圆与方程知识点的总结典型例题.docx

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与方程
圆的标准方程:以点C(a,b)为圆心,r为半径的圆的标准方程是(x-a)2+(y一b)2=r2.
特例:圆心在坐标原点,半径为r的圆的方程是:x2+y2=r2.
点与圆的位置关系:
.设点到圆心的距离为d,圆半径为r:
;=r;>r
.给定点M(x0,y0)及圆C:(x一a)2+(y一b)2=r2.
M在圆C内O(x-a)2+(y一b)2<r2
00
M在圆C上O(x0-a)2+(y0-b)2=r2
M在圆C外O(x-a)2+(y-b)2>r2
00
3)涉及最值:
②
,半径r=D2+E2-4F
2
:X2+y2+Dx+Ey+F=0.
DE
⑴当D2+E2—4F〉0时,方程表示一个圆,其中圆心C--,--\d〉r0直线与圆相离0无交点;
d=r0直线与圆相切0只有一个交点;
d<r0直线与圆相交0有两个交点;弦长|AB|=2"2-d2
2丿
(DE、
⑵当D2+E2—4F=0时,方程表示一个点-一,-一.
I22丿
⑶当-2+E2—4F<0时,方程不表示任何图形.
注:方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示圆的充要条件是:B=0且A=C丰0且
D2+E2—4AF0.
4.
直线与圆的位置关系:
5.
直线Ax+By+C=0与圆(x-a)2+(y-b)2=r2圆心到直线的距离d=血+B"+C
\A2+B2
IAx+By+C=0还可以利用直线方程与圆的方程联立方程组{求解,通过解
Ix2+y2+Dx+Ey+F=0
的个数来判断:
当A>0时,直线与圆有2个交点,,直线与圆相交;
当A=0时,直线与圆只有1个交点,直线与圆相切;
当A<0时,直线与圆没有交点,直线与圆相离;
两圆的位置关系
(1)设两圆C:(X-a)2+(y一b)2=r2与圆C:(x-a)2+(y一b)2=r2,
11112222
圆心距d=\:(a—a)2+(b—b)2
'1212
d>r+ro外离o4条公切线;
12
d=r+ro外切o3条公切线;
12
|r—r|<d<r+ro相交O2条公切线;
1212
④
d=|r—r|o内切o1条公切线;
0<d<|r一rIo内含o无公切线;
12
圆C:x2+y2+Dx+Ey+F=0,
1111
圆C:x2+y2+Dx+Ey+F=0,
2222
则(D一D)x+(E一E)y+(F一F)=0为两相交圆公共弦方程.
121212
补充说明:
①
|
若C与C相切,则表示其中一条公切线方程;
②12
若C与C相离,则表示连心线的中垂线方程.
12
圆系问题
过两圆C:x2+y2+Dx+Ey+F=0和C:x2+y2+Dx+Ey+F=0交点的圆系11112222
程x2+y2+Dx+Ey+F+九Cx2+y2+Dx+Ey+F)=0(九鼻一1)
111222
补充:
上述圆系不包括C2;
②
③;
2)当九=-1时,表示过两圆交点的直线方程(公共弦)
④
⑤过直线Ax+By+C=0与圆x2+y2+Dx+Ey+F二0交点的圆系方程为
x2+y2+Dx+Ey+F+X(Ax+By+C)=0
过一点作圆的切线的方程:
过圆外一点的切线:
k不存在,验证是否成立
k存在,设点斜式方程,用圆心到该直线距离=半径,即
》
y1-yo=k(x1-%)
<R|b-y厂k(a-x
R=i
、VR2+1
求解k,得到切线方程【一定两解】
(1,—2)点作圆(x+1)2+(y—2)2=4的切线,则切线方程为。
过圆上一点的切线方程:圆(x—a)2+(y一切2=门,圆上一点为(x0,y0),则过此点的切线方程为(x0—a)(x一a)+(y0一b)(y一b)=r
特别地,过圆x2+y2=r2上一点P(xo,yo)的切线方程为xox+yoy=r2.
