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切线长定理
切线的判定方法:
(1)和圆只有一个公共点的直线是圆的切线(定义法)
(2)到圆心的距离等与圆的半径的直线是圆的切线(d=r)(数量法)
(3 )经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.(判定定理)
证明一条直线是圆的切线的常见的两种方法:
1、“有交点、连半径,证垂直”
2、“无交点、作垂直,证半径”
切线的性质定理:圆的切线垂直于过切点的半径。
探究
问题1:经过平面上一个已知点,作已知圆的切线会有怎样的情形?
·O
·O
·O
P
P·
P·
A
问题2、经过圆外一点P,作已知⊙O的
切线可以作几条?
切线长概念
过圆外一点作圆的切线,这点和切点之间的线段的长,叫做这点到圆的切线长。
O
P
A
B
O
P
A
B
∟
∟
M
根据图形判断:猜想图中PA是否等于PB?∠1与∠2又有什么关系?
大胆猜想:
⌒
⌒
1
2
证明猜想
关键是作辅助线~
A
O
P
B
证明:PA=PB, ∠APO=∠BPO
证明:连结OA、OB
∵PA、PB是⊙O的两条切线
∴OA⊥AP,OB⊥BP
又∵ OA=OB,OP=OP
∴ Rt △AOP ≌ Rt△BOP
∴ PA=PB, ∠APO=∠ BPO
已知:PA、PB是⊙O的两条切线,A、B为切点;
切线长定理:从圆外一点引圆的两条切线,
它们的切线长相等,这一点和圆心的连线平分
两条切线的夹角。
O
P
A
B
∴PA = PB ,∠OPA=∠OPB
几何表述
∵PA、PB分别切⊙O于点A、B
例1、
已知,如图,PA、PB是⊙O的两条切线,A、 OP 交⊙O 于点 D、E,交 AB 于 C.
(1)写出图中所有的垂直关系;
(2)写出图中所有的全等三角形.
(3)如果 PA = 4 cm , PD = 2 cm , 求半径 OA 的长.
A
O
C
D
P
B
E
解:
(1) OA⊥PA , OB⊥PB , OP⊥AB
(2) △OAP ≌△ OBP , △OCA≌△OCB
△ACP≌△BCP.
(3) 设 OA = x cm , 则 PO = PD + x = 2 + x (cm)
在 Rt△OAP 中,由勾股定理,得
PA 2 + OA 2 = OP 2
即:4 2 + x 2 = (x + 2 ) 2
解得 x = 3 cm
∴半径 OA 的长为 3 cm.
利用切线长定理进行计算
PA、PB是⊙O的两条切线,A、B为切点,直线OP交⊙O于点D、E,交AB于C。
B
A
P
O
C
E
D
(1)写出图中所有的垂直关系
OA⊥PA,OB ⊥PB,AB ⊥OP
(3)写出图中所有的全等三角形
△AOP≌△BOP, △AOC≌△BOC, △ACP≌△BCP
(4)写出图中所有的等腰三角形
△ABP △AOB
(2)写出图中与∠OAC相等的角
∠OAC=∠OBC=∠APC=∠BPC
整体感知
轴对称图形