人教版数学必修5知识点总结.pdf

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高中数学必修5知识点
第一章解三角形
(一)解三角形:
1、正弦定理:在AC中,a、b、c分别为角A、、C的对边,,则有
abc
2R
sinAsinsinC
(R为AC的外接圆的半径)
2、正弦定理的变形公式:①a2RsinA,b2Rsin,c2RsinC;
abc
②sinA,sin,sinC;③a:b:csinA:sin:sinC;
2R2R2R
3、三角形面积公式:111.
SACbcsinAabsinCacsin
222
222b2c2a2
4、余弦定理:在AC中,有abc2bccosA,推论:cosA
2bc
第二章数列
1、数列中an与Sn之间的关系:
S1,(n1)
an注意通项能否合并。
SnSn1,(n2).
2、等差数列:
⑴定义:如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,即an-

an1=d,(n≥2,n∈N),
那么这个数列就叫做等差数列。
ab
⑵等差中项:若三数a、A、b成等差数列A
2
⑶通项公式:ana1(n1)dam(nm)d
或anpnq(p、q是常数).
⑷前n项和公式:
nn1na1an
Snna1d
22
⑸常用性质:
①若mnpqm,n,p,qN,则amanapaq;
②下标为等差数列的项ak,akm,ak2m,,仍组成等差数列;
③数列anb(,b为常数)仍为等差数列;
④若{an}、{bn}是等差数列,则{kan}、{kanpbn}(k、p是非零常数)、
*
{apnq}(p,qN)、,…也成等差数列。:.
⑤单调性:an的公差为d,则:
ⅰ)d0an为递增数列;
ⅱ)d0an为递减数列;
ⅲ)d0an为常数列;
⑥数列{an}为等差数列anpnq(p,q是常数)
⑦若等差数列an的前n项和Sn,则Sk、S2kSk、S3kS2k…是等差数列。
3、等比数列
⑴定义:如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比等于同一个常数,那么这个
数列就叫做等比数列。
⑵等比中项:若三数a、G、b成等比数列G2ab,(ab同号)。反之不一定成立。
n1nm
⑶通项公式:ana1qamq
a1qn
1a1anq
⑷前n项和公式:Sn
1q1q
⑸常用性质
①若mnpqm,n,p,qN,则amanapaq;
②a,a,a,为等比数列,公比为qk(下标成等差数列,则对应的项成等比数列)
kkmk2m
③数列an(为不等于零的常数)仍是公比为q的等比数列;正项等比数列an;则
lgan是公差为lgq的等差数列;
21
④若an是等比数列,则can,a,n,
an
r21r
an(rZ)是等比数列,公比依次是q,q,,q.
q
⑤单调性:
a10,q1或a10,0q1an为递增数列;
a10,0q1或a10,q1an为递减数列;
q1an为常数列;
q0an为摆动数列;
⑥既是等差数列又是等比数列的数列是常数列。:.
⑦若等比数列an的前n项和Sn,则Sk、S2kSk、S3kS2k…是等比数列.
4、非等差、等比数列通项公式的求法
类型Ⅰ观察法:已知数列前若干项,求该数列的通项时,一般对所给的项观察分
析,寻找规律,从而根据规律写出此数列的一个通项。
类型Ⅱ公式法:若已知数列的前n项和Sn与an的关系,求数列an的通项an可用
S1,(n1)
公式an构造两式作差求解。
SnSn1,(n2)
用此公式时要注意结论有两种可能,一种是“一分为二”,即分段式;另一种是“合二
为一”,即a1和an合为一个表达,(要先分n1和n2两种情况分别进行运算,然后验
证能否统一)。
类型Ⅲ累加法:
形如an1anf(n)型的递推数列(其中f(n)是关于n的函数)可构造:
anan1f(n1)

an1an2f(n2)