例2•经过点P(—4,—8)点作圆(x+7)2+(y+8)2=9的切线,则切线方程为。

⑴过。C:(x—a)2+(y—b)2=r2外一点P(x,y)作0C的两条切线,切点分别为A、B,
00
则切点弦AB所在直线方程为:(x-a)(x-a)+(y-b)(y-b)=r2
00
:
若圆的方程为(Xa)2(yb)2=r2,则过圆外一点P(x0ly0)的切线长为
d=才(x—a)2+(y—b)2—r2•
*
圆心的三个重要几何性质:
圆心在过切点且与切线垂直的直线上;
圆心在某一条弦的中垂线上;
两圆内切或外切时,切点与两圆圆心三点共线。
#
两个圆相交的公共弦长及公共弦所在的直线方程的求法
:X2+y2—2x=0和圆C2:X2+y2+4y=0,试判断圆和位置关系,
若相交,则设其交点为A、B,试求出它们的公共弦AB的方程及公共弦长。
】
一、求圆的方程
例i(06重庆卷文)以点(2,—1)为圆心且与直线3x―4y+5=0相切的圆的方程为()
(A)(x—2)2+(y+1)2=3(B)(x+2)2+(y—1)2=3
(C)(x—2)2+(y+1)2二9(D)(x+2)2+(y—1)2二9
二、位置关系问题
(
例2(06安徽卷文)直线x+y=1与圆x2+y2—2ay二°(a>°)没有公共点,则a的取值范围是()
(A)(°,迈—1)⑻(迈—1,"+1)
(C)(-迈-1八2+1)(D)(0,迈+1)
三、切线问题
例3(06重庆卷理)过坐标原点且与圆x2+y2—4x+2y+-=0相切的直线方程为()
1
x
3
(C)y=-3x或y=-3x
(A)y=-3x或y=
⑻y=3x或y=-
(D)y=3x或y=
/
四、弦长问题
例4(06天津卷理)设直线ax一y+3=0与圆(x一1)-+(y一2)2二4相交于A、B两点,且弦
AB的长为2亡3,则a二
五、夹角问题
例5(06全国卷一文)从圆x2一2x+y2一2y+1=0外一点P(3,2)向这个圆作两条切线,则两切线夹角的余弦值为()
@
133
(A)2(B)5(C)丁(D)0
六、圆心角问题
例6(06全国卷二)过点(1人2)的直线1将圆(x―2)2+y2二4分成两段弧,当劣弧所对的圆心角最小时,直线1的斜率k=
七、最值问题
?
例7(06湖南卷文)圆x2+y2―4x―4y―10二0上的点到直线x+y―14=0的最大距离与最小距离的差是()
(A)30(B)18(C)6y2(D)5/2
八、综合问题
(2)
|
例8(06湖南卷理)若圆x2+y2一4x一4y一10二0上至少有三个不同的点到直线
1:ax+b=0的距离为2J5,则直线1的斜率k取值范围
圆的方程
1•方程X2+y2—2(t+3)x+2(1—4t2)y+16t4+9=0(t^R)表示圆方程,贝址的取值范围是
11
A.
—i<t<7
B.—1<t<C.—<t<1
<t<<t<1
<t<2
,圆心在直线x—3y=0上,且直线尸x截圆所得弦长为2铝,求此圆的方程.
3•方程X2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2—4F>0)表示的曲线关于x+y=0成轴对称图形,则()
+E=0B.+F=0+F=+E+F=0
4.(2004年全面内,与点A(1,2)距离为1,且与点B(3,1)距离为2的直线共有()
条条条条
5.?
6.(2005年黄冈市调研题)圆x2+y2+x—6y+3=0上两点P、Q关于直线kx—y+4=0对称,则
6.
k=.
(2004年全国卷III,16)设P为圆x2+y2=1上的动点,则点P到直线3x—4y—10=0的距离的最小值
为.
y
已知实数x、y满足方程x2+y2—4x+1=(1)的最大值和最小值;(2)y—x的最小值;
xx2+y2的最大值和最小值.
经过两已知圆的交点的圆系
例1.
例2求经过两已知圆:x2+y2一4x一6=0和x2+y2一4y一6=0的交点且圆心的横坐标为3
(2)
|
的圆的方程。
|
:
(九+4)x2+(九+4)y2+(2九+4)x+(12九+40)y-48九一164二0其中九工_4
求证:不论九为何值,所给圆必经过两个定点。
直线与圆的位置关系
例1:求由下列条件所决定圆x2+y2二4的圆的切线方程;
(
经过点HJ3'1),⑵经过点Q(3'0),⑶斜率为一1
直线和圆
(
—3,3)发出的光线L射到x轴上,被x轴反射,其反射线所在直线与圆
x2+y2一4x一4y+7二0相切,求光线L所在直线方程.
+y=0上,且过两圆x2+y2_2x+10y_24二0
x2+y2+(2002北京文,16)圆X2+旳一2x—2y+1=0上的动点Q到直线3x+4y+8=0距离的最小值为
弦长
【例题】已知直线I:x+2y-2=0与圆C:X2+y2=2相交于A、B两点,求弦长AB.
x+2y_8=0交点的圆的方程.
|