二次函数(知识点).doc

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第一部分
一、知识点1:二次函数的图象和性质
:形如(a≠0,a,b,c为常数)的函数为二次函数.
:
(1)二次函数y=ax2(a≠0)的图象是一条抛物线,其顶点是原点(0,0),对称轴是y轴(直线x=0);
①当a>0时,抛物线开口向上,顶点是最低点;当a<0时,抛物线开口向下,顶点是最高点;
②越大,抛物线的开口越小.
(2)二次函数的图象是一条抛物线,顶点为(,),对称轴;
①当a>0时,抛物线的开口向上,图象有最低点,
且x<时,y随x的增大而减小;x>时,y随x的增大而增大;
②当a<0时,抛物线的开口向下,图象有最高点,
且x<时,y随x的增大而增大;x>时,y随x的增大而减小。
(3)当a>0时,则当x=时,函数有最小值;
当a<0时,则当x=时,函数有最大值;
:将二次函数y=ax2(a≠0)的图象进行平移,
可得到y=ax2+c,y=a(x-h)2,y=a(x-h)2+k的图象.
⑴将y=ax2的图象向上(c>0)或向下(c<0)平移|c|个单位,即可得到y=ax2+c的图象.(上+下-)
其顶点是(0,c);形状、对称轴、开口方向与抛物线y=ax2相同.
⑵将y=ax2的图象向左(h<0)或向右(h>0)平移|h|个单位,即可得到y=a(x-h)2的图象.(左+右-)
其顶点是(h,0);对称轴是直线x=h,形状、开口方向与抛物线y=ax2相同.
⑶将y=ax2的图象向左(h<0)或向右(h>0)平移|h|个单位,再向上(k>0)或向下(k<0)平移|k|
个单位,即可得到y=a(x-h)2+k的图象,其顶点是(h,k),对称轴是直线x=h,形状、开口方向与
抛物线y=ax2相同.
二、例题、习题:
1、抛物线y=4(x+2)2+5的对称轴是______,顶点是。
2、抛物线y=(x—5)2+4的对称轴是()
==-==-5
3、二次函数y=2(x+3)2+5的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标分别为()
,对称轴x=-3,顶点坐标为(3,5),对称轴x=3,顶点坐标为(3,5)
,对称轴x=-3,顶点坐标为(-3,5),对称轴x=-3,顶点坐标为(-3,-5)
4、抛物线y=x2-4x+5的顶点坐标是()
A.(-2,1)B.(-2,-1)C.(2,l)D.(2,-1)
5、已知二次函数的图象如图所示,则a、b、c满足()
<0,b<0,c><0,b<0,c<<0,b>0,c>>0,b<0,c>0
6、二次函数图象如图所示,则下列结论正确的()
>0,b<0,c>0 <0,b<0,c><0,b>0,c<0 <0,b>0,c>0
(第5题)(第6题)(第7题)(第8题)
7、已知二次函数的图象如图所示,则下列结论中①abc>0;②b=2a;③a+b+c<0;
④a-b+c>0正确的个数是()

8、二次函数图象如图所示,则点(,-a)在( )

9、函数y=x2-4的图象与y轴的交点坐标是,
与x轴的交点坐标是。(第10题)
10、已知抛物线的部分图象,则图象再次与x轴相交时的坐标是。
11、已知直线y=x与二次函数y=ax2-2x-1的图象的一个交点M的横坐标为1,则a的值为。
12、直线y=x+2与抛物线y=x2+2x的交点坐标为____.
13、已知反比例函数y=的图象在每个象限内y随x的增大而增大,则二次函数y=2kx2-x+k2的图象
大致为左图中的()
14、如右图所示,已知二次函数(a≠0)与一次函数y2=kx+m(k≠0)的图象相交于
点A(-2,4),B(8,2),则能使y1>y2成立的x取值范围是_______。
15、若二次函数的图象如左图所示,则ac_____0(“<”“>”或“=”)
16、当b<0时,一次函数y=ax+b和二次函数在同一坐标系中的图象大致是右图
的。
17、阅读材料:
当抛物线的解析式中含有字母系数时,随着系数中的字母取值的不同,抛物线的顶点坐标也将发生变化.
