初中函数知识点总结.pdf

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一般地,形如y=kx+b(k,b是常数,k≠0),=0时,y=kx+b即y=kx,所以
说正比例函数是一种特殊的一次函数.
注:一次函数一般形式y=kx+b(k不为零)①k不为零②x指数为1③b取任意实数
b
一次函数y=kx+b的图象是经过(0,b)和(-,0)两点的一条直线,我们称它为直线y=kx+b,它
k
可以看作由直线y=kx平移|b|个单位长度得到.(当b>0时,向上平移;当b<0时,向下平移)
(1)解析式:y=kx+b(k、b是常数,k0)
b
(2)必过点:(0,b)和(-,0)
k
(3)走向:
k0k0
直线经过第一、二、三象限直线经过第一、三、四象限
b0b0
k0k0
直线经过第一、二、四象限直线经过第二、三、四象限
b0b0
(4)增减性:k>0,y随x的增大而增大;k<0,y随x增大而减小.
(5)倾斜度:|k|越大,图象越接近于y轴;|k|越小,图象越接近于x轴.
(6)图像的平移:当b>0时,将直线y=kx的图象向上平移b个单位;
当b<0时,将直线y=kx的图象向下平移b个单位.
b>0b<0b=0
经过第一、二、三象限经过第一、三、四象限经过第一、三象限
k>0
图象从左到右上升,y随x的增大而增大
经过第一、二、四象限经过第二、三、四象限经过第二、四象限
k<0
图象从左到右下降,y随x的增大而减小
反比例函数知识点
kk
:一般地,形如y(k为常数,ko)的函数称为反比例函数。y还可以写
xx
成ykx1
:
⑴等号左边是函数y,等号右边是一个分式。分子是不为零的常数k(也叫做比例系数k),
分母中含有自变量x,且指数为1.
⑵比例系数k0
⑶自变量x的取值为一切非零实数。
⑷函数y的取值是一切非零实数。

⑴图像的画法:描点法
①列表(应以O为中心,沿O的两边分别取三对或以上互为相反的数)
②描点(有小到大的顺序)
③连线(从左到右光滑的曲线)
k
⑵反比例函数的图像是双曲线,y(k为常数,k0)中自变量x0,函数值y0,
x
所以双曲线是不经过原点,断开的两个分支,延伸部分逐渐靠近坐标轴,但是永远不
与坐标轴相交。
⑶反比例函数的图像是是轴对称图形(对称轴是yx或yx)。
kk
⑷反比例函数y(k0)中比例系数k的几何意义是:过双曲线y(k0)上
xx
任意引x轴y轴的垂线,所得矩形面积为k。
:
k的取值图像所在象限函数的增减性
ko一、三象限在每个象限内,y值随x的增大而减小
ko二、四象限在每个象限内,y值随x的增大而增大
二次函数知识点
一、二次函数概念:
:一般地,形如yax2bxc(a,,bc是常数,a0)的函数,叫做二次函数。
这里需要强调:和一元二次方程类似,二次项系数a0,而b,
体实数.
ax2bxc的结构特征:
⑴等号左边是函数,右边是关于自变量x的二次式,x的最高次数是2.
⑵a,,bc是常数,a是二次项系数,b是一次项系数,c是常数项.
二、二次函数的基本形式
:yax2的性质:
a的绝对值越大,抛物线的开口越小。
a的符号开口方向顶点坐标对称轴性质
x0时,y随x的增大而增大;x0时,
a0向上0,0y轴y随x的增大而减小;x0时,y有最小
值0.
x0时,y随x的增大而减小;x0时,
a0向下0,0y轴y随x的增大而增大;x0时,y有最大
.
yax2c的性质:
上加下减。
a的符号开口方向顶点坐标对称轴性质
x0时,y随x的增大而增大;x0时,
a0向上0,cy轴y随x的增大而减小;x0时,y有最小
值c.
x0时,y随x的增大而减小;x0时,
a0向下0,cy轴y随x的增大而增大;x0时,y有最大
值c.
axh2的性质:
左加右减。
a的符号开口方向顶点坐标对称轴性质
xh时,y随x的增大而增大;xh时,
a0向上h,0X=hy随x的增大而减小;xh时,y有最小
值0.
xh时,y随x的增大而减小;xh时,
a0向下h,0X=hy随x的增大而增大;xh时,y有最大
值0.
axh2k的性质:
a的符号开口方向顶点坐标对称轴性质
xh时,y随x的增大而增大;xh时,
a0向上h,kX=hy随x的增大而减小;xh时,y有最小
值k.
xh时,y随x的增大而减小;xh时,
a0向下h,kX=hy随x的增大而增大;xh时,y有最大
值k.
三、二次函数图象的平移
:
方法一:⑴将抛物线解析式转化成顶点式yaxh2k,确定其顶点坐标h,k;
⑵保持抛物线yax2的形状不变,将其顶点平移到h,k处,具体平移方法如下:
 
【【(k>0)【【【【(k<0)【【【|k|【【【
y=ax2y=ax2+k
【【(h>0)【【【(h<0)【
【【(h>0)【【【(h<0)【
【【(h>0)【【【(h<0)【【【|k|【【【
【【|k|【【【【【|k|【【【
【【(k>0)【【【(k<0)【
【【|k|【【【
y=a(x-h)2y=a(x-h)2+k
【【(k>0)【【【(k<0)【【【|k|【【【

在原有函数的基础上“h值正右移,负左移;k值正上移,负下移”.
概括成八个字“左加右减,上加下减”.
方法二:
⑴yax2bxc沿y轴平移:向上(下)平移m个单位,yax2bxc变成
yax2bxcm(或yax2bxcm)
⑵yax2bxc沿轴平移:向左(右)平移m个单位,yax2bxc变成
ya(xm)2b(xm)c(或ya(xm)2b(xm)c)
四、二次函数yaxh2k与yax2bxc的比较
从解析式上看,yaxh2k与yax2bxc是两种不同的表达形式,后者通过配方可以得到前
2
b4acb2b4acb2
者,即yax,其中h,k.
2a4a2a4a
五、二次函数yax2bxc图象的画法
五点绘图法:利用配方法将二次函数yax2bxc化为顶点式ya(xh)2k,确定其开口方向、
对称轴及顶点坐标,然后在对称轴两侧,:顶点、与
y轴的交点0,c、以及0,c关于对称轴对称的点2h,c、与x轴的交点x1,0,x2,0(若与
x轴没有交点,则取两组关于对称轴对称的点).
画草图时应抓住以下几点:开口方向,对称轴,顶点,与x轴的交点,与y轴的交点.
六、二次函数yax2bxc的性质
bb4acb2
0时,抛物线开口向上,对称轴为x,顶点坐标为,.
2a2a4a
bbb
当x时,y随x的增大而减小;当x时,y随x的增大而增大;当x时,y有最
2a2a2a
4acb2
小值.
4a
bb4acb2b
0时,抛物线开口向下,对称轴为x,顶点坐标为,.当x时,
2a2a4a2a
bb4acb2
y随x的增大而增大;当x时,y随x的增大而减小;当x时,y有最大值.
2a2a4a
七、二次函数解析式的表示方法
:yax2bxc(a,b,c为常数,a0);
:ya(xh)2k(a,h,k为常数,a0);
:ya(xx1)(xx2)(a0,x1,x2是抛物线与x轴两交点的横坐标).
注意:任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式,但并非所有的二次函数都可以写成交点式,
只有抛物线与x轴有交点,即b24ac0时,
式的这三种形式可以互化.
八、二次函数的图象与各项系数之间的关系

二次函数yax2bxc中,a作为二次项系数,显然a0.
⑴当a0时,抛物线开口向上,a的值越大,开口越小,反之a的值越小,开口越大;
⑵当a0时,抛物线开口向下,a的值越小,开口越小,反之a的值越大,开口越大.
总结起来,a决定了抛物线开口的大小和方向,a的正负决定开口方向,a的大小决定开口的大
小.

