八年级数学各章知识点.pdf

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八年级(上)知识点整合
第一章      勾股定理
重点知识:1、勾股定理,常用勾股数
2、勾股定理逆定理
3、勾股定理的运用:最短距离
一、勾股定理的内容:
如果直角三角形的两直角边分别是a、b,斜边为c,那么a2b2
即直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方
c
注:勾——最短的边、股——较长的直角边、b
弦——斜边。
BaC
图2
:    
AD
(1)方法一:将四个全等的直角三角形拼成如图所示的正方形:
221
S正方形ABCDabc4ab
2
222BC
abc.
(2)方法二:将四个全等的直角三角形拼成如图所示的正方形:    
HG
221
S正方形EFGHcab4ab
2
a2b2c2.
EF
(3)方法三:“总统”:
           
C
(ab)(ab)112
S梯形ABCD2abc
222Dcb
c
a
a2b2
E
::.
如果三角形中两边的平方和等于第三边的平方,那么这个三角形是直角三角形。即
在中A如BC果那,么是A直C角2三B角C2形AB2,ABC。
:
满足a2b2c2的三个正整数,,仍为勾股数.
常用勾股数:3、4、5;5、12、13;7、24、25;8、15、17
第二章实数
重点知识:1、无理数的概念,与有理数的区别
2、实数比较大小
3、实数的运算、平方根、算术平方根、立方根
4、二次根式的非负性
一、实数的概念及分类

实数:有理数和无理数的统称.

不不不

不不0

不不不不不不不不不不不不不不不不不
不不不
不不
不不
不不不

不不不不

不不不不不不不不不不
不不不不
注意:
(1)实数还可按正数,零,负数分类.
(2)整数可分为奇数,偶数,零是偶数,偶数一般用2n(n为整数)表示;奇数一般用2n1或2n1
(n为整数)表示.
(3)正数和零常称为非负数.
(4)带根号的数不一定是无理数,如9.
二、实数的大小比较
1利用数轴比较大小:.
因为数轴上右边的点表示的数,总是比左边的点表示的数大,所以负数小于0,0小于正数,负数小于正数.
2利用绝对值比较大小
两个正数比较大小,绝对值大的较大;两个负数比较大小,绝对值大的反而小.
3利用作差法比较大小
设a、b是任意两实数,若ab0,则ab;若ab0,则ab;若ab0,则ab.
4、利用作商法比较大小
aa
设a、b是任意两同号实数,当a,b都为负数时,若1,则ab;若1,则ab.
bb
三、实数的运算

加法交换律a+b=b+a
加法结合律(ab)ca(bc)
乘法交换律ab=ba
乘法结合律(ab)ca(bc)
分配律a(b+c)=ab+ac
注意:关于有理数的运算律和运算性质,在进行实数运算时仍然成立.
:先算乘方,再算乘除,最后算加减;如果有括号,先算括号里面的.
四、平方根、算术平方根、立方根
平方根:如果一个数的平方等于a,那么这个数叫做a的平方根,记作a,正数有两个平方根,负数没有
平方根,0的平方根是0.
算术平方根:正数a的正平方根,记作a;0的算术平方根为0.
立方根:如果一个数的立方等于a,那么这个数叫做a的立方根,记作3a,正数有一个正的立方根,负数有
一个负的立方根,0的立方根是0.
注意:
(1)当被开方数扩大(或缩小)n2倍,它的算术平方根相应地扩大(或缩小)n倍(n0).
(2)平方根和算术平方根与被开方数之间的关系:
22a(a0)
①若a0,则(a)a;②不管a为何值,总有a|a|
a(a0)
(3)若一个非负数a介于另外两个非负数a1、a2之间,即0a1aa2时,它的算术平方根也:.
介于a1、a2之间,即:0a1aa2利用这个结论我们可以来估算一个非负数的算术平方根的大
致范围.
五、二次根式的概念
二次根式的概念:形如a(a0)的式子叫做二次根式.
二次根式的基本性质:⑴a0(a0)双重非负性;⑵(a)2a(a0);⑶
2a(a0)
aa
a(a0)
六、二次根式的乘除
最简二次根式:
二次根式a(a0):
⑴被开放数的因数是整数,因式是整式(被开方数不能存在小数、分数形式)
⑵被开方数中不含能开得尽方的因数或因式
⑶分母中不含二次根式
二次根式的计算结果要写成最简根式的形式.
二次根式的乘法法则:abab(a0,b0)
aa
二次根式的除法法则:(a0,b0)
bb
利用这两个法则时注意a、b的取值范围,对于abab,a、b都非负,否则不成立,
如(7)(5)(7)(5)
七、同类二次根式:
几个二次根式化成最简二次根式以后,如果被开方数相同,这几个二次根式就叫做同类二次根式.
分母有理化:把分母中的根号化去叫做分母有理化.
互为有理化因式:
两个含有二次根式的代数式相乘,如果它们的积不含有二次根式,说这两个代数式互为有理化因式.
ab与ab互为有理化因式;分式有理化时,一定要保证有理化因式不为0.
第三章位置的确定:.
一、平面直角坐标系

有顺序的两个数a与b组成的实数对,叫做有序实数对,记作a,b.
注意:当ab时,a,b和b,a是不同的两个有序实数对.

楷体在平面内有两条公共点并且互相垂直的数轴就构成了平面直角坐标系,通常把其中水平的一条数轴叫做横轴或轴,取向右的方向为正方向;铅直的数轴叫做纵轴或轴,取向上的方向为正方向,两数轴的交点
xy
叫做坐标原点;x轴和y轴统称为坐标轴;建立了直角坐标系的平面叫做坐标平面.

楷体x轴和y轴把坐标平面分成四个部分,称为四个象限,按逆时针顺序依次叫做第一象限,第二象限,第
三象限,第四象限.
注意:
(1)两条坐标轴不属于任何一个象限.
(2)如果所表示的平面直角坐标系具有实际意义时,要在表示横轴,纵轴的字母后附上单位.
楷体五号

楷体对于坐标平面内的一点A,过点A分别向x轴、y轴作垂线,垂足在x轴、y轴上对应的数a、b分别
叫做点A的横坐标和纵坐标,有序实数对a,b叫做点A的坐标,记作Aa,b.
坐标平面内的点与有序实数对是一一对应的.
注意:横坐标写在纵坐标前面,中间用“,”号隔开,再用小括号括起来.
楷体五号
二、坐标平面内特殊点的坐标特征

楷体点Px,y在第一象限x0,y0;
点Px,y在第二象限x0,y0;
点Px,y在第三象限x0,y0;
点Px,y在第四象限x0,y:.

楷体点Px,y在x轴上y0,x为任意实数;
点Px,y在y轴上x0,y为任意实数;
点Px,y即在x轴上,又在y轴上x0,y0,即点P的坐标为0,0.

楷体点Px,y在第一、三象限夹角的角平分线上xy;
点Px,y在第二、四象限夹角的角平分线上xy0.

楷体平行于x轴直线上的两点,其纵坐标相等,横坐标为两个不相等的实数;
平行于y轴直线上的两点,其横坐标相等,纵坐标为两个不相等的实数.

楷体点Pa,b关于x轴的对称点是Pa,b,即横坐标不变,纵坐标互为相反数.
点Pa,b关于y轴的对称点是Pa,b,即纵坐标不变,横坐标互为相反数.
点Pa,b关于坐标原点的对称点是Pa,b,即横坐标互为相反数,纵坐标也互为相反数.
点Pa,b关于点Qm,n的对称点是M2ma,2nb.
楷体五号
三、用坐标表示地理位置

楷体先确定原点,然后画出x轴和y轴,建立平面直角坐标系,
又横坐标和纵坐标唯一地确定.
楷体五号

楷体从一定点出发,测量出被测点到定点的距离,.
楷体五号:.
四、用坐标表示距离
楷体点Px,y到x轴的距离是y;点P(x,y)到直线ym的距离是ym;
点Px,y到y轴的距离是x;点P(x,y)到直线xn的距离是xn;
点Px,y到原点的距离是x2y2;点Px,y到点Px,y的距离PP(xx)2(yy)2,
1**********
特别地,当P1P2平行于x轴时,P1P2x1x2;当P1P2平行于y轴时,P1P2y1y2.
楷体五号
五、用坐标表示平移

楷体将点x,y向右(或向左)平移a个单位可得对应点xa,y或xa,y;
将点x,y向上(或向下)平移b个单位,可得对应点x,yb或x,yb.
楷体五号
:
楷体把一个图形各个点的横坐标都加上(或减去)一个正数a,相应的新图形就是把原图形向右(或向左)
平移a个单位.
如果把图形各个点的纵坐标都加上(减去)一个正数a,相应的新图形就是把原图形向上(或向下)平
移a个单位.
楷体五号
第四章一次函数
重点知识:1、一次函数的图像
2、一次函数的解析式:.
3、一次函数的应用
一、一次函数的概念
一般地,形如ykxb(k,b是常数,k0)的函数,叫做一次函数,当b0时,即ykx,这时
即是前一节所学过的正比例函数.
⑴一次函数的解析式的形式是ykxb,要判断一个函数是否是一次函数,就是判断是否能化成以上形
式.
⑵当b0,k0时,ykx仍是一次函数.
⑶当b0,k0时,它不是一次函数.
⑷正比例函数是一次函数的特例,一次函数包括正比例函数.
二、一次函数的图象
⑴一次函数ykxb(k0,k,b为常数)的图象是一条直线.
⑵由于两点确定一条直线,所以在平面直角坐标系内画一次函数的图象时,只要先描出两个点,再连成
直线即可.
①如果这个函数是正比例函数,通常取0,0,1,k两点;
b
②如果这个函数是一般的一次函数(b0),通常取0,b,,0,即直线与两坐标轴的交点.
k
⑶由函数图象的意义知,满足函数关系式ykxb的点x,y在其对应的图象上,这个图象就是一条
直线l,反之,直线l上的点的坐标x,y满足ykxb,也就是说,直线l与ykxb是一一对应的,所
以通常把一次函数ykxb的图象叫做直线l:ykxb,有时直接称为直线ykxb.
⑷|k|的几何意义:|k|越大,直线越靠近y轴;|k|越小,直线越远离y轴。
三、一次函数的性质
一次
kkxbk0
函数
k,bk0k0
符号b0b0b0b0b0:.
            
      
                  
b0
yyyyyy
图象
OxOxOxOxOxOx
性质y随x的增大而增大y随x的增大而减小

在一次函数ykxb中:
⑴当k0时,其图象一定经过一、三象限;当k0时,其图象一定经过二、四象限.
⑵当b0时,图象与y轴交点在x轴上方,所以其图象一定经过一、二象限;当b0时,图象与y轴
交点在x轴下方,所以其图象一定经过三、四象限.
反之,由一次函数ykxb的图象的位置也可以确定其系数k、b的符号.

在一次函数ykxb中:
⑴当k0时,一次函数ykxb的图象从左到右上升,y随x的增大而增大;
⑵当k0时,一次函数ykxb的图象从左到右下降,y随x的增大而减小.
四、含绝对值的一次函数
对于含有绝对值的一次函数,其图象是由若干条线段和射线组成的折线,我们通常采用零点讨论法,即
先找出绝对值的零解,然后将数轴划分为若干个区间,接下来就可以在各个区间中确定每个绝对值中式子的符号,进而去掉绝对值符号.
我们知道,函数yxa,当xa时,xa1xa2(a1a2),
若xa2,则y(xa1)(xa2)2x(a1a2)a2a1;
若xa1,则y(a1x)(a2x)(a1a2)2xa2a1;
当a1xa2时,y取最小值y(xa1)(a2x)a2a1.
在数学竞赛中,有这样一类问题非常普遍:
设a1a2…an1an,当x为何值时,函数yxa1xa2…xan1xan取最小值?
下面我们给出这类问题的一般性结论.
对于函数y1xa1xan,
当a1xan时,y1取得最小值an,
当a2xan1时,函数y2xa2xan1取得最小值an1a2;:.
当a3xan2时,y3xa3xan2取得最小值an2a3;……于是我们得到:
⑴若n为奇数,当xan1时,yn1xan1取最小值0,此时,y1不不…y不2yn1都取得最小值,则
2222

