知识点集合与常用逻辑用语.docx

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知识点——集合及常用逻辑用语
【知识梳理】
一、集合及其运算

(1)集合中元素的三个特征:确定性、互异性、无序性.
(2)元素及集合的关系是属于或不属于两种,用符号∈或∉表示.
(3)集合的表示法:列举法、描述法、图示法.
(4)常见数集的记法
集合
自然数集
正整数集
整数集
有理数集
实数集
符号
N
N*(或N+)
Z
Q
R
关系
自然语言
符号语言
Venn图
子集
集合A中所有元素都在集合B中(即假设x∈A,那么x∈B)
A⊆B
(或B⊇A)
真子集
集合A是集合B的子集,且集合B中至少有一个元素不在集合A中
A⊊B
(或B⊋A)
集合相等
集合A,B中的元素一样或集合A,B互为子集
A=B
运算
自然语言
符号语言
Venn图
交集
由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合
A∩B={x|x∈A且x∈B}
并集
由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合
A∪B={x|x∈A或x∈B}
补集
由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合
∁UA={x|x∈U且x∉A}
【知识拓展】
,那么集合A的子集个数为2n,真子集的个数为2n-1.
⊆B⇔A∩B=A⇔A∪B=B.
∩(∁UA)=∅;A∪(∁UA)=U;∁U(∁UA)=A.
二、命题及其关系、充分条件及必要条件


(1)两个命题互为逆否命题,它们有一样的真假性;
(2)两个命题互为逆命题或互为否命题,它们的真假性没有关系.

(1)如果p⇒q,那么p是q的充分条件,同时q是p的必要条件;
(2)如果p⇒q,但qp,那么p是q的充分不必要条件;
(3)如果p⇒q,且q⇒p,那么p是q的充要条件;
(4)如果q⇒p,且pq,那么p是q的必要不充分条件;
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(5)如果pq,且qp,那么p是q的既不充分也不必要条件.
【知识拓展】
,它们具有一样的真假性.
={x|p(x)},B={x|q(x)},那么
(1)假设A⊆B,那么p是q的充分条件;
(2)假设A⊇B,那么p是q的必要条件;
(3)假设A=B,那么p是q的充要条件;
(4)假设A⊊B,那么p是q的充分不必要条件;
(5)假设A⊋B,那么p是q的必要不充分条件;
(6)假设AB且A⊉B,那么p是q的既不充分也不必要条件.
【易错提醒】
,一定要理解好集合的含义——:{x|y=lgx}——函数的定义域;{y|y=lgx}——函数的值域;{(x,y)|y=lgx}——函数图象上的点集.
,∅,{0}:0是一个实数;∅是一个集合,它含有0个元素;{0}是以0为元素的单元素集合,但是0∉∅,而∅⊆{0}.
、无序性和互异性,在解决有关集合的问题时,尤其要注意元素的互异性.
⊆B,A∩B=A,A∪B=B求解集合A时,务必分析研究A=∅的情况.
,命题为“假设p,那么q〞,那么该命题的否认为“假设p,那么〞,其否命题为“假设,那么〞.
、必要条件问题,首先要弄清谁是条件,谁是结论.
【必会习题】
={1,3,},B={1,m},A∪B=A,那么m等于( )

答案 B
解析 ∵A∪B=A,∴B⊆A,∴m∈{1,3,},∴m=1或m=3或m=,
由集合中元素的互异性易知m=0或m=3.
={x|1<x<2},B={x|x<a},假设A⊆B,那么a的取值范围是( )
A.{a|a≥2}B.{a|a≤1}C.{a|a≥1} D.{a|a≤2}
答案 A
解析 假设A⊆B,那么a≥2,应选A.
={x|-3<x≤5},N={x|x<-5或x>5},那么M∪N等于( )
A.{x|-3<x<5}B.{x|-5<x<5}C.{x|x<-5或x>-3} D.{x|x<-3或x>5}
答案 C
解析 在数轴上表示集合M、N,那么M∪N={x|x<-5或x>-3},应选C.
{a}⊆A⊆{a,b,c}的所有集合A的个数是( )

答案 D
解析 满足题意的集合A可以为{a},{a,b},{a,c},{a,b,c},共4个.
=R(R是实数集),A={x|-1≤x≤1},B={x|x2-2x<0},那么A∪(∁UB)等于( )
A.[-1,0]B.[1,2]C.[0,1] D.(-∞,1]∪[2,+∞)
答案 D
解析 B={x|x2-2x<0}=(0,2),
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A∪(∁UB)=[-1,1]∪(-∞,0]∪[2,+∞)=(-∞,1]∪[2,+∞),应选D.
6.“x<0〞是“ln(x+1)<0〞的( )


答案 B
解析 ln(x+1)<0,解得0<x+1<1,
∴-1<x<0,所以“x<0〞是“-1<x<0〞的必要不充分条件.
:
①假设ab≤0,那么a≤0或b≤0;
②假设a>b,那么am2>bm2;
③在△ABC中,假设sinA=sinB,那么A=B;
④在一元二次方程ax2+bx+c=0中,假设b2-4ac<0,那么方程有实数根.
其中原命题、逆命题、否命题、逆否命题全都是真命题的是( )
A.①B.②C.③ D.④
答案 C
,对集合A,B定义运算“*〞,A*B=∁U(A∩B),假设X,Y,Z为三个集合,那么(X*Y)*Z等于( )
A.(X∪Y)∩∁UZB.(X∩Y)∪∁UZC.(∁UX∪∁UY)∩Z D.(∁UX∩∁UY)∪Z
答案 B
解析 ∵X*Y=∁U(X∩Y),∴对于任意集合X,Y,Z,
(X*Y)*Z=∁U(X∩Y)*Z=∁U[∁U(X∩Y)∩Z]=(X∩Y)∪∁UZ.
≤0的解集且5∉M,那么a的取值范围是________________.
答案 (-∞,-2)∪[5,+∞)
解析 假设5∈M,那么≤0,
∴(a+2)(a-5)≤0且a≠5,∴-2≤a<5,
∴5∉M时,a<-2或a≥5.
:实数x满足x2-4ax+3a2<0,其中a<0;命题q:实数x满足x2+2x-8>0,假设q是p的必要不充分条件,那么实数a的取值范围是________.
答案 (-∞,-4]
解析 由命题q:实数x满足x2+2x-8>0,得x<-4或x>2,
由命题p:实数x满足x2-4ax+3a2<0,其中a<0,得(x-3a)(x-a)<0,∵a<0,∴3a<x<a,
∵q是p的必要不充分条件,∴a≤-4,∴a∈(-∞,-4].
:≤1,命题q:x2-2x+1-m2<0(m>0),假设p是q的充分不必要条件,那么实数m的取值范围是________.
答案 (2,+∞)
解析 ∵≤1⇔-1≤-1≤1⇔0≤≤2⇔-1≤x≤3,∴p:-1≤x≤3;
∵x2-2x+1-m2<0(m>0)⇔[x-(1-m)][x-(1+m)]<0⇔1-m<x<1+m,∴q:1-m<x<1+m.
∵p是q的充分不必要条件,
∴[-1,3]是(1-m,1+m)的真子集,那么解得m>2.