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第一部分 图形与几何
一、观察物体
1、从不同的位置(或同一位置)观察物体,看到的形状可能相同也可能不同;从同一位置观察长方体或正方体时不能看到所有的面,最多只能看到三个面,最少看到一个面。
2、正面、侧面(左面,右面)、后面都是相对的,它是随着观察角度的变化而变化。通过观察、想象、猜测,培养空间想象力和思维能力,能正确辨认从正面、侧面、上面观察到的简单物体的形状。
3、观察物体,从实物观察到对立体图形的观察有一个体验、认识、提高的过程,多观察物体,多画观察到的图形,自己制作立体图形,有意识的训练想象能力,逐渐就会观察立体图形了。
4、观察物体,先要确定观察的位置(方向)(常选择上面、正面、左侧面、右侧面),再确定观察的形状,并把它画下来,在平面图形画上斜线。
5、根据各个位置看到的平面图形推算共有几个小正方体方法:从正面看数层数,从下往上数;从上面看数列数,从左往右数;从左面看数排数,前排在右后排在左,从右往左数。
6、至少用8个正方体可拼成较大的正方体,27个64个125个。。。都可拼成较大正方体。
二、图形的运动
图形变换的基本方式是对称、平移和旋转。
对称点是关于一条直线对称的点(对称点一般用于轴对称),对应点是一个图形经变换后的图形与变换前的图形位置相同的点(对应点一般用于平移和旋转)
(一)图形的平移
1、平移不改变图形的大小和形状。
2、平移的三要素:原图形的位置、平移的方向、平移的距离。平移的方向一般为:水平方向、垂直方向两种。平移的距离:一般为几个单位长度(也即几个方格)
3、平移是整个图形的移动,图形的每个关键点都需要按要求移动。
4、把图形平移的步骤:
(1)确定原图形位置、平移的方向、平移的距离。
(2)找出原图形的各关键点。
(3)根据题目要求将各个点依次平移。
(4)顺次连接平移后的各点,标明各点名称。
(二)轴对称:如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合,这样的图形叫做轴对称图形,这条直线叫做对称轴。
(1)学过的轴对称平面图形有:圆形、长方形、正方形、圆形、等腰三角形、等边三角形、等腰梯形……
等腰三角形有1条对称轴,等边三角形有3条对称轴,长方形有2条对称轴,正方形有4条对称轴,等腰梯形有1条对称轴,圆有无数条对称轴。任意梯形和平行四边形不是轴对称图形。
(2)对称点到对称轴的距离相等。
(3)轴对称图形的特征和性质:①对称点到对称轴的距离相等;②对称点的连线与对称轴垂直;③对称轴两边的图形大小、形状完全相同,方向相反。
(4)对称图形包括轴对称图形和中心对称图形。平行四边形(除棱形)属于中心对称图形。
2、旋转:物体或图形围绕一个定点沿着一个方向转动一定的角度的现象叫做旋转。如风扇的叶片旋转。定点O叫做旋转中心,旋转的角度叫做旋转角,原图形上的一点旋转后成为的另一点成为对应点。
(1)生活中的旋转:电风扇、车轮、纸风车
(2)旋转三要素:
①旋转中心,固定不变;②旋转方向有顺时针、逆时针;③旋转角度有:常见的有30°、45°、60°90°、180°、270°。
(3)长方形绕中心点旋转180度与原来重合,正方形绕中心点旋转90度与原来重合。等边三角形绕中点旋转120度与原来重合。
(4)旋转的性质:
①图形的旋转是图形上的每一点在平面上绕某个固定点旋转固定角度的位置移动;②其中对应点到旋转中心的距离相等;旋转前后图形的大小和形状没有改变,位置和方向发生改变,旋转中心是唯一不动的点,③两组对应点分别与旋转中心的连线所成的角度相等,都等于旋转角;