yy1y2+…+yn1取得最小值anan1……an1a1a2an1.
222
⑵若n为偶数,当anxan时,ynxanxan取得最小值anan,此时,y1不不…y不2yn
22122212122

都取得最小值,故yy1y2…yn取得最小值anan1……ana1a2an.
2212
a1或xan时,图象是向左右两边向上无限延伸的两条射线,而中间
各
段在区间ai不不不…a不i1(i12n1)上均为线段,它们首尾相连形成折线,在中间点或中间段处最低,此时
函数有最小值.
五、用待定系数法求一次函数解析式
先设出函数解析式,再根据条件确定解析式中未知的系数,从而具体写出这个式子的方法,叫做待字系
数法.
用待定系数法求函数解析式的一般步骤:
①根据已知条件写出含有待定系数的解析式;
②将x,y的几对值,或图象上的几个点的坐标代入上述的解析式中,得到以待定系数为未知数的方程
或方程组;
③解方程(组),得到待定系数的值;
④将求出的待定系数代回所求的函数解析式中,:.
第五章二元一次方程组
重点知识:1、二元一次方程组的解法
2、含字母系数的二元一次方程组
3、二元一次方程组的实际应用
一、二元一次方程

楷体含有两个未知数,并且含未知数项的最高次数是1的方程叫二元一次方程.
判定一个方程是二元一次方程必须同时满足三个条件:
①方程两边的代数式都是整式——整式方程;
②含有两个未知数——“二元”;
③含有未知数的项的次数为1——“一次”.
楷体五号

楷体二元一次方程的一般形式为:axbyc0(a0,b0)
楷体五号

楷体五使二元一次方程左、右两边的值相等的两个未知数的值,叫做二元一次方程的解.
一般情况下,一个二元一次方程有无数个解.
黑体小四
二、二元一次方程组

楷体由几个一次方程组成并且含有两个未知数的方程组,叫二元一次方程组.
注意:二元一次方程组不一定由两个二元一次方程合在一起:方程可以超过两个,有的方程可以只有一
2x6
元(一元方程在这里也可看作另一未知数系数为0的二元方程).如也是二元一次方程组.
3xy1
楷体五
号
:.
楷体五二元一次方程组的解必须满足方程组中的每一个方程,同时它也必须是一个数对,而不能是一个数.
楷体五号

