初中数学所有函数的知识点总结.doc

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§、反比例函数、一次函数和二次函数
教学目标
1、掌握正(反)比例函数、一次函数和二次函数的概念及其图形和性质
2、会用待定系数法确定函数的解析式
教学重点
掌握正(反)比例函数、一次函数和二次函数的概念及其图形和性质
教学难点
掌握正(反)比例函数、一次函数和二次函数的概念及其图形和性质
教学方法
讲练结合法
教学过程
(I)知识要点
(见下表:)
函数名称
正比例函数
反比例函数
一次函数
二次函数
解析式
图
像
y
y
x
0
y
x
0
y
x
0
双曲线,x轴、y轴是它的渐近线
x
与直线平行且过点(0,b)的直线
y
x
0
y
0
x
x
y
0
x
y
0
抛物线
定义域
R
R
R
值域
R
R
单
调
性
时为增函数
时为减函数
时,在,上为减函数
时,在,上为增函数
时,为增函数
时,为减函数
上为增函数,在上为减函数
上为减函数,在上为增函数
奇偶性
奇函数
奇函数
b=0时奇函数
b=0时偶函数
最值
无
无
无
注:二次函数()
对称轴,顶点
抛物线与x轴交点坐标
(II)例题讲解
例1、求满足下列条件的二次函数的解析式:
(1)抛物线过点A(1,1),B(2,2),C(4,)
(2)抛物线的顶点为P(1,5)且过点Q(3,3)
(3)抛物线对称轴是,它在x轴上截出的线段AB长为,且抛物线过点(1,7)。
解:(1)设,将A、B、C三点坐标分别代入,可得方程组为
(2)设二次函数为,将Q点坐标代入,即,得,故
(3)∵抛物线对称轴为;
∴抛物线与x轴的两个交点A、B应关于对称;
∴由题设条件可得两个交点坐标分别为
∴可设函数解析式为:,将(1,7)代入方程可得
∴所求二次函数为,
例2:二次函数的图像过点(0,8),,(4,0)
(1)求函数图像的顶点坐标、对称轴、最值及单调区间
(2)当x取何值时,①y≥0,②y<0
解:(1)依题意可设函数的解析式为:
将三点坐标分别代入,可得方程组为:
解得
∴函数图像的顶点为(1,),对称轴为
又∵,∴函数有最小值,且,无最大值
函数的增区间为[1,+∞),减区间为
(2)由
由
例3:求函数的最值及相应的x值
解由,知函数的图像开口向上,对称轴为
∴依题设条件可得在上是减函数,在上是增函数。
∴当时,函数取得最小值,且
又∵
∴依二次函数的对称性可知
∴当时函数取得最大值,且
例4、已知函数
(1)若函数的递减区间是,求实数的取值
(2)若函数在区间上是减函数,求实数的取值范围
分析:二次函数的单调区间是由其开口方向及对称轴决定的,要分清函数在区间A上是单调函数及单调区间是A的区别与联系
解:(1)的对称轴是,且二次项系数为1>0
可得函数图像开口向上
∴的单调减区间为
∴依题设条件可得
(2)∵在区间上是减函数
∴是递减区间的子区间
∴
例5、函数,满足:
(1)求方程的两根的和(2)比较、、的大小
解:由知函数图像的对称轴为
而的图像与x轴交点关于对称轴对称
由二次项系数为1>0,可知抛物线开口向上
又
∴依二次函数的对称性及单调性可
(III)课后作业
练: