二次函数基础知识点总结.doc

该【二次函数基础知识点总结 】是由【莫比乌斯】上传分享，文档一共【9】页，该文档可以免费在线阅读，需要了解更多关于【二次函数基础知识点总结 】的内容，可以使用淘豆网的站内搜索功能，选择自己适合的文档，以下文字是截取该文章内的部分文字，如需要获得完整电子版，请下载此文档到您的设备，方便您编辑和打印。课题
二次函数
教学目标
重点
难点
一、全面理解二次函数的定义
(1)二次函数有四种表达形式
①二次一项式型:形如y=ax2(a是常数,且a≠0),x取任意实数。
②二次二项式型:形如y=ax2+bx(a是常数,且a≠0,b是常数,b≠0),x取任意实数。
③二次二项式型:形如y=ax2+c(a是常数,且a≠0,c是常数,c≠0),x取任意实数。
④二次三项式型:形如y=ax2+bx+c(a是常数,且a≠0,b是常数,b≠0,c是常数,c≠0),x取任意实数。
(2)不论是哪一种表示形式,都必须规定a≠0,否则,就没有了二次项,二次函数就没有意义了。
(3)二次函数解析式的三种形式
(1)一般式:
(a,b,c为常数,a≠0)
(2)顶点式:
(a≠0)
(3)交点式:
(a≠0)
说明:
当已知抛物线上任意三点或三组x,y的对应值时时,通常设函数解析式为一般式。
当已知抛物线顶点坐标或对称轴,函数最值等及第三点时,设二次函数,求解。
已知抛物线与x轴的交点或交点的横坐标时,通常设为交点式
作业
二、掌握二次函数的图像和性质
①y=ax2(a是常数,且a≠0)的图像和性质
②y=ax2+bx(a是常数,且a≠0,b是常数,b≠0)的图像和性质
③y=ax2+c(a是常数,且a≠0,c是常数,c≠0)的图像和性质
④y=ax2+bx+c(a是常数,且a≠0,b是常数,b≠0,c是常数,c≠0)的性质
a>0时,开口向上;a<0时,开口向下
顶点坐标是(-,),对称轴是直线x=-。
当a>0时,函数有最小值,y=;a<0时,函数有最大值,y=;
性质,
当a>0时,在对称轴的左边,y随x的增大而减小,在对称轴的右边,y随x的增大而增大;
当a<0时,在对称轴的左边,y随x的增大而增大,在对称轴的右边,y随x的增大而减小.
三、会结合图像确定y=+bx+c(a是常数,且a≠0,b是常数,b≠0,c是常数,c≠0)的四种符号
a的符号:
看抛物线的开口方向:
开口向上,a>0;开口向下a<0;
b的符号:
有对称轴的位置和的a符号确定:
对称轴是y轴,b=0;
对称轴在原点的左侧:,
对称轴在原点的右侧,;
c的符号:
看抛物线与y轴交点的位置:
交点在原点,c=0;
交点在原点以上,c>o;
交点在原点以下,c<0。
b2-4ac的符号:
看抛物线与x轴交点的个数:
抛物线与x轴有两个交点b2-4ac>0;
抛物线与x轴有一个交点b2-4ac=0,
抛物线与x轴没有交点b2-4ac<0,
四、掌握确定二次函数关系式的基本条件
确定二次函数的关系式,要具备的基本条件是:
对于表达式是y=ax2(a≠0)的,要确定出待定字母a的值的基本条件是:
知道图像上一个点的坐标。
对于表达式是y=ax2+bx(a≠0)的,要确定出待定字母a、b的值的基本条件是:
知道图像上两个点的坐标。
对于表达式是y=ax2+c(a≠0)的,要确定出待定字母a、c的值的基本条件是:
知道图像上两个点的坐标。
对于表达式是y=a(x-h)2(a≠0)的,要确定出待定字母a、h的值的基本条件是:
知道图像上两个点的坐标。
对于表达式是y=a(x-h)2+k(a≠0)的,要确定出待定字母a、h、k的值的基本条件是:
知道图像上三个点的坐标。
特殊条件:知道抛物线的顶点和图像上的一个点的坐标
对于表达式是y=ax2+bx+c(a≠0)中,要确定出待定字母a、b、c的值的基本条件是:
知道图像上三个点的坐标。
这是最基本的理解。
五、确定二次函数关系式的基本题型
:y=ax2(a≠0)