楷体(1)代入消元法
代入法是通过等量代换,消去方程组中的一个未知数,使二元一次方程组转化为一元一次方程,从而求
得一个未知数的值,然后再求出被消去未知数的值,从而确定原方程组的解的方法.
代入消元法是解二元一次方程组的基本方法之一.“消元”体现了数学研究中转化的重要思想,代入法
不仅在解二元一次方程组中适用,也是今后解其他方程(组)经常用到的方法.
①从方程组中选一个系数比较简单的方程,将这个方程中的一个未知数,例如y,用另一个未知数如
x的代数式表示出来,即写成yaxb的形式;
②yaxb代入另一个方程中,消去y,得到一个关于x的一元一次方程;
③解这个一元一次方程,求出x的值;
④回代求解:把求得的x的值代入yaxb中求出y的值,从而得出方程组的解.
xa
⑤把这个方程组的解写成的形式.
yb
(2)加减消元法
加减法是消元法的一种,
用,也是今后解其他方程(组)经常用到的方法.
用加减法解二元一次方程组的一般步骤:
①变换系数:把一个方程或者两个方程的两边都乘以适当的数,使两个方程里的某一个未知数的系数互
为相反数或相等;
②加减消元:把两个方程的两边分别相加或相减,消去一个未知数,得到一个一元一次方程;
③解这个一元一次方程,求得一个未知数的值;
④回代:将求出的未知数的值代入原方程组中,求出另一个未知数的值;
xa
⑤把这个方程组的解写成的形式.
yb
加减消元方法的选择:
①一般选择系数绝对值最小的未知数消元;
②当某一未知数的系数互为相反数时,用加法消元;当某一未知数的系数相等时,用减法消元;
③某一未知数系数成倍数关系时,直接对一个方程变形,使其系数互为相反数或相等,再用加减消元求:.
解;
④当相同的未知数的系数都不相同时,找出某一个未知数的系数的最小公倍数,同时对两个方程进行变形,
转化为系数的绝对值相同,再用加减消元求解.
三、二元一次方程及二元一次方程的解

楷体含有两个未知数,并且含未知数项的最高次数是1的方程叫二元一次方程.
判定一个方程是二元一次方程必须同时满足三个条件:
①方程两边的代数式都是整式——整式方程;
②含有两个未知数——“二元”;
③含有未知数的项的次数为1——“一次”.
楷体五号

楷体二元一次方程的一般形式为:axbyc0(a0,b0)
楷体五号

楷体使二元一次方程左、右两边的值相等的两个未知数的值,叫做二元一次方程的解.
一般情况下,一个二元一次方程有无数个解.
黑体小四
四、二元一次方程组及二元一次方程组的解

楷体由几个一次方程组成并且含有两个未知数的方程组,叫二元一次方程组.
注意:
(1)二元一次方程组不一定由两个二元一次方程合在一起:方程可以超过两个,其中有的方程可以只
2x6
有一元(不过一元方程在这里也可看作另一未知数系数为0的二元方程).如也是二元一次方程
3xy1
组.
(2)定义中“两个”的含义:二元一次方程组的解必须满足方程组中的每一个方程,同时它也必须是
一个数对,而不能是一个数.
楷体五号:.