...
a2a1f(1)
将上述n1个式子两边分别相加,可得:
anf(n1)f(n2)...f(2)f(1)a1,(n2)
①若f(n)是关于n的一次函数,累加后可转化为等差数列求和;
②若f(n)是关于n的指数函数,累加后可转化为等比数列求和;
③若f(n)是关于n的二次函数,累加后可分组求和;
④若f(n)是关于n的分式函数,累加后可裂项求和.
类型Ⅳ累乘法:
an1
形如an1anf(n)f(n)型的递推数列(其中f(n)是关于n的函数)可构造:
an
an
f(n1)
an1

an1
f(n2)
an2
...

a2
f(1)
a1
将上述n1个式子两边分别相乘,可得::.
anf(n1)f(n2)...f(2)f(1)a1,(n2)
有时若不能直接用,可变形成这种形式,然后用这种方法求解。
类型Ⅴ构造数列法:
㈠形如an1panq(其中p,q均为常数且p0)型的递推式:
(1)若p1时,数列{an}为等差数列;
(2)若q0时,数列{an}为等比数列;
(3)若p1且q0时,数列{an}为线性递推数列,其通项可通过待定系数法构造等
:
法一:设an1p(an),展开移项整理得an1pan(p1),与题设
an1panq比较系数(待定系数法)得
qqqqq
,(p0)an1p(an)anp(an1),即
p1p1p1p1p1
qq
an构成以a1为首项,
p1p1
q
式求出an的通项整理可得an.
p1
an1an
法二:由an1panq得anpan1q(n2)两式相减并整理得p,即
anan1
an1an构成以a2a1为首项,an1an的通项再转化
为类型Ⅲ(累加法)便可求出an.
㈡形如an1panf(n)(p1)型的递推式:
⑴当f(n)为一次函数类型(即等差数列)时:
法一:设anAnBpan1A(n1)B,通过待定系数法确定A、B的值,转
化成以a1AB为首项,以p为公比的等比数列anAnB,再利用等比数列的通项
公式求出anAnB的通项整理可得an.
法二:当f(n)的公差为d时,由递推式得:an1panf(n),
anpan1f(n1)两式相减得:an1anp(anan1)d,令bnan1an得::.
bnpbn1d转化为类型Ⅴ㈠求出bn,再用类型Ⅲ(累加法)便可求出an.
⑵当f(n)为指数函数类型(即等比数列)时:
法一:设anf(n)pan1f(n1),通过待定系数法确定的值,转化成以
a1f(1)为首项,以p为公比的等比数列anf(n),再利用等比数列的通项公式求
出anf(n)的通项整理可得an.
法二:当f(n)的公比为q时,由递推式得:an1panf(n)——①,
anpan1f(n1),两边同时乘以q得anqpqan1qf(n1)——②,由①②两式相
an1qan
减得an1anqp(anqan1),即p,在转化为类型Ⅴ㈠便可求出an.
anqan1
nn
法三:递推公式为an1panq(其中p,q均为常数)或an1panrq(其中
n1an1pan1
p,q,r均为常数)时,要先在原递推公式两边同时除以q,得:n1n,
qqqq
anp1
引入辅助数列bn(其中bnn),得:bn1bn再应用类型Ⅴ㈠的方法解决。
qqq
⑶当f(n)为任意数列时,可用通法:
n1an1anf(n)an
在an1panf(n)两边同时除以p可得到n1nn1,令nbn,则
pppp
f(n)n
bn1bnn1,在转化为类型Ⅲ(累加法),求出bn之后得anpbn.
p
类型Ⅵ对数变换法:
形如q型的递推式:
an1pa(p0,an0)
q
在原递推式an1pa两边取对数得lgan1qlganlgp,令bnlgan得:
bn
bn1qbnlgp,化归为an1panq型,求出bn之后得an10.(注意:底数不一
定要取10,可根据题意选择)。
类型Ⅶ倒数变换法:
形如an1anpan1an(p为常数且p0)的递推式:两边同除于an1an,转化为:.
111
p形式,化归为an1panq型求出的表达式,再求an;
anan1an
还有形如man的递推式,也可采用取倒数方法转化成1m1m形式,化归
an1
panqan1qanp
为apaq型求出1的表达式,再求a.
n1nn
an
类型Ⅷ形如an2pan1qan型的递推式:
用待定系数法,化为特殊数列{anan1}的形式求解。方法为:设
an2kan1h(an1kan),比较系数得hkp,hkq,可解得h、k,于是
{an1kan}是公比为h的等比数列,这样就化归为an1panq型。
总之,求数列通项公式可根据数列特点采用以上不同方法求解,对不能转化为以上方
法求解的数列,可用归纳、猜想、证明方法求出数列通项公式an.
5、非等差、等比数列前n项和公式的求法
⑴错位相减法
①若数列an为等差数列,数列bn为等比数列,则数列anbn的求和就要采用此法.
②将数列anbn的每一项分别乘以bn的公比,然后在错位相减,进而可得到数列
anbn的前n项和.
此法是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法.
⑵裂项相消法
c
一般地,当数列的通项an(a,b1,b2,c为常数)时,往往可将
(anb1)(anb2)
an变成两项的差,采用裂项相消法求和.
可用待定系数法进行裂项:

设an,通分整理后与原式相比较,根据对应项系数相等得
anb1anb2
c
,从而可得
b2b1
cc11
=().
(anb1)(anb2)(b2b1)anb1anb2:.
常见的拆项公式有:
111
①;
n(n1)nn1
1111
②();
(2n1)(2n1)22n12n1
11
③(ab);
abab
④Cm1CmCm;
nn1n
⑤nn!(n1)!n!.
⑶分组法求和
有一类数列,既不是等差数列,也不是等比数列,若将这类数列适当拆开,可分为几
个等差、等比或常见的数列,然后分别求和,:①找通向项公式②由通项公式确定如何分组.
⑷倒序相加法
如果一个数列an,与首末两项等距的两项之和等于首末两项之和,则可用把正着写与
倒着写的两个和式相加,就得到了一个常数列的和,这种求和方法称为倒序相加法。特征:
a1ana2an1...
⑸记住常见数列的前n项和:
n(n1)
①123...n;
2
②135...(2n1)n2;
22221
③123...nn(n1)(2n1).
6
第三章不等式
§、不等关系与不等式
1、不等式的基本性质
①(对称性)abba
②(传递性)ab,bcac
③(可加性)abacbc
(同向可加性)ab,cdacbd
(异向可减性)ab,cdacbd
④(可积性)ab,c0acbc
ab,c0acbc:.
⑤(同向正数可乘性)ab0,cd0acbd
(异向正数可除性)ab
ab0,0cd
cd
⑥(平方法则)ab0anbn(nN,且n1)
⑦(开方法则)ab0nanb(nN,且n1)
1111
⑧(倒数法则)ab0;ab0
abab
2、几个重要不等式
22
①ab2aba,bR,(当且仅当ab时取""号).变形公式:
22
ab
ab.
2
ab
②(基本不等式)aba,bR,(当且仅当ab时取到等号).
2
2
ab
变形公式:ab2abab.
2
用基本不等式求最值时(积定和最小,和定积最大),要注意满足三个条件“一正、二
定、三相等”.
abc3
③(三个正数的算术—几何平均不等式)abc(a、b、cR)(当且仅当
3
abc时取到等号).
④a2b2c2abbccaa,bR

(当且仅当abc时取到等号).
⑤a3b3c33abc(a0,b0,c0)
(当且仅当abc时取到等号).
ba
⑥若a则b0,2(当仅当a=b时取等号)
ab
ba
若a则b0,2(当仅当a=b时取等号)
ab
bbmana
⑦1
aambnb
其中(ab0,m,0n0)
规律:小于1同加则变大,大于1同加则变小.
⑧当a时,0或xax2a2xaxa;:.
xax2a2axa.
⑨绝对值三角不等式ababab.
3、几个著名不等式
2aba2b2
①平均不等式:11ab
ab22
a,bR,(当且仅当ab时取""号).

