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等比数列的性质
若数列{an}是公比为q的等比数列,则
当q>1,a1>0或0<q<1,a1<0时, {an}是递增数列;
当q>1, a1<0,或0<q<1,a1>0时, {an}是递减数列;
当q=1时, {an}是常数列;
当q<0时, {an}是摆动数列;
(2)an≠0,且anan+2>0
(3)an=amqn-m(n,m∈N*).
(4)当n+m=p+q(n,m,p,q∈N*)时,有anam=apaq,
(5)当{an}是有穷数列时,与首末两项等距离的两项
的积都相等,且等于首末两项的积
(7)若{bn}是公比为q′的等比数列,则数列{an• bn }是公比为qq′的等比数列.
(6)数列{λan}(λ为不等于零的常数)仍是公比为q的
等比数列.
(8)数列
是公比为
的等比数列.
(9)在{an}中,每隔k(k∈N*)项取出一项,按原来顺序
排列,所得的新数列仍为等比数列,且公比为qk+1.
(10)若m、n、p(m、n、p∈N*)成等差数列时,
am , an , a p 成等比数列。
例1:1、在等比数列
,已知
,
,求
。
解:∵
∴
2、在等比数列
中,
,求该数列前七项之积。
∴前七项之积
解:
3、在等比数列
中,
,求
另解:∵
是
与
的等比中项,
1、定义法,2、中项法,3、通项公式法
三、判断一个数列是否成GP的方法:
求证:(1)这个数列成GP
(2)这个数列中的任一项是它后面第五项的
(3)这个数列的任意两项的积仍在这个数列中。
例2:已知无穷数列
证:(1)
(常数)
∴该数列成GP。
(3)这个数列的任意两项的积仍在这个数列中。
例3:设
均为非零实数,
求证:
成GP且公比为 d
证:关于
的二次方程
有实根,
∴a, b, c成GP 设公比为q
则必有: