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〖知识点〗二次函数、抛物线的顶点、对称轴和开口方向
〖大纲要求〗
理解二次函数的概念;
会把二次函数的一般式化为顶点式,确定图象的顶点坐标、对称轴和开口方向,会用描点法画二次函数的图象;
会平移二次函数y=ax2(a≠0)的图象得到二次函数y=a(ax+m)2+k的图象,了解特殊与一般相互联系和转化的思想;
会用待定系数法求二次函数的解析式;
利用二次函数的图象,了解二次函数的增减性,会求二次函数的图象与x轴的交点坐标和函数的最大值、最小值,了解二次函数与一元二次方程和不等式之间的联系。
内容
(1)二次函数及其图象
如果y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0),那么,y叫做x的二次函数。
二次函数的图象是抛物线,可用描点法画出二次函数的图象。
(2)抛物线的顶点、对称轴和开口方向
抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点是,对称轴是,当a>0时,抛物线开口向上,当a<0时,抛物线开口向下。
抛物线y=a(x+h)2+k(a≠0)的顶点是(-h,k),对称轴是x=-h.
〖考查重点与常见题型〗
考查二次函数的定义、性质,有关试题常出现在选择题中,如:
已知以x为自变量的二次函数y=(m-2)x2+m2-m-2额图像经过原点,
则m的值是
综合考查正比例、反比例、一次函数、二次函数的图像,习题的特点是在同一直角坐标系内考查两个函数的图像,试题类型为选择题,如:
如图,如果函数y=kx+b的图像在第一、二、三象限内,那么函数
y=kx2+bx-1的图像大致是()
yyyy
11
0xo-1x0x0-1x
ABCD
考查用待定系数法求二次函数的解析式,有关习题出现的频率很高,习题类型有中档解答题和选拔性的综合题,如:
已知一条抛物线经过(0,3),(4,6)两点,对称轴为x=,求这条抛物线的解析式。
考查用配方法求抛物线的顶点坐标、对称轴、二次函数的极值,有关试题为解答题,如:
已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴的两个交点的横坐标是-1、3,与y轴交点的纵坐标是-(1)确定抛物线的解析式;(2)用配方法确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标.
,常见的作为专项压轴题。
习题1:
一、填空题:(每小题3分,共30分)
已知A(3,6)在第一象限,则点B(3,-6)在第象限
对于y=-,当x>0时,y随x的增大而
二次函数y=x2+x-5取最小值是,自变量x的值是
抛物线y=(x-1)2-7的对称轴是直线x=
直线y=-5x-8在y轴上的截距是
函数y=中,自变量x的取值范围是
若函数y=(m+1)xm2+3m+1是反比例函数,则m的值为
在公式=b中,如果b是已知数,则a=
已知关于x的一次函数y=(m-1)x+7,如果y随x的增大而减小,则m的取值范围是
某乡粮食总产值为m吨,那么该乡每人平均拥有粮食y(吨),与该乡人口数x的函数关系式是
二、选择题:(每题3分,共30分)
11、函数y=中,自变量x的取值范围 ( )
(A)x>5 (B)x<5 (C)x≤5 (D)x≥5
12、抛物线y=(x+3)2-2的顶点在 ( )
(A)第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限
13、抛物线y=(x-1)(x-2)与坐标轴交点的个数为 ( )
(A)0 (B)1 (C)2 (D)3
14、下列各图中能表示函数和在同一坐标系中的图象大致是( )
(A) (B) (C) (D)
(3,-5)关于y轴对称点的坐标为( )