a1xb1yc1①
楷体五(1)在x、y的方程组中,a1、a2、b1、b2、c1、c2均为已知数,(a1与b1、
a2xb2yc2②
a2与b2都至少有一个不等于0),则有:由①②b2b1得:(a)1b2a2b1xb2c1b1c2
由①②a2a1得:(a)1b2a2b1ya1c2a2c1
当a1b2a2b10时,方程组有唯一一组解;
当a1b2a2b10,且b2c1b1c20,a1c2a2c10时,方程组无解;
当a1b2a2b10,且b2c1b1c20,a1c2a2c10时,方程组有无穷多组解;
a1xb1yc1
(2)二元一次方程组的解的情况有以下三种:
a2xb2yc2
a1b1c1
①当时,方程组有无数多解.(∵两个方程等效)
a2b2c2
a1b1c1
②当时,方程组无解.(∵两个方程是矛盾的)
a2b2c2
c1b2c2b1
x
a1b1a1b2a2b1
③当(即a1b2-a2b1≠0)时,方程组有唯一的解:(这个解可用加减消元法求得)
a2b2c2a1c1a2
y
a1b2a2b1
注意:
(1)方程的个数少于未知数的个数时,一般是不定解,即有无数多解,若要求整数解,可按二元一次
方程整数解的求法进行.
(2)求方程组中的待定系数的取值,一般是求出方程组的解(把待定系数当己知数),再解含待定系数
的不等式或加以讨论.
五、列方程组解应用题的一般步骤
楷体五号
:审题.
:找出题目中蕴含的等量关系.
::直接设元、间接设元、辅助设元、整体设元.
:列方程组.
:解方程组.
:检验方程组的解是不是原方程组的解,:.
:作答.
楷体五号
注意:
(1)审题是很重要的,应反复阅读题目,用笔画出关键的语句,再找出数量之间的关系;
(2)一般求解的几个未知量可直接设几个未知数,,也可以间接
设未知数;
(3)所设未知数的单位可以与题目中要求的不同,但所列各方程的同一未知数的单位要一致,每个方
程两边单位要一致,答与问的单位要一致;
(4)检验包含两方面的含义:首先要检验未知数的值是不是原方程(组)的解;其二是检验未知数的
值是否符合实际意义.
六、列方程组解应用题的一般步骤
二元一次方程组是最简单的方程组,其应用广泛,尤其是生活、生产实践中的许多问题,大多需要通过
设元、布列二元一次方程组来加以解决,现将常见的几种题型归纳如下:
1、和差倍分问题
点评:由于受一元一次方程先入为主的影响,不少同学习惯于只设一元,然后列一元一次方程求解,虽然这种方法十有八九可以奏效,但对有些问题是无能为力的,象本题,如果直接设这个两位数为x,或只设十位
上的数为x,,与数位上的数字有关的求数问题,一般应
设各个数位上的数为“元”,然后列多元方程组解之.
【例1】一个两位数,比它十位上的数与个位上的数的和大9;如果交换十位上的数与个位上的数,所得两
位数比原两位数大27,求这个两位数.
2、利润问题
注:商品销售盈利百分数是相对于进价而言的,,一是:利润=卖出价-进价;二是:利润=进价×利润率(盈利百分数).特别注意“利润”和“利润率”
是不同的两个概念.
【例2】一件商品如果按定价打九折出售可以盈利20%;如果打八折出售可以盈利10元,问此商品的定价是
多少?
3、配套问题
注:产品配套是工厂生产中基本原则之一,如何分配生产力,使生产出来的产品恰好配套成为主管生产人员:.
常见的问题,解决配套问题的关键是利用配套本身所存在的相等关系,其中两种最常见的配套问题的等量关系是:
(1)“二合一”问题:如果a件甲产品和b件乙产品配成一套,那么甲产品数的b倍等于乙产品数的a倍,
即
(2)“三合一”问题:如果甲产品a件,乙产品b件,丙产品c件配成一套,那么各种产品数应满足的相等
关系式是:
【例3】某厂共有140名生产工人,每个工人每天可生产螺栓25个或螺母20个,如果一个螺栓与两个螺母
配成一套,那么每天安排多名工人生产螺栓,多少名工人生产螺母,才能使每天生产出来的产品配成最多套?
4、行程问题
(1)基本分析方法:画示意图分析题意,分清速度及时间,找等量关系(路程分成几部分).
注:“相向而遇”和“同向追及”是行程问题中最常见的两种题型,在这两种题型中都存在着一个相等关系,这个关系涉及到两者的速度、原来的距离以及行走的时间具体表现在:“相向而遇”时,两者所走的路程之和等于它们原来的距离;“同向追及”时,:
A、顺流(风)航行的路程=逆流(风)航行的路程
B、顺水(风)速度=_________________________
逆水(风)速度=_________________________
【例4】在某条高速公路上依次排列着A、B、C三个加油站,A到B的距离为120千米,B到C的距离也是
、C两个加油站实施抢劫的两个犯罪团伙作案后同时以相同的速度驾车沿高速公路逃离
现场,正在B站待命的两辆巡逻车接到指挥中心的命令后立即以相同的速度分别往A、C两个加油站驶去,
结果往B站驶来的团伙在1小时后就被其中一辆迎面而上的巡逻车堵截住,而另一团伙经过3小时后才被另
?
【例5】甲、乙两地路程为180千米,一人骑自行车从甲地出发每时走15千米,另一人骑摩托车从乙地出
发,已知摩托车速度是自行车速度的3倍,若两人同时出发,相向而行,问经过多少时间两人相遇?
【例6】甲、乙两地路