初一数学知识点整理.doc

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有理数
重点:数轴相反数绝对值有理数计算
难点:绝对值
:
(1)凡能写成形式的数,、0、负整数统称整数;正分数、负分数统称分数;:0即不是正数,也不是负数;-a不一定是负数,+a也不一定是正数;p不是有理数;
(2)有理数的分类:①②
(3)自然数Û0和正整数;a>0Ûa是正数;a<0Ûa是负数;
a≥0Ûa是正数或0Ûa是非负数;a≤0Ûa是负数或0Ûa是非正数.
:数轴是规定了原点、正方向、单位长度的一条直线.
:
(1)只有符号不同的两个数,我们说其中一个是另一个的相反数;0的相反数还是0;
(2)注意:a-b+c的相反数是-a+b-c;a-b的相反数是b-a;a+b的相反数是-a-b;
(3)相反数的和为0Ûa+b=0Ûa、b互为相反数.
:
(1)正数的绝对值是其本身,0的绝对值是0,负数的绝对值是它的相反数;注意:绝对值的意义是数轴上表示某数的点离开原点的距离;
(2)绝对值可表示为:或;绝对值的问题经常分类讨论;
(3);;
(4)|a|是重要的非负数,即|a|≥0;注意:|a|·|b|=|a·b|,.
:(1)正数的绝对值越大,这个数越大;(2)正数永远比0大,负数永远比0小;(3)正数大于一切负数;(4)两个负数比大小,绝对值大的反而小;(5)数轴上的两个数,右边的数总比左边的数大;(6)大数-小数>0,小数-大数<0.
:乘积为1的两个数互为倒数;注意:0没有倒数;若a≠0,那么的倒数是;倒数是本身的数是±1;若ab=1Ûa、b互为倒数;若ab=-1Ûa、b互为负倒数.
:
(1)同号两数相加,取相同的符号,并把绝对值相加;
(2)异号两数相加,取绝对值较大的符号,并用较大的绝对值减去较小的绝对值;
(3)一个数与0相加,仍得这个数.
:
(1)加法的交换律:a+b=b+a;(2)加法的结合律:(a+b)+c=a+(b+c).
:减去一个数,等于加上这个数的相反数;即a-b=a+(-b).
10有理数乘法法则:
(1)两数相乘,同号为正,异号为负,并把绝对值相乘;
(2)任何数同零相乘都得零;
(3)几个数相乘,有一个因式为零,积为零;各个因式都不为零,积的符号由负因式的个数决定.
11有理数乘法的运算律:
(1)乘法的交换律:ab=ba;(2)乘法的结合律:(ab)c=a(bc);
(3)乘法的分配律:a(b+c)=ab+ac.
:除以一个数等于乘以这个数的倒数;注意:零不能做除数,.
:
(1)正数的任何次幂都是正数;
(2)负数的奇次幂是负数;负数的偶次幂是正数;注意:当n为正奇数时:(-a)n=-an或(a-b)n=-(b-a)n,当n为正偶数时:(-a)n=an或(a-b)n=(b-a)n.
:
(1)求相同因式积的运算,叫做乘方;
(2)乘方中,相同的因式叫做底数,相同因式的个数叫做指数,乘方的结果叫做幂;
(3)a2是重要的非负数,即a2≥0;若a2+|b|=0Ûa=0,b=0;
(4)据规律底数的小数点移动一位,平方数的小数点移动二位.
:把一个大于10的数记成a×10n的形式,其中a是整数数位只有一位的数,这种记数法叫科学记数法.
:一个近似数,四舍五入到那一位,就说这个近似数的精确到那一位.
:从左边第一个不为零的数字起,到精确的位数止,所有数字,都叫这个近似数的有效数字.
:先乘方,后乘除,最后加减;注意:怎样算简单,怎样算准确,是数学计算的最重要的原则.
:是用符合题目要求的数代入,并验证题设成立而进行猜想的一种方法,但不能用于证明.
用字母表示数
重点:代数式求值合并同类项去括号
难点:合并同类项
:在代数式中,若只含有乘法(包括乘方)运算。或虽含有除法运算,但除式中不含字母的一类代数式叫单项式.
:单项式中不为零的数字因数,叫单项式的数字系数,简称单项式的系数;系数不为零时,单项式中所有字母指数的和,叫单项式的次数.
:几个单项式的和叫多项式.
:多项式中所含单项式的个数就是多项式的项数,每个单项式叫多项式的项;多项式里,次数最高项的次数叫多项式的次数;注意:(若a、b、c、p、q是常数)ax2+bx+c和x2+px+q是常见的两个二次三项式.
:凡不含有除法运算,或虽含有除法运算但除式中不含字母的代数式叫整式.
整式分类为:.
:所含字母相同,并且相同字母的指数也相同的单项式是同类项.
:系数相加,字母与字母的指数不变.
(添)括号法则:去(添)括号时,若括号前边是“+”号,括号里的各项都不变号;若括号前边是“-”号,括号里的各项都要变号.
:整式的加减,实际上是在去括号的基础上,把多项式的同类项合并.
:把一个多项式的各项按某个字母的指数从小到大(或从大到小)排列起来,叫做按这个字母的升幂排列(或降幂排列).注意:多项式计算的最后结果一般应该进行升幂(或降幂)排列.
注意书写格式的规范:
(1)表示数与字母或字母与字母相乘时乘号,乘号可以写成“·”,但通常省略不写;数字与数字相乘必须写乘号;
(2)数和字母相乘时,数字应写在字母前面;
(3)带分数与字母相乘时,应把带分数化成假分数;
(4)除法运算写成分数形式,分数线具“÷”号和“括号”的双重作用。
(5)在代数式的运算结果中,如有单位时,结果是积或商直接写单位;结果是和差加括号后再写单位。
一元一次方程
重点:一元一次方程的解法,一元一次方程应用题(行程、工程类问题)
难点:一元一次方程应用题
:用“=”:“等量就能代入”!
:
等式性质1:等式两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式,所得结果仍是等式;
等式性质2:等式两边都乘以(或除以)同一个不为零的数,所得结果仍是等式.
:含未知数的等式,叫方程.
:使等式左右两边相等的未知数的值叫方程的解;注意:“方程的解就能代入”!
:改变符号后,.
:只含有一个未知数,并且未知数的次数是1,并且含未知数项的系数不是零的整式方程是一元一次方程.
:ax+b=0(x是未知数,a、b是已知数,且a≠0).
:ax=b(x是未知数,a、b是已知数,且a≠0).
:整理方程……去分母……去括号……移项……合并同类项……系数化为1……(检验方程的解).
:
(1)读题分析法:…………多用于“和,差,倍,分问题”
仔细读题,找出表示相等关系的关键字,例如:“大,小,多,少,是,共,合,为,完成,增加,减少,配套-----”,利用这些关键字列出文字等式,并且据题意设出未知数,最后利用题目中的量与量的关系填入代数式,得到方程.
(2)画图分析法:…………多用于“行程问题”
利用图形分析数学问题是数形结合思想在数学中的体现,仔细读题,依照题意画出有关图形,使图形各部分具有特定的含义,通过图形找相等关系是解决问题的关键,从而取得布列方程的依据,最后利用量与量之间的关系(可把未知数看做已知量),填入有关的代数式是获得方程的基础.
:
(1)行程问题:距离=速度·时间;
(2)工程问题:工作量=工效·工时;
(3)比率问题:部分=全体·比率;
(4)顺逆流问题:顺流速度=静水速度+水流速度,逆流速度=静水速度-水流速度;
(5)商品价格问题:售价=定价·折·,利润=售价-成本,;
(6)周长、面积、体积问题:C圆=2πR,S圆=πR2,C长方形=2(a+b),S长方形=ab,C正方形=4a,
S正方形=a2,S环形=π(R2-r2),V长方体=abc,V正方体=a3,V圆柱=πR2h,V圆锥=πR2h.