例1、有一座抛物线形拱桥,正常水位时,AB宽为20米,水位上升3米就达到警戒水位线CD,这时水面的宽度为10米。请你在如图1所示的平面直角坐标系中,求出二次函数的解析式。
解:根据图象,知道抛物线的对称轴是y轴,顶点坐标为原点,
所以,不妨设二次函数的解析式:y=ax2(a≠0),
因为,AB=20,所以,FA=FB=10,
因为,CD=10,所以,EC=ED=5
所以,点A的坐标为(-10,),点C的坐标为(-5,),
所以,
=a×(-5)2=25a,
=a×(-10)2=100a,
因为,EF=3,所以,-=3,
所以,25a-100a=3,
解得:a=-,所以,所求函数的解析式:y=-x2。
小结:
当知道抛物线的顶点坐标为原点,且对称轴是y轴时,要求二次函数的解析式,通常的解题思路如下:
①设二次函数的解析式为:y=ax2(a≠0)
②把已知点的坐标代入所设的解析式中,转化成关于a的一元一次方程;
③解方程,求得a值;
④把a的值代入所设的解析式中,得二次函数的解析式。
:y=ax2+bx(a≠0)
例2、(2008年巴中市)王强在一次高尔夫球的练习中,在某处击球,其飞行路线满足抛物线,其中(m)是球的飞行高度,(m)是球飞出的水平距离,结果球离球洞的水平距离还有2m,如图2所示。
(1)请写出抛物线的开口方向、顶点坐标、对称轴.
(2)请求出球飞行的最大水平距离.
(3)若王强再一次从此处击球,要想让球飞行的最大高度不变且球刚好进洞,则球飞行路线应满足怎样的抛物线,求出其解析式.
解:
(1)
所以,抛物线的开口向下,顶点为,对称轴为直线。
(2)令,得:
,
解得:,,
所以,球飞行的最大水平距离是8m.
(3)要让球刚好进洞而飞行最大高度不变,则球飞行的最大水平距离为10m
所以,抛物线的对称轴为,顶点为(5,),
设此时对应的抛物线解析式为:y=ax2+bx(a≠0),
因为,抛物线经过点(10,0),
所以,100a+10b=0,即10a+b=0,
因为,抛物线经过点(5,),
所以,25a+5b=,即5a+b=,
解得:,b=,
所以,二次函数的解析式是:。
小结:当知道抛物线经过原点,且抛物线与x轴相交,要求二次函数的解析式,通常的解题思路如下:
①设二次函数的解析式为:y=ax2+bx(a≠0)
②把点的坐标代入所设的解析式中,转化成关于a、b的二元一次方程组;
③解方程组,求得a、b值;④把a、b的值代入所设的解析式中,得二次函数的解析式。
:y=ax2+c(a≠0)
例3、桂林红桥位于桃花江上,是桂林两江四湖的一道亮丽的风景线,该桥的部分横截面如图3所示,上方可看作是一个经过A、C、B三点的抛物线,以桥面的水平线为X轴,经过抛物线的顶点C与X轴垂直的直线为Y轴,建立直角坐标系,已知此桥垂直于桥面的相邻两柱之间距离为2米(图中用线段AD、CO、BE等表示桥柱)CO=1米,FG=2米
(1)求经过A、B、C三点的抛物线的解析式。
(2)求柱子AD的高度。
解:
因为,抛物线的对称轴是y轴,
所以,设二次函数解析式为:y=ax2+c(a≠0),
因为,二次函数图象过点C(0,1),
所以,c=1,
因为,此桥垂直于桥面的相邻两柱之间距离为2米(图中用线段AD、CO、BE等表示桥柱),且FG=2米,
所以,点F的坐标是(-4,2),
所以,16a+1=2,
解得:a=,
所以,二次函数的关系式是:y=x2+1;
(2),因为,OD=8米,
设点A的坐标是(-8,y),
所以,y=×(-8)2+1=5,
因此,柱子AD的高为5米。
小结:
当知道抛物线的顶点在y轴上,和抛物线上的一个点A(x1,y1)时,
要求二次函数的解析式,通常的解题思路如下:
①设二次函数的解析式为:y=ax2+c(a≠0)
②把点的坐标代入所设的解析式中,转化成关于a,c的二元一次方程组;
③解方程组,求得a、c值;
④把a、c的值代入所设的解析式中,得二次函数的解析式。
:y=a(x-h)2(a≠0)
例4、在直角坐标平面内,二次函数图象的顶点为A(1,0),且过点B(3,4).
