初中函数知识点总结.doc

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1、判断Y是否为X的函数,只要看X取值确定的时候,Y是否有唯一确定的值与之对应
2、定义域:一般的,一个函数的自变量允许取值的范围,叫做这个函数的定义域。
3、求函数定义域的方法:
(1)关系式为整式时,函数定义域为全体实数;
(2)关系式含有分式时,分式的分母不等于零;
(3)关系式含有偶次根式时,被开方数大于等于零;
(4)关系式中含有指数为零的式子时,底数不等于零;(即零次幂底数不等于零);
(5)关系式中含有对数式时,对数的底数不等于零且不等于1,对数的真数大于零;
(6)实际问题中,函数定义域还要和实际情况相符合,使之有意义。
4、正比例函数和一次函数及性质
正比例函数
一次函数
概念
一般地,形如y=kx(k是常数,k≠0)的函数叫做正比例函数,其中k叫做比例系数
一般地,形如y=kx+b(k,b是常数,k≠0),=0时,是y=kx,所以说正比例函数是一种特殊的一次函数.
定义域
值域
R
R
图象
一条直线(两点确定一条直线)
必过点
(0,0)、(1,k)
正比例函数过原点且图像关于原点对称,故正比例函数是奇函数
(0,b)(即与y轴的交点)和(-,0)(即与x轴的交点)当b≠0时y=kx+b不经过原点,所以当b≠0时y=kx+b是非奇非偶函数
走向
k>0时,直线经过一、三象限;
k<0时,直线经过二、四象限
k>0,b>0,直线经过第一、二、三象限
k>0,b<0直线经过第一、三、四象限
k<0,b>0直线经过第一、二、四象限
k<0,b<0直线经过第二、三、四象限
增减性
k>0,y随x的增大而增大;(从左向右上升)即在R上是增函数
k<0,y随x的增大而减小。(从左向右下降)即在R上是减函数
倾斜度
|k|越大,越接近y轴;|k|越小,越接近x轴
图像的
平移
b>0时,将直线y=kx的图象向上平移个单位;
b<0时,将直线y=kx的图象向下平移个单位.
反比例函数知识点总结
反比例函数的定义
一般地,形如(k为常数,)的函数称为反比例函数,
反比例函数的图像及画法
反比例函数的图像是双曲线,它有两个分支,这两个分支分别位于第一、第三象限或第二、第四象限,它们与原点对称,由于反比例函数中自变量函数中自变量,函数值,所以它的图像与x轴、y轴都没有交点,即双曲线的两个分支无限接近坐标轴,但永远达不到坐标轴。
反比例的画法分三个步骤:⑴列表;⑵描点;⑶连线。
作反比例函数的图像时应注意以下几点:①列表时选取的数值宜对称选取;②列表时选取的数值越多,图像越精确;③连线时,必须用光滑的曲线连接,切忌画成折线;④画图像时,它的两个分支应全部画出,但切忌将图像与坐标轴相交。
知识点3反比例函数的性质
关于反比例函数的性质,主要研究它的图像的位置及函数值的增减情况,如下表:
反比例函数
()
的
符号
图像
性质
①的取值范围是,y的取值范围是
②当时,函数图像的两个分支分别在第一、第三象限,在每个象限内,y随x的增大而减小。
①的取值范围是,y的取值范围是
②当时,函数图像的两个分支分别在第二、第四象限,在每个象限内,y随x的增大而增大。
☆反比例函数()中比例系数k的绝对值的几何意义。
如图所示,过双曲线上任一点P(x,y)分别作x轴、y轴的垂线,E、F分别为垂足,
则
反比例函数()中,越大,双曲线越远离坐标原点;
越小,双曲线越靠近坐标原点。
双曲线是中心对称图形,对称中心是坐标原点;双曲线又是轴对称图形,对称轴是直线y=x和直线y=-x。
二次函数
:一般地,如果是常数,,那么叫做的二次函数.

(1)抛物线的顶点是坐标原点,对称轴是轴.
(2)函数的图像与的符号关系.
①当时抛物线开口向上顶点为其最低点;
②当时抛物线开口向下顶点为其最高点.
(3)顶点是坐标原点,对称轴是轴的抛物线的解析式形式为.
:开口方向、对称轴、顶点.(抛物线中,的作用)
(1)的符号决定抛物线的开口方向:当时,开口向上;当时,开口向下;
(2)
,故:①时,对称轴为轴;②(即、同号)时,对称轴在轴左侧;③(即、异号)时,对称轴在轴右侧.
(3)的大小决定抛物线与轴交点的位置.
当时,,∴抛物线与轴有且只有一个交点(0,
):
①,抛物线经过原点;②,与轴交于正半轴;③,与轴交于负半轴.
、对称轴的方法:(公式法),∴顶点是,对称轴是直线.
(求二次函数的解析式时,要根据条件选择不同的形式)
(1)一般式:.已知图像上三点或三对、的值,通常选择一般式.
(2)顶点式:.已知图像的顶点或对称轴,通常选择顶点式.
(3)交点式:已知图像与轴的交点坐标、,通常选用交点式:.

二次函数的图像是一条抛物线,
对称轴的方程为,顶点坐标是()。
(1)当时,抛物线的开口,函数在上递减,在上递增,当时,函数有最值为
(2)当时,抛物线的开口,函数在上递减,在上递增,当时,函数有最值为。
注意:讨论二次函数的区间最值问题:①注意对称轴与区间的相对位置;②函数在此区间上的单调性;

二次函数的图像与轴的两个交点的横坐标、,:
①有两个交点抛物线与轴相交;
②有一个交点(顶点在轴上)抛物线与轴相切;
③没有交点抛物线与轴相离.
讨论二次函数的区间根的分布情况一般需从三方面考虑:①判别式;②区间端点的函数值的符号;③对称轴与区间的相对位置.
典型习题
1、函数f(x)=x2-2x+2的单调增区间是()
(A)[1,+∞),(B)(-∞,-1)(C)[-1,+∞),(D)以上都不对
2、已知一个二次函数的顶点的坐标为(0,4),且过点(1,5),这个二次函数的解析式为
3、二次函数y=x2-5x+6的零点是
4、已知方程x2+2px+1=0有一个根大于1,有一个根小于1,则P的取值为 。
5、已知二次函数图像经过点(-1,0),(1,0),(2,3)三点,求解析式
6、设二次函数y=f(x)的最大值为13,且f(3)=f(-1)=5,则f(x)=
7、已知二次函数的值域为,则实数=
8、函数,当时,是减函数,则实数m的取值范围是。
9、若函数f(x)=(x+a)(bx+2a)(常数a、b∈R)是偶函数,且他的值域为(-∞,4,则f(x)=
10、函数在区间上是增函数,则的取值范围是
11、函数f(x)=2x-mx+3,当x∈-2,+∞)时是增函数,当x∈(-∞,-2时是减函数,f(1)=
12、若函数f(x)=x+(m-2)x+5的两个相异零点都大于0,则m的取值范围是
13、若关于x的方程至少有一个负根,则的值为
14、已知关于x的二次方程x+2mx+2m+1=0
(1)若方程有两根,其中一根在区间(-1,0)内,另一根在区间(1,2)内,求m的范围。(2)若方程两根均在(0,1)内,求m的范围。
15、已知关于x的方程mx+(m-3)x+1=0①若存在正根,求实数m的取值范围②2个正根m的取值范围③一正一负根m的取值范围④2个负根的m的取值范围