走进图形世界
重点:图形的变化、展开折叠、从三个方向看
难点:点线面、正方体张开折叠、三视图
1、棱柱棱锥、圆柱圆锥
体
棱数
侧棱数
顶点数
底面形状
侧面数
棱柱
3N
N
2N
N边形
N
棱锥
2N
N
N+1
N边形
N
圆柱
0
圆
1
圆锥
1
圆
1
2、点动成线,线动成面、面动成体
3、判断一个展开图是否可以折叠成正方体
4、三视图的判断以及三视图的画法
平面图形的认识
重点:相交线与平行线、判定、性质,三角形的有关概念
难点:直线平行判定以及性质、平面图形平移的作图以及三角形有关知识的理解和掌握
1相交线
有一个公共的顶点,有一条公共的边,另外一边互为反向延长线,这样的两个角叫做邻补角。
两条直线相交有4对邻补角。
有公共的顶点,角的两边互为反向延长线,这样的两个角叫做对顶角。
两条直线相交,有2对对顶角。
对顶角相等。
2
两条直线相交,所成的四个角中有一个角是直角,那么这两条直线互相垂直。其中一条直线叫做另一条直线的垂线,它们的交点叫做垂足。
注意:⑴垂线是一条直线。
⑵具有垂直关系的两条直线所成的4个角都是90。
⑶垂直是相交的特殊情况。
⑷垂直的记法:a⊥b,AB⊥CD。
画已知直线的垂线有无数条。
过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。
连接直线外一点与直线上各点的所有线段中,垂线段最短。简单说成:垂线段最短。
直线外一点到这条直线的垂线段的长度,叫做点到直线的距离。
3平行线
在同一平面内,两条直线没有交点,则这两条直线互相平行,记作:a∥b。
在同一平面内两条直线的关系只有两种:相交或平行。
平行公理:经过直线外一点,有且只有一条直线与这条直线平行。
如果两条直线都与第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行。
4直线平行的条件
两条直线被第三条直线所截,在两条被截线的同一方,截线的同一旁,这样的两个角叫做同位角。
两条直线被第三条直线所截,在两条被截线之间,截线的两侧,这样的两个角叫做内错角。
两条直线被第三条直线所截,在两条被截线之间,截线的同一旁,这样的两个角叫做同旁内角。
5判定两条直线平行的方法:
方法1两条直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两条直线平行。简单说成:同位角相等,两直线平行。
方法2两条直线被第三条直线所截,如果内错角相等,那么这两条直线平行。简单说成:内错角相等,两直线平行。
方法3两条直线被第三条直线所截,如果同旁内角互补,那么这两条直线平行。简单说成:同旁内角互补,两直线平行。
6平行线的性质
平行线具有性质:
性质1两条平行线被第三条直线所截,同位角相等。简单说成:两直线平行,同位角相等。
性质2两条平行线被第三条直线所截,内错角相等。简单说成:两直线平行,内错角相等。
性质3两条平行线被第三条直线所截,同旁内角互补。简单说成:两直线平行,同旁内角互补。
同时垂直于两条平行线,并且夹在这两条平行线间的线段的长度,叫做着两条平行线的距离。
判断一件事情的语句叫做命题。
7
⑴把一个图形整体沿某一方向移动,会得到一个新的图形,新图形与原图形的形状和大小完全相同。
⑵新图形中的每一点,都是由原图形中的某一点移动后得到的,这两个点是对应点,连接各组对应点的线段平行且相等。
图形的这种移动,叫做平移变换,简称平移。
8三角形
由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。相邻两边组成的角,叫做三角形的内角,简称三角形的角。
三角形两边的和大于第三边。
三角形具有稳定性。
三角形的内角和等于180。
三角形的一边与另一边的延长线组成的角,叫做三角形的外角。
三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。
三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角。
在平面内,由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形。
连接多边形不相邻的两个顶点的线段,叫做多边形的对角线。
n边形的对角线公式:
各个角都相等,各条边都相等的多边形叫做正多边形。
n边形的内角和公式:180(n-2)
多边形的外角和等于360。
幂的运算
重点:运用幂的运算性质进行计算
难点:运用幂的运算性质进行证明规律
:am·an=am+n,底数不变,指数相加.
:(am)n=amn,底数不变,指数相乘;(ab)n=anbn,积的乘方等于各因式乘方的积.
:系数相乘,相同字母相乘,只在一个因式中含有的字母,连同指数写在积里.
:m(a+b+c)=ma+mb+mc,用单项式去乘多项式的每一项,再把所得的积相加.
:(a+b)·(c+d)=ac+ad+bc+bd,先用多项式的每一项去乘另一个多项式的每一项,再把所得的积相加.
:
(1)平方差公式:(a+b)(a-b)=a2-b2,两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差;
(2)完全平方公式:
①(a+b)2=a2+2ab+b2,两个数和的平方,等于它们的平方和,加上它们的积的2倍;
②(a-b)2=a2-2ab+b2,两个数差的平方,等于它们的平方和,减去它们的积的2倍;
③(a+b-c)2=a2+b2+c2+2ab-2ac-2bc,略.
:
(1)若二次三项式x2+px+q是完全平方式,则有关系式:;
(2)二次三项式ax2+bx+c经过配方,总可以变为a(x-h)2+k的形式,利用a(x-h)2+k
①可以判断ax2+bx+c值的符号;②当x=h时,可求出ax2+bx+c的最大(或最小)值k.
(3)注意:.
:am÷an=am-n,底数不变,指数相减.
:
(1)a0=1(a≠0);a-n=,(a≠0).注意:00,0-2无意义;
(2)有了负指数,可用科学记数法记录小于1的数,例如:=×10-5.
