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圆知识点总结及归纳
圆知识点总结及归纳
第一讲圆的方程
一、知识清单
(一)圆的定义及方程
定义
标准
方程
一般
方程

平面内与定点的距离等于定长的点的会合(轨迹)
(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)圆心:(a,b),半径:r
x2+y2+Dx+Ey+F=0
圆心:
-D,-E
,
2
2
(D2+E2-4F>0)
半径:
1
22
-4F
2
D+E
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1、圆的标准方程与一般方程的互化
1)将圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2睁开并整理得x2+y2-2ax-2by+a2+b2-r2=0,
取D=-2a,E=-2b,F=a2+b2-r2,得x2+y2+Dx+Ey+F=0.
2)将圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0经过配方后获得的方程为:
(x+
D2
+(y+
E2
D2+E2-4F
2
)
2
)=
4
①当D2+E2-4F>0时,该方程表示以
(-D,-E
)为圆心,
1
D2+E2-4F为半径的圆;
2
2
2
2
2
D
E
D
②当
D
+E
-4F=0
时,方程只有实数解
x=-
2
,y=-
2,即只表示一个点
(-
2
,-
E22
);③当D+E-4F<0时,方程没有实数解,因此它不表示任何图形.
2、圆的一般方程的特点是:x2和y2项的系数都为1,没有xy的二次项.
3、圆的一般方程中有三个待定的系数D、E、F,所以只需求出这三个系数,圆的方程就
确立了.
(二)点与圆的地点关系
点M(x0,y0)与圆(x-a)2+(y-b)2=r2的地点关系:
1)若M(x0,y0)在圆外,则(x0-a)2+(y0-b)2>r2.
222
(2)若M(x0,y0)在圆上,则(x0-a)+(y0-b)=r.
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1
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222
(3)若M(x0,y0)在圆内,则(x0-a)+(y0-b)<r.
(三)直线与圆的地点关系
方法一:
方法二:
(四)圆与圆的地点关系
外离
外切
订交
内切
内含
(五)圆的参数方程
(六)温馨提示
1、方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示圆的条件是:
(1)B=0;(2)A=C≠0;(3)D2+E2-4AF>0.
2、求圆的方程时,要注意应用圆的几何性质简化运算.
(1)圆心在过切点且与切线垂直的直线上.
(2)圆心在任一弦的中垂线上.
(3)两圆内切或外切时,切点与两圆圆心三点共线.
3、中点坐标公式:已知平面直角坐标系中的两点
A(x1
,y
1),B(x2
2),点M(x,y)是
,y
线段AB的中点,则x=x1x2,y=y1
y2.
2
2
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2
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二、典例概括
考点一:相关圆的标准方程的求法
2
2
,半径是.
【例1】圆xa
ybm2m0的圆心是
【例2】点(1,1)在圆(x-a)2+(y+a)2=4内,则实数a的取值范围是()
A.(-1,1)B.(0,1)
C.(-∞,-1)∪(1,+∞)D.(1,+∞)
【例3】圆心在y轴上,半径为
1,且过点(1,2)的圆的方程为()
+(y-2)2=1
+(y+2)2=1
C.(x-1)2+(y-3)2=1
+(y-3)2=1
【例4】圆(x+2)2+y2=5对于原点
P(0,0)对称的圆的方程为()
A.(x-2)2+y2=5
+(y-2)2=5
C.(x+2)2+(y+2)2=5
+(y+2)2=5
【变式1】已知圆的方程为x1x2y2y40,则圆心坐标为
【变式2】已知圆C与圆x1
2
2
1对于直线y
x对称,则圆C的方程为
y
【变式3】若圆C的半径为
1,圆心在第一象限,且与直线
4x-3y=0
和x轴都相切,则
该圆的标准方程是(
)
A.(x-3)2+y-
72=1
B.(x-2)2+(y-1)2=1
3
2
2
-
3
2
2
C.(x-1)+(y-3)=1
2
+(y-1)=1
【变式4】已知ABC的极点坐标分别是A1,5,B5,5,C6,2,求ABC外接
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圆的方程.
方法总结:
,b,r的方程组.
,从而写出方程,表现了数形
联合思想的运用.
考点二、相关圆的一般方程的求法
【例1】若方程x2+y2+4mx-2y+5m=0表示圆,则m的取值范围是()
A.
1<m<1
<1或m>1
<1
>1
4
4
4
【例2】将圆x2+y2-2x-4y+1=0均分的直线是()
+y-1=+y+3=-y+1=-y+3=0
【例3】圆x2-2x+y2-3=0的圆心到直线x+3y-3=0的距离为________.
【变式1】已知点P是圆C:x2
y2
4xay5
0上随意一点,P点对于直线
2xy10的对称点也在圆C上,则实数a=
【变式2】已知一个圆经过点A3,1、B1,3,且圆心在3xy20上,求圆的
方程.
【变式3】平面直角坐标系中有A0,1,B2,1,C3,4,D1,2四点,这四点可否
在同一个圆上?为何?
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【变式4】假如三角形三个极点分别是O(0,0),A(0,15),B(-8,0),则它的内切圆方程为
________________.
方法总结:
,E,F的方程组.

考点三、与圆相关的轨迹问题
【例1】动点P到点
A(8,0)的距离是到点
B(2,0)的距离的2
倍,则动点
P的轨迹方程为
()
2
2
2
2
+y=32

+y=16
C.(x-1)2+y2=16
+(y-1)2=16
【例2】方程y
25x2
表示的曲线是(
)




【例3】在
ABC
中,若点B,C的坐标分别是(-2,0)和(2,0),中线AD的长度是
3,则
点A的轨迹方程是(
)

y2
3

y2
4

y2
9y0

y2
9x0
1
【例4】已知一曲线是与两个定点O(0,0),A(3,0)
方程,并画出曲线.
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【变式1】方程x
11
2
)
y1所表示的曲线是(




【变式2】动点P到点
A(8,0)的距离是到点
B(2,0)的距离的
2倍,则动点P的轨迹方程为
()
2
2
2
2
+y=32

+y=16
C.(x-1)2+y2=16
+(y-1)2=16
【变式3】如右图,过点
M(-6,0)作圆C:x2+y2-6x-4y+9=0的割线,交圆C于A、B
两点,求线段
AB的中点
P的轨迹.
【变式4】如图,已知点A(-1,0)与点B(1,0),C是圆x2+y2=1上的动点,连结BC并延
长至D,使得|CD|=|BC|,求AC与OD的交点P的轨迹方程.
方法总结:求与圆相关的轨迹问题时,依据题设条件的不一样常采纳以下方法:
1)直接法:依据题目条件,成立坐标系,设出动点坐标,找出动点知足的条件,而后化简.
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(2)定义法:依据直线、圆等定义列方程.
(3)几何法:利用圆与圆的几何性质列方程.
(4)代入法:找到要求点与已知点的关系,代入已知点知足的关系式等.
考点四:与圆相关的最值问题
【例1】已知圆x2+y2+2x-4y+a=0对于直线y=2x+b成轴对称,则a-b的取值范围
是________
【例2】已知x,y知足x2+y2=1,则y-2的最小值为________.
x-1
【例3】已知点M是直线3x+4y-2=0上的动点,点N为圆(x+1)2+(y+1)2=1上的动点,
则|MN|的最小值是()
9413

【例4】已知实数x,y知足(x-2)2+(y+1)2=1则2x-y的最大值为________,最小值为
________.
【变式1】P(x,y)在圆C:(x-1)2+(y-1)2=1上挪动,则x2+y2的最小值为________.
【变式2】由直线y=x+2上的点P向圆C:(x-4)2+(y+2)2=1引切线PT(T为切点),当
|PT|最小时,点P的坐标是(
)
A.(-1,1)
B.(0,2)C.(-2,0)
D.(1,3)
【变式3】已知两点A(-2,0),B(0,2),点C是圆x2+y2-2x=0上随意一点,则△ABC面
积的最小值是________.
【变式4】已知圆M过两点C(1,-1),D(-1,1),且圆心M在x+y-2=0上.
1)求圆M的方程;
2)设P是直线3x+4y+8=0上的动点,PA、PB是圆M的两条切线,A,B为切点,求四边形PAMB面积的最小值.
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方法总结:解决与圆相关的最值问题的常用方法
1)形如u=y-b的最值问题,可转变为定点(a,b)与圆上的动点(x,y)的斜率的最值问题x-a
2)形如t=ax+by的最值问题,可转变为动直线的截距的最值问题;
3)形如(x-a)2+(y-b)2的最值问题,可转变为动点到定点的距离的最值问题.
(4)一条直线与圆相离,在圆上找一点到直线的最大(小)值:dr(此中d为圆
心到直线的距离)
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