算,若开始入的
n4,最后出的果m是
(
)
输入n
计算n(n+1)
>50
Yes
输出结果m
n
No
A
10
B
20
C
55
D
50
例4:当x=_______,分式
1
与10
相互反数.
5
x
2
3x
a☆b=1
1,依据个x☆(x
3
例5:在正数范内定一种运算☆,其
1)
a
b
2
的解
(
)
A
.
x
2

.
x
2
或
1

2
3
C
3
或1
3
例6:已知
x(x
4
4)
A
Bx
C,A
_____,B
_____,C
______;
2
x
x2
4
例7:已知(y
3y
7
A
B
1)(y
2)
y
1
y2,(
)

10,B
13
,B
13

10,B
13

10,B13
例8:已知
2x
3y
,求
xy
y2
y2的;
x2
y2
x2
例9:m
n
mn,1
1的是(
)
A.
1


D.
1
m
n
mn
例10:从以下三个代数式中任两个构成一个分式,并化分式
x2-4xy+4y2x2-4y2x-2y
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