:系数相除,相同字母相除,只在被除式中含有的字母,连同它的指数作为商的一个因式.
:先用多项式的每一项除以单项式,再把所得的商相加.
:先因式分解后约分或竖式相除;注意:被除式-余式=除式·商式.
:先乘方,后乘除,最后加减,有括号先算括号内.
从面积到乘法公式
重点:单项式乘单项式、单项式乘多项式、多项式的乘法法则及其应用,能够熟练掌握乘法公式、因式分解
难点:灵活运用整式乘法法则和乘法公式进行运算,因式分解
1、因式分解的概念
把一个多项式化为几个整式的积的形式,叫做把多项式因式分解.
注:因式分解是“和差”化“积”,整式乘法是“积”化“和差”故因式分解与整式乘法之间是互为相反的变形过程,因些常用整式乘法来检验因式分解.
2、提取公因式法
把,分解成两个因式乘积的形式,其中一个因式是各项的公因式m,另一个因式是除以m所得的商,:
注:i多项式各项都含有的相同因式,叫做这个多项式各项的公因式.
ii公因式的构成:①系数:各项系数的最大公约数;
②字母:各项都含有的相同字母;
③指数:相同字母的最低次幂.
3、运用公式法
把乘法公式反过用,可以把某些多项式分解因式,这种分解因式的方法叫做运用公式法.
ⅰ)平方差公式
注意:①条件:两个二次幂的差的形式;
②平方差公式中的、可以表示一个数、一个单项式或一个多项式;
③在用公式前,应将要分解的多项式表示成的形式,并弄清、分别表示什么.
ⅱ)完全平方公式
注意:①是关于某个字母(或式子)的二次三项式;
②其首尾两项是两个符号相同的平方形式;
③中间项恰是这两数乘积的2倍(或乘积2倍的相反数);
④使用前应根据题目结构特点,按“先两头,后中间”的步骤,把二次三项式整理成
公式原型,弄清、分别表示的量.
补充:常见的两个二项式幂的变号规律:
①;②.(为正整数)
4、十字相乘法
借助十字叉线分解系数,,则有
5、分组分解法
定义:分组分解法,适用于四项以上的多项式,例如没有公因式,又不能直接利用分式法分解,但是如果将前两项和后两项分别结合,把原多项式分成两组。再提公因式,即可达到分解因式的目的。例如:
=,
这种利用分组来分解因式的方法叫分组分解法.
原则:用分组分解法把多项式分解因式,关键是分组后能出现公因式或可运用公式.
6、求根公式法:如果有两个根,那么
二元一次方程组
重点:二元一次方程的解法及应用
难点:二元一次方程的应用
:含有两个未知数,并且含未知数项的次数是1,:一般说二元一次方程有无数个解.
:两个二元一次方程联立在一起是二元一次方程组.
:使二元一次方程组的两个方程,左右两边都相等的两个未知数的值,:一般说二元一次方程组只有唯一解(即公共解).
:
(1)代入消元法;(2)加减消元法;
(3)注意:判断如何解简单是关键.
:
(1)对于一个应用题设出的未知数越多,列方程组可能容易一些,但解方程组可能比较麻烦,反之则“难列易解”;
(2)对于方程组,若方程个数与未知数个数相等时,一般可求出未知数的值;
(3)对于方程组,若方程个数比未知数个数少一个时,一般求不出未知数的值,但总可以求出任何两个未知数的关系.
图形全等
重点:理解全等图形的基本特征,掌握全等图形的识别方法,三角形的性质
难点:全等图形的识别,全等三角形的证明
1、“全等”的理解:全等的图形必须满足:(1)形状相同的图形;(2)大小相等的图形;
即能够完全重合的两个图形叫全等形。同样我们把能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。
2、全等三角形的性质
(1)全等三角形对应边相等;(2)全等三角形对应角相等;
3、全等三角形的判定方法
(1)三边对应相等的两个三角形全等。(SSS)
(2)两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。(AAS)
(3)两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。(AAS)
(4)两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。(SAS)
(5)斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。(HL)
4、角平分线的性质及判定
性质:角平分线上的点到这个角的两边的距离相等
判定:到一个角的两边距离相等的点在这个角平分线上
5、灵活运用定理
⑴、已知条件中有两角对应相等,可找:
①夹边相等(ASA)②任一组等角的对边相等(AAS)
⑵、已知条件中有两边对应相等,可找
①夹角相等(SAS)②第三组边也相等(SSS)
⑶、已知条件中有一边一角对应相等,可找
①任一组角相等(AAS或ASA)②夹等角的另一组边相等(SAS)