(A)(-3,5) (B)(3,5) (C)(-3,-5) (D)(3,-5)
,对称轴是直线x=的是( )
y=x2(B)y=x2+2x(C)y=x2+x+2(D)y=x2-x-2
=中,x的取值范围是( )
(A)x≠0 (B)x> (C)x≠ (D)x<
(0,0),B(3,2)两点,则经过A、B两点的直线是( )
(A)y=x (B)y=x (C)y=3x (D)y=x+1
,直线y=x+2m与y=-x+4 的交点不可能在( )
(A)第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限
,从10米高的窗口A用水管和向外喷水,喷的水流呈抛物线(抛物线所在平面与墙面垂直,(如图)如果抛物线的最高点M离墙1米,离地面米,则水流下落点B离墙距离OB是( )
(A)2米 (B)3米 (C)4米 (D)5米
(21题6分,22----25每题4分,26-----28每题6分,共40分)
:直线y=x+k过点A(4,-3)。(1)求k的值;(2)判断点B(-2,-6)是否在这条直线上;(3)指出这条直线不过哪个象限。
(0,3),B(4,6)两点,对称轴为x=,
求这条抛物线的解析式;
试证明这条抛物线与X轴的两个交点中,必有一点C,使得对于x轴上任意一点D都有AC+BC≤AD+BD。
:金属棒的长1是温度t的一次函数,现有一根金属棒,在O℃时长度为200cm,温度提高1℃,。
求这根金属棒长度l与温度t的函数关系式;
当温度为100℃时,求这根金属棒的长度;
,求这时金属棒的温度。
,x2,是关于x的方程x2-3x+m=0的两个不同的实数根,设s=x12+x22
求S关于m的解析式;并求m的取值范围;
当函数值s=7时,求x13+8x2的值;
=x2-(a+2)x+9顶点在坐标轴上,求a的值。
26、如图,在直角梯形ABCD中,∠A=∠D=Rt∠,截取AE=BF=DG=x,已知AB=6,CD=3,AD=4,求:
四边形CGEF的面积S关于x的函数表达式和X的取值范围;
当x为何值时,S的数值是x的4倍。
27、国家对某种产品的税收标准原定每销售100元需缴税8元(即税率为8%),台洲经济开发区某工厂计划销售这种产品m吨,每吨2000元。国家为了减轻工人负担,将税收调整为每100元缴税(8-x)元(即税率为(8-x)%),这样工厂扩大了生产,实际销售比原计划增加2x%。
写出调整后税款y(元)与x的函数关系式,指出x的取值范围;
要使调整后税款等于原计划税款(销售m吨,税率为8%)的78%,求x的值.
28、已知抛物线y=x2+(2-m)x-2m(m≠2)与y轴的交点为A,与x轴的交点为B,C(B点在C点左边)
写出A,B,C三点的坐标;
设m=a2-2a+4试问是否存在实数a,使△ABC为Rt△?若存在,求出a的值,若不存在,请说明理由;
设m=a2-2a+4,当∠BAC最大时,求实数a的值。
习题2:
(20分)
=2(x-)2+1图象的对称轴是。
=的自变量的取值范围是。
=(m-3)x+m+1的图象过一、二、四象限,则的取值范围是。
(1,-1),且图象过点(0,-3),则这个二次函数解析式为。
,位于第四象限的一点P(a,b)在这个函数图象上,且a,b是方程x2-x-12=0的两根,则这个函数的关系式。
(1,a)在反比例函数y=(k≠0)的图象上,其中a=m2+2m+3(m为实数),则这个函数图象在第象限。
,y满足等式x=,把y写成x的函数,其中自变量x的取值范围是。
=ax2+bx+c+(a0)的图象如图,则点P(2a-3,b+2)
在坐标系中位于第象限
=(x-1)2+(x-3)2,当x=时,达到最小值。
=x2-(2m-1)x-6m与x轴交于(x1,0)和(x2,0)两点,已知x1x2=x1+x2+49,要使抛物线经过原点,应将它向右平移个单位。
(30分)
=x2+6x+8与y轴交点坐标()
(A)(0,8)(B)(0,-8)(C)(0,6)(D)(-2,0)(-4,0)
=-(x+1)2+3的顶点坐标()
(A)(1,3)(B)(1,-3)(C)(-1,-3)(D)(-1,3)
,如果函数y=kx+b的图象在第一、二、三象限,那么函数y=kx2+bx-1的图象大致是()
=的自变量x的取值范围是()
(A)x2(B)x<2(C)x>-2且x1(D)x2且x–1
=3x2先向上平移2个单位,再向右平移3个单位,所得抛物线的解析式是()
(A)=3(x+3)2-2(B)=3(x+2)2+2(C)=3(x-3)2-2(D)=3(x-3)2+2
=x2+2mx+m-7与x轴的两个交点在点(1,0)两旁,则关于x的方程x2+(m+1)x+m
2+5=0的根的情况是()
(A)有两个正根(B)有两个负数根(C)有一正根和一个负根(D)无实根
=-x的图象与图象y=x+1的交点在()
第一象限(B)第二象限(C)第三象限(D)第四象限
=ax2+bx+c的图象,如图,
则代数式b+c-a与0的关系()
(A)b+c-a=0(B)b+c-a>0(C)b+c-a<0(D)不能确定
:二直线y=-x+6和y=x-2,它们与y轴所围成的三角形的面积为()
(A)6(B)10(C)20(D)12
,开始时匀速跑步前进,跑累了后,再匀速步行余下的路程。下图所示图中,横轴表示该生从家里出发的时间t,纵轴表示离学校的路程s,则路程s与时间t之间的函数关系的图象大致是()
(21~23每题5分,24~28每题7分,共50分)
=ax2+bx+c(a0)与x轴的两交点的横坐标分别是-1和3,与y轴交点的纵坐标是-;
(1)确定抛物线的解析式;
(2)用配方法确定抛物线的开口方向,对称轴和顶点坐标。
22、如图抛物线与直线都经过坐标轴的正半轴上A,B两点,该抛物线的对称轴x=—1,与x轴交于点C,且∠ABC=90°求:
(1)直线AB的解析式;
(2)抛物线的解析式。
23、某商场销售一批名脾衬衫,平均每天可售出20件,每件盈利40元,为了扩大销售,增加盈利,尽快减少库存,,商场平均每天可多售出2件:
(1)若商场平均每天要盈利1200元,每件衬衫要降价多少元,
(2)每件衬衫降价多少元时,商场平均每天盈利最多?
24、已知:二次函数和的图象都经过x轴上两个不同的点M、N,求a、b的值。
25、如图,已知⊿ABC是边长为4的正三角形,AB在x轴上,点C在第一象限,AC与y轴交于点D,点A的坐标为{—1,0),求
(1)B,C,D三点的坐标;
(2)抛物线经过B,C,D三点,求它的解析式;
(3)过点D作DE∥AB交过B,C,D三点的抛物线于E,求DE的长。
26某市电力公司为了鼓励居民用电,采用分段计费的方法计算电费:每月用电不超100度
时,:,。
(1)设月用电x度时,应交电费y元,当x≤100和x>100时,分别写出y关于x的函数
关系式;
(2)小王家第一季度交纳电费情况如下:
月份
一月份
二月份
三月份
合计
交费金额
76元
63元
45元6角
184元6角
问小王家第一季度共用电多少度?
27、巳知:抛物线
(1)求证;不论m取何值,抛物线与x轴必有两个交点,并且有一个交点是A(2,0);
(2)设抛物线与x轴的另一个交点为B,AB的长为d,求d与m之间的函数关系式;
(3)设d=10,P(a,b)为抛物线上一点:
①当⊿ABP是直角三角形时,求b的值;
②当⊿ABP是锐角三角形,钝角三角形时,分别写出b的取值范围(第2题不要求写出过程)
28、已知二次函数的图象与x轴的交点为A,B(点B在点A的右边),与y轴的交点为C;
(1)若⊿ABC为Rt⊿,求m的值;
(1)在⊿ABC中,若AC=BC,求sin∠ACB的值;
(3)设⊿ABC的面积为S,求当m为何值时,。
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