(5)怎样画图形旋转的形状:(1)先观察原图形的形状特征找准关键点,(2)找准旋转中心、旋转方向、旋转角度;
(3)使用直角三角板的顶点与旋转中心重合,则该图形旋转后的形状就在三角板另一条边上;
(4)确定各对应点的长度,用虚线标出来;(5)将每个对应点连接并标出名称。
三、长方体和正方体
1、由6个长方形(特殊情况有两个相对的面是正方形)围成的立体图形叫做长方体。两个面相交的边叫做棱。三条棱相交的点叫做顶点。相交于一个顶点的三条棱的长度分别叫做长方体的长、宽、高。(长宽高是相对而言的,随观察角度而定)
长方体特点:
(1)长方体有6个面,8个顶点,12条棱,相对的面完全相同,相对的面面积相等,相对的棱长度相等。
(2)一个长方体最多有6个面是长方形,最少有4个面是长方形,最多有2个面是正方形。
2、由6个完全相同的正方形围成的立体图形叫做正方体(也叫做立方体)。
正方体特点:(1)正方体有12条棱,它们的长度都相等。(2)正方体有6个面,每个面都是正方形,每个面的面积都相等。(3)正方体可以看做长、宽、高都相等的长方体,它是一种特殊的长方体。
长方体与正方体的异同:
相同点 不同点
面 棱
长方体 都有6个面,
12条棱,
8个顶点。 6个面都是长方形。
(有可能有两个相对的面是正方形)。 相对的棱的长度都相等
正方体 6个面都是正方形。 12条棱都相等。
【知识点4】
经过折叠可以组合成长方体:
经过折叠可以组合成正方体:
3、长方体、正方体有关棱长计算公式:
长方体的棱长总和=(长+宽+高)×4=长×4+宽×4+高×4 L=(a+b+h)×4
长=棱长总和÷4-宽-高 a=L÷4-b-h
宽=棱长总和÷4-长-高 b=L÷4-a-h
高=棱长总和÷4-长-宽 h=L÷4-a-b
正方体的棱长总和=棱长×12 L=a×12
正方体的棱长=棱长总和÷12 a=L÷12
4、长方体或正方体6个面的总面积叫做它的表面积。
长方体的表面积=(长×宽+长×高+宽×高)×2 S=2(ab+ah+bh)
无底(或无盖)长方体表面积=长×宽+(长×高+宽×高)×2
S=2(ab+ah+bh)-ab 或 S=2ah+2bh+ab
无底又无盖长方体表面积=(长×高+宽×高)×2 S=2(ah+bh)【贴墙纸】
正方体的表面积=棱长×棱长×6 S=a×a×6 用字母表示:S=6a2
【生活实际】油箱、罐头盒等都是6个面,游泳池、鱼缸等都只有5个面水管、烟囱等都只有4个面。
【注意】用刀分开物体时,每分一次增加两个面。(表面积相应增加)
【注意】长方体或正方体的长、宽、高同时扩大几倍,表面积会扩大倍数的平方倍。
(如长、宽、高各扩大2倍,表面积就会扩大到原来的4倍)。
5、物体所占空间的大小叫做物体的体积。
长方体的体积=长×宽×高 V=abh
长=体积÷宽÷高 a=V÷b÷h
宽=体积÷长÷高 b=V÷a÷h
高=体积÷长÷宽 h=V÷a÷b
正方体的体积=棱长×棱长×棱长
V=a×a×a=a3读作“a的立方”表示3个a相乘,(即a•a•a)
长方体或正方体底面的面积叫做底面积(占地面积)。
长方体(或正方体)的体积=底面积×高 用字母表示:V=Sh
(换个角度看,横截面积相当于底面积,长相当于高)。
【注意】一个长方体和一个正方体的棱长总和相等,但体积不一定相等。
6、箱子、油桶、仓库等所能容纳物体的体积,通常叫做他们的容积。
计量容积一般就用体积单位。计量液体的体积,如水、油等,常用容积单位升和毫升,也可以写成L和mL。
1升=1立方分米 1毫升=1立方厘米 1升=1000毫升
