初二数学知识点 部分.pdf

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初二数学知识点:分数及其运算、实数与二次根式、一次函数的图像以及性质、反比例函数以及应用、三角形与全等三角形、等腰等边直角三角形、勾股定理及逆定理、矩形、菱形、正方形、梯形
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知识点的参考!

考点例析
考点1分式的有关概念
1一般的,如果AB表示两个整式,并且B中含有字母,
那么式子A/B叫做分式。分式A/B中,A叫做分式的分
子,B叫做分式的分母。
2整式和分式统称为有理式
3对于分式A/B,当B不等于零时,分式有意义,当B等
于零时,分式无意义,当A等于零,B不等于零时,分式
值为零
链接1①要分式1/x有意义,x的取值范围()
AX=0BX≠0CX>0DX<0
⑵若分式﹙x-1﹚/﹙x+2﹚的值为0,则()
AX=-2BX=0CX=1或X=-2DX=1:.
例1⑴若一个分式中含有字母m,且当m=5时,它的值为
()
⑵某市对一段全长1500的道路进行改修,原计划每天修X
米,为了尽量减少施工对城市交通所造成的影响,施工时,每天修路比原计划的2倍还多35米,那么修这条路实际
用了多少天
3当X为何值时,分式﹙︳X︳-4﹚/[﹙X-4﹚﹙X+1﹚]的
值为0
解⑴60/m⑵1500/﹙2X﹢35﹚⑶x=-4
同类题
1若一个分式含有字母m,且不论为何实数时,分式都有
意义,则这个分式可以是()
2已知分式﹙︳X︳-1﹚/﹙X²-5X﹢a﹚
1当a=4时,X为何值时分式的值为0
2当X=2时,a为何值时分式无意义
3当a<6时,x的值最多有几个值能使分式无意义。
考点2分式的基本性质
1分式的基本性质:分式的分子和分母同乘以或除以一个
不等于0的整式,分式的值不变,用式子表现就是:
A/B=﹙A×M﹚/﹙B×M﹚,A/B=﹙A÷M﹚:.
/﹙B÷M﹚,﹙其中M是不等于0的整式﹚;这个基本性质
还能使分式的分子,分母及分式本身的符号中任改变其中任意两个,分式的值不变。
2把分式的分子和分母中的公因式约去,叫做分式的约分。
链接2化简:﹙X²-9﹚/﹙X-3﹚=
例2⑴化简:[﹙a-1﹚/﹙a-2﹚]×[﹙2a-4﹚
/﹙a²-2a+1﹚]
⑵计算:a/﹙a+1﹚+﹙a-1﹚/﹙a²-1﹚
解⑴原式=2/﹙a-1﹚⑵原式=1
同类题
3化简[1-1/﹙m+1﹚]×﹙m-1﹚的结果是()
4化简﹙a²-b²﹚/﹙a²+2ab+b²﹚×﹙a+b﹚
/﹙a-b﹚=
5化简[1-b/﹙a+b﹚]÷a/﹙a²-b²﹚=
考点3分式的混合运算
1分式乘除:a/b×c/d=ac/bda/b÷c/d=ad/bc
2分式乘方:﹙a/b﹚^n=a^n/b^n(n为整数)
3分式加减:a/c±b/c=﹙a±b﹚/c,
a/b±c/d=﹙ad±bc﹚/bd
4分式的混合运算:在分式的混合运算中,应先算乘方,再
算乘除,进行约分简化后,最后进行加减运算,遇到有括:.
号的先算括号里的,运算结果必须是最简分式或整式
例3化简分式:[x/﹙x-1﹚-x/﹙x²-1﹚]÷[﹙x
²-x﹚/﹙x²-2x+1﹚],并从-1≤x≤3中选一个你认为适
合的整数x代入并求值
解原式=x/﹙x+1﹚
∵x≠-1,0,1
当x=2时,原式=2/3
同类题
6先化简:1-[﹙a-1﹚/a]÷[﹙a²-1﹚/﹙a²+2a﹚],
再求取合适的a值代入计算
7已知1/a+1/b=根号5﹙a≠b﹚,求[a/b﹙a-b﹚]-[
b/b﹙a-b﹚]的值
考点4生活中的分式
例4甲乙两位采购员先后两次同去一家饲料公司购买饲料,两次饲
料的价格有变化,两位采购员的购货方式也不同,其中,甲每次购买1000千克,乙每次用去800元,而不管购买多少饲料,设两次购
买的饲料单价分别为m元/千克和n元/千克﹙mn均为正数,且
m≠n﹚,那么甲乙购买饲料的平均价格各是多少,哪一个比较低
解甲两次购买饲料的平均单价为:﹙m+n﹚/2
乙两次购买饲料的平均单价为:2mn/﹙m+n﹚乙低
同类题
8某家农户种A种水稻a亩,平均每亩产量为m千克,种B水稻b:.