例如:由抛物线①,得到顶点式y=②,所以抛物线
的顶点坐标为(m,2m-1),即,当m的值变化时,x、y的值随之变化;
因而y值也随x值的变化而变化,将③代人④,得y=2x—1⑤.可见,不论m取任何实数,抛物线
顶点的纵坐标y和横坐标x都满足关系式y=2x-1。回答下列问题:
(1)在上述过程中,由①到②所用的数学方法是________,其中运用了公式,
由③④得到⑤所用的数学方法是______;
(2)根据阅读材料提供的方法,确定抛物线顶点的纵坐标y与横坐标x之间
的关系式为___.
第二部分
一、知识点2:二次函数解析式的求法
:
⑴列表法:可以清楚、直接地表示出变量之间的数值对应关系;
⑵图象法:可以直观地表示出函数的变化过程和变化趋势;
⑶解析法:可以比较全面、完整、简洁地表示出变量之间的关系.
:
⑴若已知抛物线上三点坐标,可采用一般式:;
利用待定系数法,结合三元一次方程组的解法求得a,b,c;
⑵若已知抛物线的顶点坐标或对称轴方程,则可采用顶点式:
其中顶点为(h,k),对称轴为直线x=h;
⑶若已知抛物线与x轴的交点坐标或交点的横坐标,则可采用交点式:,
其中与x轴的交点坐标为(x1,0),(x2,0)
二、例题:
1、二次函数的图象经过点(-3,2),(2,7),(0,-1),求其解析式.
2、已知抛物线的对称轴为直线x=-2,且经过点(-l,-1),(-4,0)两点,求抛物线的解析式.
3、已知抛物线与x轴交于点(1,0)和(2,0)且过点(3,4),求抛物线的解析式.
4、已知二次函数的图象经过点A(0,1),B(2,-1)两点.
(1)求b和c的值;(2)试判断点P(-1,2)是否在此抛物线上?
5、如图,在ΔABC中,∠ABC=90○,点C在x轴正半轴上,点A在x轴负半轴上,点B在y轴正半轴上,
若tan∠BAC=,求经过A、B、C三点的抛物线的解析式.
第三部分
一、知识点3:二次函数的图象与系数a、b、c的关系
1、a的符号:,则a>0;物线开口向下,则a<0.
2、b的符号由对称轴决定:若对称轴是y轴,则b=0;
若抛物线的顶点在y轴左侧,顶点的横坐标-<0即>0,则a、b为同号;
若抛物线的顶点在y轴右侧,顶点的横坐标->0,即<、“左同右异”.
3、c的符号:c的符号由抛物线与y轴的交点位置确定.
若抛物线交y轴于正半轴,则c>0,<0;若抛物线过原点,则c=0.
4、△的符号:△,则△=0;
有两个交点,则△>0;没有交点,则△<0.
5、a+b+c与a-b+c的符号:a+b+c是抛物线(a≠0)上的点(1,a+b+c)的纵坐标,
a-b+c是抛物线(a≠0)上的点(-1,a-b+c)的纵坐标.
根据点的位置,可确定它们的符号.
二、例题:
1、已知二次函数(a≠0)且a<0,a-b+c>0,则一定有()
-4ac>-4ac=-4ac<-4ac≤0
2、二次函数的图象如图所示,则点(-b,)在()

三、练习:
1、二次函数⑴y=3x2;⑵y=x2;⑶y=x2的图象的开口大小的顺序应为()
A.(1)>(2)>(3)B.(1)>(3)>(2)C.(2)>(3)>(1)D.(2)>(1)>(3)
2、已知抛物线与x轴交点的横坐标为-1,则a+c=_________.
3、抛物线中,已知a:b:c=l:2:3,且最小值为6,则解析式为____________。
4、若抛物线过点(1,0)且其解析式中二次项系数为1,则它的解析式为__________.(任写一个)
5、抛物线的顶点在x轴上的条件是()
-4ac<-4ac>-4ac=<0
6、二次函数的图象如左图所示,则下列关于a、b、c间的关系判断正确的是()
<0B、bc<+b+c>-b十c<0
(第6题)(第7题)(第8题)
7、已知二次函数,如果a<0且a十c=b,那么它的图象大致如图中的()
8、已知函数的图象如图所示,给出下列关于系数a、b、c的不等式:①a<0,②b<0,
③c>0,④2a+b<0,⑤a+b+c>。
9、已知二次函数的图象如右图所示:
(1)这个二次函数的解析式是.(2)当x=____时,y=3;
(3)根据图象回答:当x满足_______时,y=0;
当x满足______时,y>0;当x满足时,y<0.
10、已知二次函数的图象开口向下,且与y轴的正半轴相交,请写出
一个满足条件的二次函数的解析式:_______________.
11、已知二次函数的图象与x轴交于点(-2,0),(x1,0)且1<x1<2,与y轴正半轴
的交点在点(0,2)的下方,下列结论:①a<b<0;②2a+c>0;③4a+c<0,④2a-b+l>0.
其中的有正确的结论是(填写序号)__________.
四、综合应用:
1、已知:如图所示,直线y=-x+3与x轴、y轴分别交于点B、C,抛物线y=-x2+bx+c经过点B、C,
点A是抛物线与x轴的另一个交点.(1)求抛物线的解析式;
(2)若点P在直线BC上,且SΔPAC=SΔPAB,求点P的坐标.
2、已知:抛物线y=x2+(2n-1)x+n2-1(n为常数).
(1)当该抛物线经过坐标原点,并且顶点在第四象限时,求出它所对应的函数关系式;
(2)设点A是(1)所确定的抛物线上位于x轴下方、且在对称轴左侧的一个动点,过A作x轴的平行线,
交抛物线于另一点D,再作AB⊥x轴于B,DC⊥x轴于C。
①当BC=1时,求矩形ABCD的周长;
②试问矩形ABCD的周长是否存在最大值?如果存在,请求出这个最大值,并指出此时A点的坐标;
如果不存在,请说明理由.
3、如图,梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=90°,AD=9,BC=12,AB=a,在线段BC上任取一点P,
连结DP,作射线PE⊥DP于点P,与直线AB交于点E.
(1)当CP=3时,确定点E的位置;(2)若设CP=x,BE=y,试写出y关于自变量x的函数关系式;
(3)若在线段BC上能找到不同的两点P1、P2使按上述作法得到的点E都与点A重合,
试求出此时a的取值范围.
【考题3-1】(2004、开福,10分)如图1-2-16所示,要在底边BC=160cm,高AD=120cm的△ABC铁皮余料上,截取一个矩形EFGH,使点H在AB上,点G在AC上,点E、F在BC上,AD交HG于点M,此时。
(1)设矩形EFGH的长HG=y,宽HE=x,确定y与x的函数关系式;
(2)当x为何值时,矩形EFGH的面积S最大?
(3)以面积最大的矩形EFGH为侧面,围成一个圆柱形的铁桶,怎样围时,才能使铁桶的体积较大?请说明理由(注:围铁桶侧面时,接缝无重叠,底面另用材料配备)。
解:⑴∵,所以=,所以
⑵∵S=xy,所以S=
=所以x=60cm,S最大=4800㎝2.
⑶围圆柱形铁桶有两种情况:当x=60㎝时,
第一种情况:以矩形EFGH的宽HE=60cm作铁桶的高,长HG=80cm作铁桶的底面周长,则底面半径R=.
第二种情况:以矩形EFGH的长HG=80cm作铁桶的高,宽HE=60cm作铁桶的底面周长,则底面半径R=.
因为V1>V2所以,以矩形EFGH的宽HE=60cm作铁桶的高,长HG=80cm作铁桶的底面周长围成的圆柱形铁桶的体积较大.
点拨:作铁桶时要分两种情况考虑,通过比较得到哪种情况围成的铁桶的体积大
【考题3-2】(2004、煌中,12分)已知二次的图象经过点A(C,-2),
求证:这个二次函数图象的对称轴是x=3.
题目中的矩形框部分是一段被墨水染污了无法辩认的文字.
(1)根据已知和结论中现有的信息,你能否求出题中的二次函数解析式?若能,请写出求解过程,并画出二次函数的图象;若不能,请说明理由.
(2)请你根据已有的信息,在原题中的矩形框中,填加一个适当的条件,把原题补充完整.
(2)以下其中的一种情况(均可得分)
①过抛物线的任意一点的坐标;②顶点坐标为;③当x轴的交点坐标
当y轴的交点坐标为(0,2)⑤b=-3或c=2.
点拨:(2)题中答案不唯一,取其中任意一个即可
【考题3-3】(2004、南宁,10分)目前国内最大跨径的钢管混凝土拱桥——永和大桥,是南宁市又一标志性建筑,其拱形图形为抛物线的一部分(如图1-2-18),在正常情况下,位于水面上的桥拱跨度为350米,拱高为85米。
⑴在所给的直角坐标系中(如图1-2-19),假设抛物线的表达式为,请你根据上述数据求出、的值,并写出抛物线的表达式(不要求写自变量的取值范围,、的值保留两个有效数字)。
⑵七月份汛期将要来临,当邕江水位上涨后,位于
水面上的桥拱跨度将会减小,当水位上涨4时,位于水面上的桥拱跨度有多大?(结果保留整数)
解:(1)因为桥拱高度OC=8m,抛物线过点C(0,),所以b=,得AB=350m,即点A、B的坐标分另为(-175,0),(17,0).则有0=1752·α+,解得α≈,所求抛物线的解析式为y=+;
(2)由1-2-20所示,设DE为水位上升4m后的桥拱跨度,即当y=4时,有4=+,所以x≈±、E两点的坐标为(-,4),(,4).所以ED≈+=254米;答:当水位上涨4m时,位于水面上的桥拱跨度为254m.
点拨:理解桥拱的跨度AB即为抛物线与x轴两交点之间的距离.
【考题3-4】(2004、海口,14分)已知抛物线y=x2+(2n-1)x+n2-1(n为常数).
(1)当该抛物线经过坐标原点,并且顶点在第四象限时,求出它所对应的函数关系式;
(2)设A是(1)所确定的抛物线上位于x轴下方、且在对称轴左侧的一个动点,过A作x轴的平行线,交抛物线于另一点D,再作AB⊥x轴于B,DC⊥x轴于C.
①当BC=1时,求矩形ABCD
的周长;
②试问矩形ABCD的周长是否存在最大值?如果存在,请求出这个最大值,并指出此时A点的坐标;如果不存在,请说明理由.
解:由已知条件,得n2-1=0解这个方程,得n1=1,n2=-1
当n=1时,得y=x2+x,=-1时,得y=x2-3x,此抛物线的顶点在第四象限.∴所求的函数关系为y=x2-3x.
(2)由y=x2-3x,令y=0,得x2-3x=0,解得x1=0,x2=3
∴抛物线与x轴的另一个交点为(3,0)∴它的顶点为(,),对称轴为直线x=,其大致位置如图所示,①∵BC=1,由抛物线和矩形的对称性易知OB=×(3-1)=1.∴B(1,0)∴点A的横坐标x=1,又点A在抛物线y=x2-3x上,∴点A的纵坐标y=12-3×1=-2.
∴AB=|y|=|-2|=2.∴矩形ABCD的周长为:2(AB+BC)
=2×(2+1)=6.
②∵点A在抛物线y=x2-3x上,故可设A点的坐标为(x,x2-3x),∴B点的坐标为(x,0).(0<x<)
∴BC=3-2x,A在x轴下方,∴x2-3x<0,∴AB=|x2-3x|=3x-x2∴矩形ABCD的周长
P=2[(3x-x2)+(3-2x)]=-2(x-)2+
∵a=-2<0,∴当x=时,(,).
点拨:根据解析式画出草图来分析求门)较容易.
【考题3-5】(2004、潍坊)图1-2-22所示,梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=90°,AD=9,BC=12,AB=a,在线段BC上任取一点P,连结DP,作射线PE上DPJE与直线AB交于点E.
(1)试确定CP=3时,点E的位置;
(2)若设CP=x,BE=y,试写出y关于自变量x的函数关系式;
(3)若在线段BC上能找到不同的两点P1、P2使按上述作法得到的点E都与点A重合,试求出此时。的取值范围.
解:(1)如图1-2-23所示,作DF⊥BC,F为垂足,CP=3时,因为四边形ADFB是矩形,则CF=,所以此
时点E与点B重合;
(2)当点P在BF上时,因为∠EPB+∠DPF=90○,∠EPB+∠PEB=90○,所以∠DPF=∠△PEB∽Rt△=①.又BE=y,BP=12—x,FP=BF-BP=x—3,FD=a,将其代入①,得=,所以y=
②.当点P在CF上时,同理求得y=(x2-15x+36);
(3)当点E与A重合时,y=EB=a,此时点P1在
线段BF上,由②,得a=(x2-15x+36)整理,得x2-15x+36=0③.由于在线段BC上能找到两个不同的点P1与P2满足条件,也就是说方程③有两个不相等的正根,故有△=,
解得..
【考题3-6】(2004、郸县,8分)如图1-2-24所示,△OAB是边长为2+k的等边三角形,其中O是坐标原点,顶点B在y轴的正方向上,将△OAB折叠,使点A落在边OB上,记为A′,折痕为EF.
(1)当A′E⊥x轴时,求点A′和E的坐标;
(2)当A′E∥x轴,且抛物线经过点A′和E时,求该抛物线与x轴的交点的坐标;
(3)当点A′在OB上运动但不与点O、B重合时,能否使△A′,请求出此时点A′的坐标;若不能,请你说明理由.
解:(1)当A′E⊥x时,∠EA′O=90○,因为△AOB为等边三角形,所以∠A′OE=60○,∠A′EO=30○,A′O=EO,设OA′=a,则OE=2a,在RtΔA′OE=,由题意意可知ΔA′EF≌ΔAEF,所以A′E=AE,所以A′E=a=AE,因为AE+OE=2+,所以a=OA′=1,A′E=,所以A′(0,1),E(,1)
⑵由题意知,点A′(0,1),E(,1)在
的图象上,则方程组
所以,当y=0时,得
所以抛物线与x轴的交点坐标为(2,0),(-,0)
⑶:因为要使△A’EF为直角三角形,则90°角只能是∠A’EF或∠A’∠A’EF=90○,因为△FA′与△FAE关于FE对称,所以∠A′EF=∠AEF=90○,∠AEA′=180○.此时A、E、A′应在同一直线上,点A’应与O点重合,∠A′EF=90○,即△A′∠A′FE=90○也不成立,即△A’EF不能为直角三角形.
点拨:此题是代数、几何综合题,注意利用几何图形之间的关系.
三、针对性训练:(45分钟)(答案:268)
(-3,2),(2,7),(0,-1),求其解析式.
=-2,且经过点(-l,-1),(-4,0).
(1,0)和(2,0)且过点
(3,4),求抛物线的解析式.
(0,1)B(2,-1)两点.(1)求b和c的值;(2)试判断点P(-1,2)是否在此抛物线上?
-2-25所示,请你求出这个二次函数的表达式,并求出顶点坐标和对称轴方程.
(-1,-1)、(0,-2)、(1,l).
(1)求这条抛物线所对应的二次函数的表达式;
(2)写出它的开口方向、对称轴和顶点坐标;
(3)这个函数有最大值还是最小值?这个值是多少?
=4时,函数的最小值为-8,抛物线过点(6,0).求:
(1)顶点坐标和对称轴;(2)函数的表达式;