(1L=1dm3 1mL=1cm3 1L=1000mL)
长方体或正方体容器容积的计算方法,跟体积的计算方法相同。但要从容器里面量长、宽、高。(所以,对于同一个物体,体积大于容积。)
【注意】长方体或正方体的长、宽、高同时扩大几倍,体积就会扩大倍数的立方倍。
(如长、宽、高各扩大2倍,体积就会扩大到原来的8倍)。
*形状不规则的物体可以用排水法求体积,形状规则的物体可以用公式直接求体积。
排水法的公式:V物体=V现在-V原来
也可以 V物体=S×(h现在-h原来)
V物体=S×h升高
【注意】1㎝、1cm2、1cm3它们是三个不同的计量单位,所以不能进行比较。
8、【体积单位换算】 大单位 小单位
小单位 大单位
进率: 1立方米=1000立方分米=1000000立方厘米 (立方相邻单位进率1000)
1立方分米=1000立方厘米=1升=1000毫升
1立方厘米=1毫升
1平方米=100平方分米=10000平方厘米
1平方千米=100公顷=1000000平方米
【注意】长方体与正方体关系
把长方体或正方体截成若干个小长方体(或正方体)后,表面积增加了,体积不变。
质量单位进率,时间单位进率,长度单位进率
【单位换算】 大单位 小单位
小单位 大单位
长度单位:1千米=1000米 1分米=10厘米 1厘米=10毫米 1分米=100毫米
1米=10分米=100厘米=1000毫米 (相邻单位进率10)
面积单位:1平方千米=100公顷 1平方米=100平方分米
1平方分米=100平方厘米 1公顷=10000平方米 (平方相邻单位进率100)
质量单位:1吨=1000千克 1千克=1000克
人民币:1元=10角 1角=10分 1元=100分
时分秒:1天=24时 1时=60分 1分=60秒
第二部分数与代数
一、因数和倍数
1、整除:被除数、除数和商都是自然数,并且没有余数。
整数与自然数的关系:整数包括自然数和负数。
2、因数、倍数:大数能被小数整除时,大数是小数的倍数,小数是大数的因数。
例:12是6的倍数,6是12的因数。
(1)数a能被b整除,那么a就是b的倍数,b就是a的因数。因数和倍数是相互依存的,不能单独存在。
(2)一个数的因数的个数是有限的,其中最小的因数是1,最大的因数是它本身。
一个数的因数的求法:成对地按顺序找。
(3)一个数的倍数的个数是无限的,最小的倍数是它本身。
一个数的倍数的求法:依次乘以自然数。一个数的最小倍数和最大因数是它本身。
(4)2、3、5的倍数特征
1)个位上是0,2,4,6,8的数都是2的倍数。
2)一个数各位上的数的和是3的倍数,这个数就是3的倍数。
3)个位上是0或5的数,是5的倍数。
4)能同时被2、3、5整除(也就是2、3、5的倍数)的最小两位数是30,最大的两位数是90,最小的三位数是120。
同时满足2、3、5的倍数,实际是求2×3×5=30的倍数。
5)如果一个数同时是2和5的倍数,那它的个位上的数字一定是0。
3、完全数:除了它本身以外所有的因数的和等于它本身的数叫做完全数。
如:6的因数有:1、2、3(6除外),刚好1+2+3=6,所以6是完全数,小的完全数有6、28。
4:自然数按能不能被2整除来分:分为奇数、偶数。
奇数:不能被2整除的数。叫奇数。也就是个位上是1、3、5、7、9的数。
偶数:能被2整除的数叫偶数(0也是偶数),也就是个位上是0、2、4、6、8的数。
最小的奇数是1,最小的偶数是0.
关系:奇数+、-偶数=奇数 奇数+、-奇数=偶数 偶数+、-偶数=偶数。
5、自然数按因数的个数来分:质数、合数、1、0四类.
质数(或素数):只有1和它本身两个因数。
合数:除了1和它本身还有别的因数(至少有三个因数:1、它本身、别的因数)。
1:只有1个因数。“1”既不是质数,也不是合数。
0:
最小的质数是2,最小的合数是4,连续的两个质数是2、3。
每个合数都可以由几个质数相乘得到,质数相乘一定得合数。
20以内的质数:有8个(2、3、5、7、11、13、17、19)
100以内的质数有25个:2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、
43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97
100以内找质数、合数的技巧:
看是否是2、3、5、7、11、13…的倍数,是的就是合数,不是的就是质数。
关系:奇数×奇数=奇数 质数×质数=合数
6、最大、最小
A的最小因数是1;A的最大因数是A;A的最小倍数是A;最小的奇数是1;最小的偶数是0;最小的质数是2;最小的自然数是0;最小的合数是4;
7、分解质因数:把一个合数分解成多个质数相乘的形式。
用短除法分解质因数(一个合数写成几个质数相乘的形式)。
比如:30分解质因数是:(30=2×3×5)
8、互质数:公因数只有1的两个数,叫做互质数。
两个质数的互质数:5和7;两个合数的互质数:8和9;一质一合的互质数:7和8;
两数互质的特殊情况:⑴1和任何自然数互质;⑵相邻两个自然数互质;⑶两个质数一定互质;⑷2和所有奇数互质; ⑸质数与比它小的合数互质;
9、公因数、最大公因数
几个数公有的因数叫这些数的公因数。其中最大的那个就叫它们的最大公因数。
用短除法求两个数或三个数的最大公因数 (除到互质为止,把所有的除数连乘起来)
几个数的公因数只有1,就说这几个数互质。
如果两数是倍数关系时,那么较小的数就是它们的最大公因数。
如果两数互质时,那么1就是它们的最大公因数。
10、公倍数、最小公倍数
几个数公有的倍数叫这些数的公倍数。其中最小的那个就叫它们的最小公倍数。
用短除法求两个数的最小公倍数(除到互质为止,把所有的除数和商连乘起来)
用短除法求三个数的最小公倍数(除到两两互质为止,把所有的除数和商连乘起来)
如果两数是倍数关系时,那么较大的数就是它们的最小公倍数。
如果两数互质时,那么它们的积就是它们的最小公倍数。
几个数的公倍数是最小公倍数的倍数。
11、求最大公因数和最小公倍数方法
用12和16来举例
1、 求法一:(列举求同法)
最大公因数的求法:
12的因数有:1、12、2、6、3、4
16的因数有:1、16、2、8、4
最大公因数是4
最小公倍数的求法:
12的倍数有:12、24、36、48、…
16的倍数有:16、32、48、…
最小公倍数是48
2、求法二:(分解质因数法)
12=2×2×3
16=2×2×2×2
最大公因数是:2×2=4 (相同乘一次)
最小公倍数是:2×2 ×3×2×2=48(相同乘一次×不同分别乘)
3、求法三:短除法
用短除法求下列各组数的最大公因数。①12和18 ②34和102 ③12、24和36
想:用短除法求两个数的最大公因数,一般用这两个数除以它们的公因数,一直除到所得的两个商只有公因数1为止,再把所有的除数连乘起来,所得积就是这两个数的最大公因数。最小公倍数就是所有公因数连乘再乘最后的商。
二、分数的意义和性质
1、分数的意义:一个物体、一个计量单位或一些物体等都可以看作一个整体。一个个整体平均分成若干份,表示这样的一份或几份的数叫做分数。
2、单位“1”:一个整体可以用自然数1来表示,通常把它叫做单位“1”。
3、分数单位:把单位“1”平均分成若干份,表示其中一份的数叫做分数单位。如的分数单位是。最大的分数单位是,没有最小的分数单位。
4、分数与除法
被除数÷除数=,用字母表示A÷B=(B≠0,除数不能为0,分母也不能够为0)例如:4÷5=
5、真分数和假分数、带分数
1、真分数:分子比分母小的分数叫真分数。真分数<1。
2、假分数:分子比分母大或分子和分母相等的分数叫假分数。假分数≧1
3、带分数:带分数由整数和真分数组成的分数。带分数>1.
4、真分数<1≤假分数 真分数<1<带分数
6、假分数与整数、带分数的互化
(1)假分数化为整数或带分数,用分子÷分母,商作为整数,余数作为分子,如:
=10÷5=2 =21÷5=4
(2)整数化为假分数,用整数乘分母得分子如:
2= 2×4=8(8作分子)
(3)带分数化为假分数,用整数乘分母加分子,得数就是假分数的分子,分母不变,如:
5= 5×5+1=26
(4)1等于任何分子和分母相同的分数。如:1=====…==…
【注意】分数未带单位表示两个量之间的倍数关系;分数带有单位表示一个具体的数量。
7、分数的基本性质:
分数的分子和分母同时乘或除以相同的数(0除外),分数的大小不变。
8、最简分数:分数的分子和分母只有公因数1,像这样的分数叫做最简分数。
一个最简分数,如果分母中除了2和5以外,不含其他的质因数,就能够化成有限小数。反之则不可以。
9、约分:把一个分数化成和它相等,但分子和分母都比较小的分数,叫做约分。
如:=
10、通分:把异分母分数分别化成和原来相等的同分母分数,叫做通分。如:
和 可以化成和
11、分数和小数的互化
(1)小数化为分数:数小数位数。一位小数,分母是10;两位小数,分母是100……
如:= = =
(2)分数化为小数:
方法一:把分数化为分母是10、100、1000……如:= == ==
方法二:用分子÷分母,除不尽的按要求取近似数。如:=3÷4=
(3)带分数化为小数:
先把整数后的分数化为小数,再加上整数。如:2=2+=
12、比分数的大小: 分母相同,分子大的大,分子小的小;
分子相同,分母小的大,分母大的小。
分数比较大小的一般方法:同分子比较;通分后比较;化成小数比较。
13、分数化简包括两步:一是约分;二是把假分数化成整数或带分数。
= = = = = = =
= = = = = =。
14、两个数互质的特殊判断方法:
①1和任何大于1的自然数互质。②2和任何奇数都是互质数。
③相邻的两个自然数是互质数。④相邻的两个奇数互质。
⑤不相同的两个质数互质。⑥当一个数是合数,另一个数是质数时(除了合数是质数的倍数情况下),一般情况下这两个数也都是互质数。
15、求最大公因数的方法:
①倍数关系: 最大公因数就是较小数。②互质关系: 最大公因数就是1
③一般关系: 从大到小看较小数的因数是否是较大数的因数。
三、 分数的加法和减法
具体解释如下:
(一)同分母分数加、减法
1、同分母分数加、减法:同分母分数相加、减,分母不变,只把分子相加减。2、计算的结果,能约分的要约成最简分数。
(二)异分母分数加、减法
1、分母不同,也就是分数单位不同,不能直接相加、减。
2、异分母分数的加减法:
异分母分数相加、减,要先通分,再按照同分母分数加减法的方法进行计算。
3、带分数加减法:带分数相加减,整数部分和分数部分分别相加减,再把所得的结果合并起来。
(三)分数加减混合运算
1、分数加减混合运算的运算顺序与整数加减混合运算的顺序相同。
在一个算式中,如果有括号,应先算括号里面的,再算括号外面的;如果只含有同一级运算,应从左到右依次计算。
2、整数加法的交换律、结合律对分数加法同样适用。
a+b=b+a a+b+c=a+(b+c)
3、减法的性质:a-b-c=a-(b+c) a-(b-c)=a-b+c=a+c–b(等式左右可以交换的)
4、、 、 、 、……
、 、 、 、……
5、常见乘法计算(敏感数字):25×4=100 125×8=1000
加法交换律简算例子 加法结合律简算例子 乘法交换律简算例子 乘法结合律简算例子
+23+18 23+14+ ×33×52 23××163
=78+23+18 =23+14+45 =25×33×52 =23×38×163
=78+18+23 =23+(14+45) =25×25×33 =23×(38×163)
=1+23 =123 =23+1=123 =1×3=3 =23×2=46
含加法交换律与结合律 含乘法交换律与结合律 数字换减法式 数字换加法式
+23+18+13 ×297×163×729 35×536 101×910
=78+23+18+13 =38×297×163×729 =(36-1)×536 =(100+1)×910
=78+18+23+13 =38×163×297×729 =36×536-1×536 =100×910+1×910
=(78+18)+(23+13) =(38×163)×(297×729) =5-536 =1+910
=1+1 =2×1
乘法分配律提取式 乘法分配律提取式 乘法分配律(添项) 乘法分配律(添项)
101×-910×1 ÷-÷ 101×-910 52×58+29×58-
=101×910-910×1 =(-)÷ =101×910-910 =52×58+29×58-58
=101×910-1×910 =80÷ =101×910-1×910 =52×58+29×58-1×58
=(101-1)×910 =800÷16 =(101-1)×910 =(52+29-1)×58
=100×910 =100×910 =80×58
减法的性质简算例子 减法的性质简算例子 减法的性质简算例子 数字换乘法式
18-58- 134-716- 1225-(716+) ×125
=18-58-38 =134-716-34 =1225-(716+25) =××125
=18-(58+38) =134-34-716 =1225-25-716 =×(×125)
=18-1=17 =1-716 = =12-716=11 =×100=70
除法的性质简算例子 除法的性质简算例子 除法的性质简算例子 数字换乘法式
3200÷÷ 2700÷÷ 5900÷(×) 33333×33333
=3200÷(×) =2700÷÷ =5900÷÷ =11111×3×33333
=3200÷1 =1000÷ =1000÷ =11111×99999
同级运算中,第一个数不能动,后面的数可以带着符号搬家 =11111×(100000-1)
123+716-23 250÷× 123-716+13 29×÷
=123-23+716 =250×÷ =123+13-716 =29÷×
=1+716 =1716 =100÷=125 =2-716 =1 =100×=25
6、解方程
解方程方法一:运用四则运算各部分之间的关系来解方程
加数+加数=和、和—一个加数=另一个加数、被减数—减数=差、被减数=差+减数、减数=被减数—差
因数×因数=积、一个因数=积÷另一个因数被除数÷除数=商、除数=被除数÷商、被除数=商×除数
解方程方法二:消项(如果消+3,方程两边就同时-3;如果消×3,方程两边就同时÷3)
1:把方程里的“括号”全部去掉,两种去括号的方法任选其一
2:如果两边都有几 ,要先消去其中一边的几
(如果有“-几”,就把“-几”消去,如果没有“-几”,就把较小的消去掉)
3:消去“-几”, 消去“÷”
4:把这边的数字全部消掉,先消“+-” 再消“÷” 最后消“×”
(注意:无论解到哪一步,数字+几 都要写成 几+数字)
解方程方法三:移项(+3移到另一边就变成-3,×3移到另一边就变成÷3)
1:把方程里的“括号”全部去掉,两种去括号的方法任选其一
2:如果两边都有几 ,就把其中一边的几 移到另一边
(如果有“-几”,就把“-几”移到另一边。如果没有“-几”,就把较小的移到另一边)
3:把“-几”移到另一边,把“÷”移到另一边”
4:把这边的数字全部移到另一边,先移“+-” 再移“÷” 最后移“×”
(注意:无论解到哪一步,数字+几 都要写成 几+数字)
第三部分统计与概率
1、众数:一组数据中出现次数最多的一个数或几个数,就是这组数据的众数。
众数能够反映一组数据的集中情况。
在一组数据中,众数可能不止一个,也可能没有众数。
2、中位数:(1)按大小排列;
(2)如果数据的个数是单数,那么最中间的那个数就是中位数;
(3)如果数据的个数是双数,那么最中间的那两个数的平均数就是中位数。
3、平均数的求法:总数÷总份数=平均数
4、一组数据的一般水平:
(1)当一组数据中没有偏大偏小的数,也没有个别数据多次出现,用平均数表示一般水平。
(2)当一组数据中有偏大或偏小的数时,用中位数来表示一般水平。
(3)当一组数据中有个别数据多次出现,就用众数来表示一般水平。
4、平均数、中位数和众数的联系与区别:
①平均数:
一组数据的总和除以这组数据个数所得到的商叫这组数据的平均数。
容易受极端数据的影响,表示一组数据的平均情况。
②中位数:
将一组数据按大小顺序排列,处在最中间位置的一个数叫做这组数据的中位数。
它不受极端数据的影响,表示一组数据的一般情况。
③众数:在一组数据中出现次数最多的数叫做这组数据的众数。它不受极端数据的影响,表示一组数据的集中情况。
5、统计图:我们学过——条形统计图、复式折线统计图。
条形统计图优点:条形统计图能形象地反映出数量的多少。
折线统计图优点:折线统计图不仅能表示出数量的多少,还能比较出数量的增减变化情况。
复式折线统计图不仅能表示出几组数据数量的多少和数量的增减变化,而且可以比较几组数据的变化趋势。
【注意】①画图时注意:一“点”(描点)、 二“连”(连线)三“标”(标数据)。
②要用不同的线段分别连接两组数据中的数。
6、打电话:规律——人人不闲着,每人都在传。(1)逐个法:所需时间最多。
(2)分组法:相对节约时间。(3)同时进行法:最节约时间。
通项公式-1=人数,n为自然数,表示时间
列表法:
时间/分钟 1 2 3 4 5 6
通知人数 1 2~3人 4~7人 8~15人 16~31人 32~63人
第四部分综合与实践
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