亩,平均亩产量为n千克,则两种水稻的平均亩产量为()千克。
随堂练习
1分式2/a+1有意义,则a的取值范围是()
Aa=0Ba=1Ca≠-1Da≠0
2若式子4/﹙a+1﹚表示一个整数,则整数a的可能取值的个数
是
A3B4C5D6
3当x=()时,分式﹙x²-3﹚/﹙︳x︳-x﹚的值为0
4化简[1+4/﹙a-2﹚]÷a/﹙a-2﹚的结果是()
A﹙a+2﹚/2Ba/﹙a+2﹚C﹙a-2﹚/aDa/﹙a-2﹚
5化简X²/﹙X-1﹚+X/﹙1-X﹚的结果是()
AX+1BX-1C-XDX
6化简:[2M/﹙M+2﹚-M/﹙M-2﹚]÷M/﹙M²-4﹚
7先化简X²/﹙X-1﹚+1/﹙1-X﹚,再选取一个你喜欢的数代入
求值。
8下面是小明计算[﹙X²-1﹚/﹙X²-2X+1﹚]÷[﹙X+1﹚
/﹙X-1﹚]×[﹙1-X﹚/﹙1+X﹚]的过程,
解[﹙X²-1﹚/﹙X²-2X+1﹚]÷[﹙X+1﹚/﹙X-1﹚]
×[﹙1-X﹚/﹙1+X﹚]
=[﹙X²-1﹚/﹙X²-2X+1﹚]÷1
=[﹙X-1﹚﹙X+1﹚]/﹙X-1﹚²
=﹙X+1﹚/﹙X-1﹚:.
1小明的解答是否正确?如果有错误,错在第几步,错误的主要原因是()
2给出正确的解答
9先简化,再求值:[﹙3x+4﹚/﹙x²-1﹚-2/﹙x-1﹚]
÷[﹙x+2﹚/﹙x²-2x+1﹚],其中x是不等式组x+4>0,
2x+5<1的整数解

考点例析
考点1实数与数开平方
1平方根:如果一个数的平方等于a,那么这个数叫做a的平方
根﹙或二次方根﹚,正数a有两个平方根,它们互为相反数;零
的平方根是0,负数没有平方根。
2算术平方根:正数a的正平方根叫算术平方根,0的算术平方
根仍是0
链接1下列说法中,不正确的是()
A非负数才有平方根B非负数的算术平方根是非负数C任何
数都有两个平方根D负数没有平方根
3立方根:如果一个数的立方根等于a,那么这个数叫做a的立
方根(或三次方根),任何实数都有一个立方根,且立方根的符
号和它本身的符号相同。
链接2下列各数:π/3,sin30°,-根号3,根号4,其中无
理数的个数是():.
A1B2C3D4
例1⑴下列实数中是无理数的是()
A根号4B-8的立方根CπºD根号2
3下列说法错误的是()
A根号16的平方根是±2B根号2是无理数C–27的立方根
是有理数D根号2除以2是分数
4已知一个正数的平方根是3X-2和5X+6,则这个数是()
解⑴D⑵D⑶49/4
同类题
1实数中,无理数是()
A2B0C根号5D1/3
2下列说法正确的序号是()
①一个数的立方根的相反数等于这个数的相反数的立方根
②根号3表示3的算术平方根
③负的a的立方根不一定是正数
④根号361等于±19
3若2m-4与3m-1是同一个数的平方根,则m等于()
A-3B1C-3或1D-1
考点2二次根式及其性质
1式子根号a(a≥0)叫做二次根式
链接3⑴要使二次根式√2x-4有意义,那么x的取值范围是
AX>2BX<2CX≥2DX≤2:.
2公式;√a²=a(a≥0﹚和﹙√2﹚²=a(a≥0﹚
1公式√a²=a(a≥0﹚表示一个非负数的平方的算术平方根仍为这个数;
2公式(√a﹚²=a,(a≥0﹚表示一个非负数的算术平方根的
平方还是这个数。
3式子√a²=a,a≥0;反之,当a≥0时a=﹙√a²﹚,利用它
可以吧一个非负数写成一个数的平方的形式:
4√a²=︳a︳(当a>0时,√a²=a;当a=0时,
√a²=0;当a<0时,√a²=-a﹚
注意以上两公式的区别:①意义不同:﹙√a﹚²表示非负数
实数a的算术平方根的平方;√a²表示实数a的平方的算术平
方根。②作用不同:﹙√a﹚²=a,(a≥0﹚正向运用可以化简
二次根式,逆向应用可以将任意一个非负数写成一个数的平方的形式;√a²=a正向应用可以将根号内的因式移到根号外,
逆向应用可以将根号外的非负数因式移到根号内
3√ab=√a×√b﹙a≥0,b≥0﹚,√﹙a/b﹚
=√a/√b﹙a≥0b≥0﹚
例2⑴化简:√[﹙-5﹚²×2^-4]÷√﹙-4/-16﹚
×﹙-2√5﹚²=
⑵实数a在数轴上的位置如图所示,则√﹙a-4﹚
²+√﹙a-11﹚²化简后为()
此处有图:.
A7B-7C2a-15D无法确定
解⑴50⑵A
同类题
4下列等式一定成立的是()
A√9-√4=√5B√15=√5×√3C√9=±3
D-√﹙-9﹚²=9
5已知abc是三角形ABC的三边形,且满足关系式
√﹙c²-a²-b²﹚+︳a-b︳=0,则三角形ABC的形状为
()
考点3二次根式的运算
1最简二次根式的定义:⑴被开方数不含分母;⑵被开方数不
含能开得尽方的因式或因数。
链接4下列二次根式中,最简二次根式是()
A√1/5B√√5D√50
2二次根式的加减就是合并化简二次根式后被开方数相同的根
式
链接5下列计算正确的是()
A√3+√2=√5B√3×√2=√6C√12-√3=√3D
√8÷√2=4
3二次根式的乘法法则:√a×√b=√ab﹙a≥0b≥0﹚,反之
√ab=√a×√b﹙a≥0b≥0﹚
4二次根式的除法法则:√a/√b=√﹙a/b﹚﹙a≥0:.
b≥0﹚,反之√﹙a/b﹚=√a/√b﹙a≥0b≥0﹚
链接6下列式子乘积的结果是有理数的是()
A√2×√5B√﹙2/3﹚×√﹙27/8﹚C-√2×√12D
3√2×2√3
例3计算:﹙4√6-4√+3√8﹚÷2√2
解原式=2√3﹢2
同类题
6计算:√48÷√3-√×√12×√24
7计算:﹙2√3+3√12﹚/√48
考点4乘法公式在二次根式运算中的应用
使用乘法公式进行二次根式运算时,应把算术平方根或由数和算术平方根组成的式子看成字母,这样就可以将乘法公式在二次根式的运算中灵活大胆地使用
解原式=2√2-1
随堂练习
1数字√2,1/3,π,³√8,cos45°,
数有几个()
A1B2C3D4
2计算³√27的结果是()
A±3√3B3√3C±3D3
3写出一个比√3大的整数是()
4已知a,b为两个连续的整数,且a<√28<b,则a+b=():.
5下列说法正确的是()
A分数是无理数B无限小数是无理数C不能写成分式数形
式的数
D不能在数轴上表示的数是无理数
6下列说法正确的是()
A﹙π/2﹚º是无理数B√3/3是有理数C√4是无理数D
³√-8是无理数
7下列运算正确的是()
A√25=±5B4√3-√27=1C√18÷√2=9
D√24×√﹙3/2﹚=6
8下列运算正确的是()
A√﹙-4/-16﹚=√-4/√-16
B√﹙-3﹚²=﹙√-3﹚²=-3
C√﹙-3﹚²×25=√﹙-3﹚²×√25=-15
D3X²-1=﹙√3﹚²X¹-1=﹙√3X+1﹚﹙√3X﹣1﹚
9已知下列六个实数:-π,-√9,
³√8-2,√2-1,﹙√3-1﹚º,√8
1其中无理数是()
2我们可以分别从上面六个实数中先选择一个有理数,再选择一个无理数,然后从加,减,乘,除,乘方这五种运算中选择一种进行运算,使得运算结果是有理数;请你写出两个符合上述条件但运算不同的式子并把运算结果写出来:.
10化简√18-√﹙9/2﹚-﹙√3+√6﹚
/√3+﹙√3-2﹚º+√﹙1-√2﹚²