(即调和平均几何平均算术平均平方平均).
变形公式:
222
abab
ab;
22
(ab)2
a2b2.
2
②幂平均不等式:
22212
a1a2...an(a1a2...an).
n
③二维形式的三角不等式:
x2y2x2y2(xx)2(yy)2
11221212
(x1,y1,x2,y2R).
④二维形式的柯西不等式:(a2b2)(c2d2)(acbd)2(a,b,c,dR).当且仅当
adbc时,等号成立.
⑤三维形式的柯西不等式:
(a2a2a2)(b2b2b2)(ababab)2.
123123112233
⑥一般形式的柯西不等式:(a2a2...a2)(b2b2...b2)
12n12n
2
(a1b1a2b2...anbn).
⑦向量形式的柯西不等式:

设,是两个向量,则,当且仅当是零向量,或存在实数k,使

k时,等号成立.
⑧排序不等式(排序原理):设a1a2...an,b1b2...:.
c1,c2,...,cn是b1,b2,...,bn的任一排列,则a1bna2bn1...anb1a1c1a2c2...ancn
a1b1a2b2...anbn.(反序和乱序和顺序和)
当且仅当a1a2...an或b1b2...bn时,反序和等于顺序和.
⑨琴生不等式:(特例:凸函数、凹函数)
若定义在某区间上的函数f(x),对于定义域中任意两点x1,x2(x1x2),有
x1x2f(x1)f(x2)x1x2f(x1)f(x2)
f()或f().
2222
则称f(x)为凸(或凹)函数.
4、不等式证明的几种常用方法
常用方法有:比较法(作差,作商法)、综合法、分析法;
其它方法有:换元法、反证法、放缩法、构造法,函数单调性法,数学归纳法等.
常见不等式的放缩方法:
12312
①舍去或加上一些项,如(a)(a);
242
②将分子或分母放大(缩小),如
1111
2,2,
kk(k1)kk(k1)
2212
(),
2kkkkkk1
12*
(kN,k1)等.
kkk1
5、一元二次不等式的解法
2
求一元二次不等式axbxc0(或0)
2
(a0,b4ac0)解集的步骤:
一化:化二次项前的系数为正数.
二判:判断对应方程的根.
三求:求对应方程的根.
四画:画出对应函数的图象.
五解集:根据图象写出不等式的解集.
规律:当二次项系数为正时,小于取中间,大于取两边.
6、高次不等式的解法:穿根法.
分解因式,把根标在数轴上,从右上方依次往下穿(奇穿偶切),结合原式不等号的方
向,写出不等式的解集.
7、分式不等式的解法:先移项通分标准化,则:.
f(x)
0f(x)g(x)0
g(x)
(“或”时同理)
f(x)f(x)g(x)0
0
g(x)g(x)0
规律:把分式不等式等价转化为整式不等式求解.
8、无理不等式的解法:转化为有理不等式求解
f(x)0
⑴f(x)a(a0)2
f(x)a
f(x)0
⑵f(x)a(a0)2
f(x)a
f(x)0
f(x)0
⑶f(x)g(x)g(x)0或
2g(x)0
f(x)[g(x)]
f(x)0

⑷f(x)g(x)g(x)0
2
f(x)[g(x)]
f(x)0

⑸f(x)g(x)g(x)0
f(x)g(x)

规律:把无理不等式等价转化为有理不等式,诀窍在于从“小”的一边分析求解.
9、指数不等式的解法:
⑴当a1时,af(x)ag(x)f(x)g(x)
⑵当0a1时,af(x)ag(x)f(x)g(x)
规律:根据指数函数的性质转化.
10、对数不等式的解法
f(x)0

⑴当a1时,logaf(x)logag(x)g(x)0
f(x)g(x)

f(x)0

⑵当0a1时,logaf(x)logag(x)g(x)0.
f(x)g(x)

规律:根据对数函数的性质转化.
11、含绝对值不等式的解法::.
a(a0)
⑴定义法:a.
a(a0)
22
⑵平方法:f(x)g(x)f(x)g(x).
⑶同解变形法,其同解定理有:
①xaaxa(a0);
②xaxa或xa(a0);
③f(x)g(x)g(x)f(x)g(x)(g(x)0)
④f(x)g(x)f(x)g(x)或f(x)g(x)(g(x)0)
规律:关键是去掉绝对值的符号.
12、含有两个(或两个以上)绝对值的不等式的解法:
规律:找零点、划区间、分段讨论去绝对值、每段中取交集,最后取各段的并集.
13、含参数的不等式的解法
解形如ax2bxc0且含参数的不等式时,要对参数进行分类讨论,分类讨论的标
准有:
⑴讨论a与0的大小;
⑵讨论与0的大小;
⑶讨论两根的大小.
14、恒成立问题
⑴不等式ax2bxc0的解集是全体实数(或恒成立)的条件是:
①当a0时b0,c0;
a0
②当a0时
0.
⑵不等式ax2bxc0的解集是全体实数(或恒成立)的条件是:
①当a0时b0,c0;
a0
②当a0时
0.
⑶f(x)a恒成立f(x)maxa;
f(x)a恒成立f(x)maxa;
⑷f(x)a恒成立f(x)mina;:.
f(x)a恒成立f(x)mina.
15、线性规划问题
⑴二元一次不等式所表示的平面区域的判断:
法一:取点定域法:
由于直线AxByC0的同一侧的所有点的坐标代入AxByC后所得的实数的
,在实际判断时,往往只需在直线某一侧任取一特殊点(x0,y0)(如原点),
由Ax0By0C的正负即可判断出AxByC0(或0)表示直线哪一侧的平面区域.
即:直线定边界,分清虚实;选点定区域,常选原点.
法二:根据AxByC0(或0),观察B的符号与不等式开口的符号,若同号,
AxByC0(或0)表示直线上方的区域;若异号,:同
号上方,异号下方.
⑵二元一次不等式组所表示的平面区域:
不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面区域的公共部分.
⑶利用线性规划求目标函数zAxBy(A,B为常数)的最值:
法一:角点法:
如果目标函数zAxBy(x、y即为公共区域中点的横坐标和纵坐标)的最值存在,
则这些最值都在该公共区域的边界角点处取得,将这些角点的坐标代入目标函数,得到一组对应值,最大的那个数为目标函数的最大值,最小的那个数为目标函数的最小值
zzz
法二:画——移——定——求:
第一步,在平面直角坐标系中画出可行域;第二步,作直线l0:AxBy0,平移直
线l0(据可行域,将直线l0平行移动)确定最优解;第三步,求出最优解(x,y);第四步,
将最优解(x,y)代入目标函数zAxBy即可求出最大值或最小值.
第二步中最优解的确定方法:
Azz
利用z的几何意义:yx,为直线的纵截距.
BBB
①若B0,则使目标函数zAxBy所表示直线的纵截距最大的角点处,z取得最
大值,使直线的纵截距最小的角点处,z取得最小值;:.
②若B0,则使目标函数zAxBy所表示直线的纵截距最大的角点处,z取得最
小值,使直线的纵截距最小的角点处,z取得最大值.
⑷常见的目标函数的类型:
①“截距”型:zAxBy;
yyb
②“斜率”型:z或z;
xxa
2222
③“距离”型:zxy或zxy;
z(xa)2(yb)2或z(xa)2(yb)2.
在求该“三型”的目标函数的最值时,可结合线性规划与代数式的几何意义求解,从而使问题简单化.