在二次项系数a确定的前提下,b决定了抛物线的对称轴.
⑴在a0的前提下,
b
当b0时,0,即抛物线的对称轴在y轴左侧;
2a
b
当b0时,0,即抛物线的对称轴就是y轴;
2a
b
当b0时,0,即抛物线对称轴在y轴的右侧.
2a
⑵在a0的前提下,结论刚好与上述相反,即
b
当b0时,0,即抛物线的对称轴在y轴右侧;
2a
b
当b0时,0,即抛物线的对称轴就是y轴;
2a
b
当b0时,0,即抛物线对称轴在y轴的左侧.
2a
总结起来,在a确定的前提下,b决定了抛物线对称轴的位置.
b
ab的符号的判定:对称轴x在y轴左边则ab0,在y轴的右侧则ab0,概括的说就是
2a
“左同右异”
总结:

⑴当c0时,抛物线与y轴的交点在x轴上方,即抛物线与y轴交点的纵坐标为正;
⑵当c0时,抛物线与y轴的交点为坐标原点,即抛物线与y轴交点的纵坐标为0;
⑶当c0时,抛物线与y轴的交点在x轴下方,即抛物线与y轴交点的纵坐标为负.
总结起来,c决定了抛物线与y轴交点的位置.
总之,只要a,,bc都确定,那么这条抛物线就是唯一确定的.
二次函数解析式的确定:
根据已知条件确定二次函数解析式,
根据题目的特点,选择适当的形式,,有如下几种情况:
,一般选用一般式;
(小)值,一般选用顶点式;
,一般选用两根式;
,常选用顶点式.
九、二次函数图象的对称
二次函数图象的对称一般有五种情况,可以用一般式或顶点式表达

yax2bxc关于x轴对称后,得到的解析式是yax2bxc;
yaxh2k关于x轴对称后,得到的解析式是yaxh2k;

yax2bxc关于y轴对称后,得到的解析式是yax2bxc;
yaxh2k关于y轴对称后,得到的解析式是yaxh2k;

yax2bxc关于原点对称后,得到的解析式是yax2bxc;
yaxh2k关于原点对称后,得到的解析式是yaxh2k;
(即:抛物线绕顶点旋转180°)
b2
yax2bxc关于顶点对称后,得到的解析式是yax2bxc;
2a
yaxh2k关于顶点对称后,得到的解析式是yaxh2k.
m,n对称
yaxh2k关于点m,n对称后,得到的解析式是yaxh2m22nk
根据对称的性质,显然无论作何种对称变换,抛物线的形状一定不会发生变化,因此a永远不
,可以依据题意或方便运算的原则,选择合适的形式,习惯上是
先确定原抛物线(或表达式已知的抛物线)的顶点坐标及开口方向,再确定其对称抛物线的顶点坐标及
开口方向,然后再写出其对称抛物线的表达式.
十、二次函数与一元二次方程:
(二次函数与x轴交点情况):
一元二次方程ax2bxc0是二次函数yax2bxc当函数值y0时的特殊情况.
图象与x轴的交点个数:
2
①当b4ac0时,图象与x轴交于两点Ax1,0,,Bx20(x1x2),其中的x1,x2是一元二次
b24ac
方程ax2bxc0a0xx.
21a
②当0时,图象与x轴只有一个交点;
③当0时,图象与x轴没有交点.
1'当a0时,图象落在x轴的上方,无论x为任何实数,都有y0;
2'当a0时,图象落在x轴的下方,无论x为任何实数,都有y0.
ax2bxc的图象与y轴一定相交,交点坐标为(0,c);
:
⑴求二次函数的图象与x轴的交点坐标,需转化为一元二次方程;
⑵求二次函数的最大(小)值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式;
⑶根据图象的位置判断二次函数yax2bxc中a,b,c的符号,或由二次函数中a,b,c的符
号判断图象的位置,要数形结合;
⑷二次函数的图象关于对称轴对称,可利用这一性质,求和已知一点对称的点坐标,或已知与x轴的
一个交点坐标,可由对称性求出另一个交点坐标.
⑸与二次函数有关的还有二次三项式,二次三项式ax2bxc(a0)本身就是所含字母x的二次函数;
下面以a0时为例,揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系:
0抛物线与x轴有二次三项式的值可正、一元二次方程有两个不相等实根
两个交点可零、可负
0抛物线与x轴只二次三项式的值为非负一元二次方程有两个相等的实数根
有一个交点
0抛物线与x轴无二次三项式的值恒为正一元二次方程无实数根.
交点