求该二次函数的解析式。
解:设二次函数解析式为:y=a(x-1)2,
因为,二次函数图象过点B(3,4),
所以,4a=4,
解得:a=1,所以,二次函数解析式为:y=(x-1)2,即y=x2-2x+1。
小结:
当知道抛物线的顶点坐标:M(h,0)和抛物线上的一个点A(x1,y1)时,
要求二次函数的解析式,通常的解题思路如下:
①设二次函数的解析式为:y=a(x-h)2a≠0)
②把点A的坐标代入所设的解析式中,转化成关于a的一元一次方程;
③解方程,求得a值;
④把a的值代入所设的解析式中,得二次函数的解析式。
:y=a(x-h)2+k(a≠0)
例5、在直角坐标平面内,二次函数图象的顶点为A(1,-4),且过点B(3,0).
求该二次函数的解析式。
解:设二次函数解析式为:y=a(x-1)2-4,
因为,二次函数图象过点B(3,0),
所以,4a-4=0,
解得:a=1,所以,二次函数解析式为:y=(x-1)2-4,,即y=x2-2x-3。
六、掌握求抛物线y=ax2+bx+c(a是常数,且a≠0,)顶点坐标的两种方法
1、配方法求顶点坐标
基本步骤是:
①把二次项的系数化成1,各系数提取a,得:
y=a(,
②在括号里现加上一次项系数一半的平方,接着再减去一次项系数一半的平方,得:
y=a(=a【】,
③配方,并整理,得:
y=a(=a【】,
=a【】,
④去掉括号,得:
y=a(=a【】,
=a【】,
=a
⑤写出函数的坐标:
所以,抛物线的顶点坐标是:(-,)。
2、公式法求顶点坐标
y=ax2+bx+c(a是常数,且a≠0,)的顶点坐标是(-,),在求顶点坐标时,同学们就可以熟记这个式子,把它作为求函数顶点坐标的一个公式来用。
用的基本步骤是:
①根据y=ax2+bx+c(a是常数,且a≠0),确定a、b、c的值,
②代入x=-中,求顶点坐标的横坐标,
③代入x=中,求顶点坐标的纵坐标,
④横坐标,纵坐标合起来,写出顶点的坐标。
七、熟练应用待定系数法求二次函数的解析式
求二次函数的解析式,主要有三种方式,同学们要熟练掌握其条件特点和选择的求解模式。
设解析式是一般式
条件特点:已知抛物线上任意的三个点的坐标,求解析式
当知道抛物线上一般的三个点的坐标:A(x1,y1)、B(x2,y2)、C(x3,y3)时,
要求二次函数的解析式,通常的解题思路如下:
①设二次函数的一般形式:y=ax2+bx+c(a≠0)
②把点A、B、C的坐标分别代入所设的解析式中,转化成关于a、b、c的三元一次方程组;
③解方程组,求得a、b、c的值;
④把a、b、c的值分别代入所设的解析式中,得二次函数的解析式。
设解析式是顶点式
条件特点:已知抛物线的顶点坐标,和某一个点的坐标,求解析式
当知道抛物线的顶点坐标:M(h,k)和抛物线上的一个点A(x1,y1)时,
要求二次函数的解析式,通常的解题思路如下:
①设二次函数的解析式为:y=a(x-h)2+k(a≠0)
②把点C的坐标代入所设的解析式中,转化成关于a的一元一次方程;
③解方程,求得a值;
④把a的值代入所设的解析式中,得二次函数的解析式。
(3)设解析式是交点式
条件特点:已知抛物线与x轴的交点坐标,和某一个点的坐标,求解析式
当抛物线与x轴的交点坐标:A(x1,0)、B(x2,0)、C(x3,y3)时,
要求二次函数的解析式,通常的解题思路如下:
①设二次函数的解析式为:y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0)
②把点C的坐标代入所设的解析式中,转化成关于a的一元一次方程;
③解方程,求得a值;
④把a的值代入所设的解析式中,得二次函数的解析式。