最新版初中二次函数知识点汇总.doc

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:一般地,如果是常数,,那么叫做的二次函数.

(1)抛物线的顶点是坐标原点,对称轴是轴.(2)函数的图像与的符号关系.
①当时抛物线开口向上顶点为其最低点;②当时抛物线开口向下顶点为其最高点
(包括重合)轴的抛物线.
:的形式,其中.
,可分为以下几种形式:
①;②;③;④;⑤.
:开口方向、对称轴、顶点.
①决定抛物线的开口方向:
当时,开口向上;当时,开口向下;相等,抛物线的开口大小、形状相同.
②平行于轴(或重合),轴记作直线.
,如果二次项系数相同,那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同,只是顶点的位置不同.
、对称轴的方法
(1)公式法:,∴顶点是,对称轴是直线.
(2)配方法:运用配方法将抛物线的解析式化为的形式,得到顶点为(,),对称轴是.
(3)运用抛物线的对称性:由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形,所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴,对称轴与抛物线的交点是顶点.
★用配方法求得的顶点,再用公式法或对称性进行验证,才能做到万无一失★
,的作用
(1)决定开口方向及开口大小,这与中的完全一样.
(2),故:
①时,对称轴为轴;②(即、同号)时,对称轴在轴左侧;
③(即、异号)时,对称轴在轴右侧.
(3)的大小决定抛物线与轴交点的位置.
当时,,∴抛物线与轴有且只有一个交点(0,):
①,抛物线经过原点;②,与轴交于正半轴;③,与轴交于负半轴.
以上三点中,当结论和条件互换时,,则.
:
函数解析式
开口方向
对称轴
顶点坐标
当时
开口向上
当时
开口向下
(轴)
(0,0)
(轴)
(0,)
(,0)
(,)
()

(1)一般式:.已知图像上三点或三对、的值,通常选择一般式.
(2)顶点式:.已知图像的顶点或对称轴,通常选择顶点式.
(3)交点式:已知图像与轴的交点坐标、,通常选用交点式:.

(1)轴与抛物线得交点为()
(2)与轴平行的直线与抛物线有且只有一个交点(,).
(3)抛物线与轴的交点
二次函数的图像与轴的两个交点的横坐标、,是对应一元二次方程
:
①有两个交点抛物线与轴相交;
②有一个交点(顶点在轴上)抛物线与轴相切;
③没有交点抛物线与轴相离.
(4)平行于轴的直线与抛物线的交点
同(3)一样可能有0个交点、1个交点、,两交点的纵坐标相等,设纵坐标为,则横坐标是的两个实数根.
(5)一次函数的图像与二次函数的图像的交点,由方程组
的解的数目来确定:
①方程组有两组不同的解时与有两个交点;
②方程组只有一组解时与只有一个交点;③方程组无解时与没有交点.
(6)抛物线与轴两交点之间的距离:若抛物线与轴两交点为,由于、是方程的两个根,故
:
(1)一元二次方程就是二次函数当函数y的值为0时的情况.
(2)二次函数的图象与轴的交点有三种情况:有两个交点、有一个交点、没有交点;当二次函数的图象与轴有交点时,交点的横坐标就是当时自变量的值,即一元二次方程的根.
(3)当二次函数的图象与轴有两个交点时,则一元二次方程有两个不相等的实数根;当二次函数的图象与轴有一个交点时,则一元二次方程有两个相等的实数根;当二次函数的图象与轴没有交点时,则一元二次方程没有实数根
:
(1)二次函数常用来解决最优化问题,这类问题实际上就是求函数的最大(小)值;
(2)二次函数的应用包括以下方面:分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系;
运用二次函数的知识解决实际问题中的最大(小)值.
:(1)理解问题;(2)分析问题中的变量和常量;(3)用函数表达式表示出它们之间的关系;(4)利用二次函数的有关性质进行求解;(5)检验结果的合理性,对问题加以拓展等.
二次函数知识点
一、二次函数概念:
:一般地,形如(是常数,)的函数,叫做二次函数。这里需要强调:和一元二次方程类似,二次项系数,.
:
⑴等号左边是函数,右边是关于自变量的二次式,的最高次数是2.
⑵是常数,是二次项系数,是一次项系数,是常数项.
二、二次函数的基本形式
:的性质:
a的绝对值越大,抛物线的开口越小。
的符号
开口方向
顶点坐标
对称轴
性质
向上
轴
时,随的增大而增大;时,随的增大而减小;时,有最小值.
向下
轴
时,随的增大而减小;时,随的增大而增大;时,有最大值.
:
上加下减。
的符号
开口方向
顶点坐标
对称轴
性质
向上
轴
时,随的增大而增大;时,随的增大而减小;时,有最小值.
向下
轴
时,随的增大而减小;时,随的增大而增大;时,有最大值.
:
左加右减。
的符号
开口方向
顶点坐标
对称轴
性质
向上
X=h
时,随的增大而增大;时,随的增大而减小;时,有最小值.
向下
X=h
时,随的增大而减小;时,随的增大而增大;时,有最大值.
:
的符号
开口方向
顶点坐标
对称轴
性质
向上
X=h
时,随的增大而增大;时,随的增大而减小;时,有最小值.
向下
X=h
时,随的增大而减小;时,随的增大而增大;时,有最大值.
三、二次函数图象的平移
:
方法一:⑴将抛物线解析式转化成顶点式,确定其顶点坐标;
⑵保持抛物线的形状不变,将其顶点平移到处,具体平移方法如下:

在原有函数的基础上“值正右移,负左移;值正上移,负下移”.
概括成八个字“左加右减,上加下减”.
方法二:
⑴沿轴平移:向上(下)平移个单位,变成
(或)
⑵沿轴平移:向左(右)平移个单位,变成(或)
四、二次函数与的比较
从解析式上看,与是两种不同的表达形式,后者通过配方可以得到前者,即,其中.
五、二次函数图象的画法
五点绘图法:利用配方法将二次函数化为顶点式,确定其开口方向、对称轴及顶点坐标,然后在对称轴两侧,:顶点、与轴的交点、以及关于对称轴对称的点、与轴的交点,(若与轴没有交点,则取两组关于对称轴对称的点).
画草图时应抓住以下几点:开口方向,对称轴,顶点,与轴的交点,与轴的交点.
六、二次函数的性质
,抛物线开口向上,对称轴为,顶点坐标为.
当时,随的增大而减小;当时,随的增大而增大;当时,有最小值.
,抛物线开口向下,对称轴为,,随的增大而增大;当时,随的增大而减小;当时,有最大值.
七、二次函数解析式的表示方法
:(,,为常数,);
:(,,为常数,);
:(,,是抛物线与轴两交点的横坐标).
注意:任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式,但并非所有的二次函数都可以写成交点式,只有抛物线与轴有交点,即时,.
八、二次函数的图象与各项系数之间的关系

二次函数中,作为二次项系数,显然.
⑴当时,抛物线开口向上,的值越大,开口越小,反之的值越小,开口越大;
⑵当时,抛物线开口向下,的值越小,开口越小,反之的值越大,开口越大.
总结起来,决定了抛物线开口的大小和方向,的正负决定开口方向,的大小决定开口的大小.

在二次项系数确定的前提下,决定了抛物线的对称轴.
⑴在的前提下,
当时,,即抛物线的对称轴在轴左侧;
当时,,即抛物线的对称轴就是轴;
当时,,即抛物线对称轴在轴的右侧.
⑵在的前提下,结论刚好与上述相反,即
当时,,即抛物线的对称轴在轴右侧;
当时,,即抛物线的对称轴就是轴;
当时,,即抛物线对称轴在轴的左侧.
总结起来,在确定的前提下,决定了抛物线对称轴的位置.
的符号的判定:对称轴在轴左边则,在轴的右侧则,概括的说就是“左同右异”
总结:

⑴当时,抛物线与轴的交点在轴上方,即抛物线与轴交点的纵坐标为正;
⑵当时,抛物线与轴的交点为坐标原点,即抛物线与轴交点的纵坐标为;
⑶当时,抛物线与轴的交点在轴下方,即抛物线与轴交点的纵坐标为负.
总结起来,决定了抛物线与轴交点的位置.
总之,只要都确定,那么这条抛物线就是唯一确定的.
二次函数解析式的确定:
根据已知条件确定二次函数解析式,,选择适当的形式,,有如下几种情况:
,一般选用一般式;
(小)值,一般选用顶点式;
,一般选用两根式;
,常选用顶点式.
九、二次函数图象的对称
二次函数图象的对称一般有五种情况,可以用一般式或顶点式表达

关于轴对称后,得到的解析式是;
关于轴对称后,得到的解析式是;

关于轴对称后,得到的解析式是;
关于轴对称后,得到的解析式是;

关于原点对称后,得到的解析式是;
关于原点对称后,得到的解析式是;
(即:抛物线绕顶点旋转180°)
关于顶点对称后,得到的解析式是;
关于顶点对称后,得到的解析式是.

关于点对称后,得到的解析式是
根据对称的性质,显然无论作何种对称变换,抛物线的形状一定不会发生变化,,可以依据题意或方便运算的原则,选择合适的形式,习惯上是先确定原抛物线(或表达式已知的抛物线)的顶点坐标及开口方向,再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向,然后再写出其对称抛物线的表达式.
十、二次函数与一元二次方程:
(二次函数与轴交点情况):
一元二次方程是二次函数当函数值时的特殊情况.
图象与轴的交点个数:
①当时,图象与轴交于两点,.
②当时,图象与轴只有一个交点;
③当时,图象与轴没有交点.
当时,图象落在轴的上方,无论为任何实数,都有;
当时,图象落在轴的下方,无论为任何实数,都有.
,交点坐标为,;
:
⑴求二次函数的图象与轴的交点坐标,需转化为一元二次方程;
⑵求二次函数的最大(小)值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式;
⑶根据图象的位置判断二次函数中,,的符号,或由二次函数中,,的符号判断图象的位置,要数形结合;
⑷二次函数的图象关于对称轴对称,可利用这一性质,求和已知一点对称的点坐标,或已知与轴的一个交点坐标,可由对称性求出另一个交点坐标.
抛物线与轴有两个交点
二次三项式的值可正、可零、可负
一元二次方程有两个不相等实根
抛物线与轴只有一个交点
二次三项式的值为非负
一元二次方程有两个相等的实数根
抛物线与轴无交点
二次三项式的值恒为正
一元二次方程无实数根.
⑸与二次函数有关的还有二次三项式,二次三项式本身就是所含字母的二次函数;下面以时为例,揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系:
图像参考: