高中数学第十章知识点总结(精华版)——排列组合二项定理.doc

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考试内容:分类计数原理与分步计数原理.
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考试要求:(1)掌握分类计数原理与分步计数原理,并能用它们分析和解决一些简单的应用问题.
(2)理解排列的意义,掌握排列数计算公式,并能用它解决一些简单的应用问题.
(3)理解组合的意义,掌握组合数计算公式和组合数的性质,并能用它们解决一些简单的应用问题.
(4)掌握二项式定理和二项展开式的性质,并能用它们计算和证明一些简单的问题.
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一、两个原理.
、加法原理.
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从m个不同元素中,每次取出n个元素,元素可以重复出现,按照一定的顺序排成一排,那么第一、第二……第n位上选取元素的方法都是m个,所以从m个不同元素中,每次取出n个元素可重复排列数m·m·…m=mn..例如:n件物品放入m个抽屉中,不限放法,共有多少种不同放法?(解:种)
二、排列.
1.⑴对排列定义的理解.
定义:从n个不同的元素中任取m(m≤n)个元素,按照一定顺序排成一列,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.
⑵相同排列.
如果;两个排列相同,不仅这两个排列的元素必须完全相同,而且排列的顺序也必须完全相同.
⑶排列数.
从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素排成一列,,用符号表示.
⑷排列数公式:
注意:规定0!=1
规定
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对含有相同元素求排列个数的方法是:设重集S有k个不同元素a1,a2,…...an其中限重复数为n1、n2……nk,且n=n1+n2+……nk,则S的排列个数等于.
例如:已知数字3、2、2,求其排列个数又例如:数字5、5、5、求其排列个数?其排列个数.
三、组合.
1.⑴组合:从n个不同的元素中任取m(m≤n)个元素并成一组,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合.
⑵组合数公式:
⑶两个公式:①②
①从n个不同元素中取出m个元素后就剩下n-m个元素,因此从n个不同元素中取出n-m个元素的方法是一一对应的,因此是一样多的就是说从n个不同元素中取出n-m个元素的唯一的一个组合.
(或者从n+1个编号不同的小球中,n个白球一个红球,任取m个不同小球其不同选法,分二类,一类是含红球选法有一类是不含红球的选法有)
②根据组合定义与加法原理得;在确定n+1个不同元素中取m个元素方法时,对于某一元素,只存在取与不取两种可能,如果取这一元素,则需从剩下的n个元素中再取m-1个元素,所以有C,如果不取这一元素,则需从剩余n个元素中取出m个元素,所以共有C种,依分类原理有.
⑷排列与组合的联系与区别.
联系:都是从n个不同元素中取出m个元素.
区别:前者是“排成一排”,后者是“并成一组”,前者有顺序关系,后者无顺序关系.
⑸①几个常用组合数公式
②常用的证明组合等式方法例.
:(利用)
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(即用递推)如:.
:
证明:这里构造二项式其中的系数,左边为
,而右边
四、排列、组合综合.
、组合问题几大解题方法及题型:
①直接法.②排除法.
③捆绑法:在特定要求的条件下,将几个相关元素当作一个元素来考虑,待整体排好之后再考虑它们“局部”“元素相邻问题”,例如,一般地,n个不同元素排成一列,“整体排列”,而则是“局部排列”.
又例如①有n个不同座位,A、B两个不能相邻,则有排列法种数为.
②有n件不同商品,若其中A、B排在一起有.
③有n件不同商品,若其中有二件要排在一起有.
注:①③区别在于①是确定的座位,有种;而③的商品地位相同,是从n件不同商品任取的2个,有不确定性.
④插空法:先把一般元素排列好,然后把待定元素插排在它们之间或两端的空档中,此法主要解决“元素不相邻问题”.
例如:n个元素全排列,其中m个元素互不相邻,不同的排法种数为多少?(插空法),当n–m+1≥m,即m≤时有意义.
⑤占位法:从元素的特殊性上讲,对问题中的特殊元素应优先排列,然后再排其他一般元素;从位置的特殊性上讲,对问题中的特殊位置应优先考虑,“先特殊后一般”的解题原则.
⑥调序法:当某些元素次序一定时,:先将n个元素进行全排列有种,个元素的全排列有种,由于要求m个元素次序一定,因此只能取其中的某一种排法,可以利用除法起到去调序的作用,即若n个元素排成一列,其中m个元素次序一定,共有种排列方法.
例如:n个元素全排列,其中m个元素顺序不变,共有多少种不同的排法?
⑦平均法:若把kn个不同元素平均分成k组,每组n个,共有.
例如:从1,2,3,4中任取2个元素将其平均分成2组有几种分法?有(平均分组就用不着管组与组之间的顺序问题了)又例如将200名运动员平均分成两组,其中两名种子选手必在一组的概率是多少?
()
注意::n个元素全排列,其中某m个元素互不相邻且顺序不变,共有多少种排法?有,当n–m+1≥m,即m≤时有意义.
⑧隔板法:常用于解正整数解组数的问题.
例如:的正整数解的组数就可建立组合模型将12个完全相同的球排成一列,在它们之间形成11个空隙中任选三个插入3块摸板,,故(),方程的任何一组解,对应着惟一的一种在12个球之间插入隔板的方式(如图
所示).
注意:若为非负数解的x个数,即用中等于,有,进而转化为求a的正整数解的个数为.
⑨定位问题:从n个不同元素中每次取出k个不同元素作排列规定某r个元素都包含在内,并且都排在某r个指定位置则有.
例如:从n个不同元素中,每次取出m个元素的排列,其中某个元素必须固定在(或不固定在)某一位置上,共有多少种排法?
固定在某一位置上:;不在某一位置上:或(一类是不取出特殊元素a,有,一类是取特殊元素a,有从m-1个位置取一个位置,然后再从n-1个元素中取m-1,这与用插空法解决是一样的)
⑩指定元素排列组合问题.
(或组合),规定某r个元素都包含在内。先C后A策略,排列;组合.
(或组合),规定某r个元素都不包含在内。先C后A策略,排列;组合.
iii从n个不同元素中每次取出k个不同元素作排列(或组合),规定每个排列(或组合)都只包含某r个元素中的s个元素。先C后A策略,排列;组合.
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①特殊元素优先安排策略;②合理分类与准确分步策略;③排列、组合混合问题先选后排的策略(处理排列组合综合性问题一般是先选元素,后排列);④正难则反,等价转化策略;⑤相邻问题插空处理策略;
⑥不相邻问题插空处理策略;⑦定序问题除法处理策略;⑧分排问题直排处理的策略;⑨“小集团”排列问题中先整体后局部的策略;⑩构造模型的策略.
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①均匀不编号分组:将n个不同元素分成不编号的m组,假定其中r组元素个数相等,不管是否分尽,其分法种数为(其中A为非均匀不编号分组中分法数).如果再有K组均匀分组应再除以.
例:10人分成三组,各组元素个数为2、4、4,,各组人数分别为1、1、2、2、2、2,其分法种数为
②非均匀编号分组:n个不同元素分组,各组元素数目均不相等,且考虑各组间的顺序,其分法种数为
例:10人分成三组,各组人数分别为2、3、5,去参加不同的劳动,其安排方法为:种.
若从10人中选9人分成三组,人数分别为2、3、4,参加不同的劳动,则安排方法有种
③均匀编号分组:n个不同元素分成m组,其中r组元素个数相同且考虑各组间的顺序,其分法种数为.
例:10人分成三组,人数分别为2、4、4,参加三种不同劳动,分法种数为
④非均匀不编号分组:将n个不同元素分成不编号的m组,每组元素数目均不相同,且不考虑各组间顺序,不管是否分尽,其分法种数为…
例:10人分成三组,每组人数分别为2、3、5,其分法种数为若从10人中选出6人分成三组,各组人数分别为1、2、3,其分法种数为.
五、二项式定理.
1.⑴二项式定理:.
展开式具有以下特点:
项数:共有项;
系数:依次为组合数
每一项的次数是一样的,即为n次,展开式依a的降幕排列,b的升幕排列展开.
⑵二项展开式的通项.
展开式中的第项为:.
⑶二项式系数的性质.
①在二项展开式中与首未两项“等距离”的两项的二项式系数相等;
②二项展开式的中间项二项式系数最大.
,中间项是第项,它的二项式系数最大;
,中间项为两项,即第项和第项,它们的二项式系数最大.
③系数和:
附:一般来说为常数),一般采用解不等式组的系数或系数的绝对值)的办法来求解.
⑷如何来求展开式中含的系数呢?其中且把视为二项式,先找出含有的项,另一方面在中含有的项为,.
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当a的绝对值与1相比很小且n不大时,常用近似公式,因为这时展开式的后面部分很小,可以忽略不计。类似地,有但使用这两个公式时应注意a的条件,以及对计算精确度的要求.