二次函数知识点总结和题型总结.doc

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一、二次函数概念:
:一般地,形如(是常数,)的函
数,叫做二次函数。
这里需要强调:①a≠0②最高次数为2③代数式一定是整式
:
⑴等号左边是函数,右边是关于自变量的二次式,的最高次数是2.
⑵是常数,是二次项系数,是一次项系数,是常数项.
例题:
例1、已知函数y=(m-1)xm2+1+5x-3是二次函数,求m的值。
练习、若函数y=(m2+2m-7)x2+4x+5是关于x的二次函数,则m的取值范围
为。
二、二次函数的基本形式
:的性质:
a的绝对值越大,抛物线的开口越小。
的符号
开口方向
顶点坐标
对称轴
性质
向上
轴
时,随的增大而增大;时,随的增大而减小;时,有最小值.
向下
轴
时,随的增大而减小;时,随的增大而增大;时,有最大值.
的性质:
上加下减。
的符号
开口方向
顶点坐标
对称轴
性质
向上
轴
时,随的增大而增大;时,随的增大而减小;时,有最小值.
向下
轴
时,随的增大而减小;时,随的增大而增大;时,有最大值.
:
左加右减。
的符号
开口方向
顶点坐标
对称轴
性质
向上
X=h
时,随的增大而增大;时,
随的增大而减小;时,有最小值.
向下
X=h
时,随的增大而减小;时,随的增大而增大;时,有最大值.
:
的符号
开口方向
顶点坐标
对称轴
性质
向上
X=h
时,随的增大而增大;时,随的增大而减小;时,有最小值.
向下
X=h
时,随的增大而减小;时,随的增大而增大;时,有最大值.
二次函数的对称轴、顶点、最值
(技法:如果解析式为顶点式y=a(x-h)2+k,则最值为k;如果解析式为一般式y=ax2+bx+c则最值为)
=2x2+4x+m2-m经过坐标原点,则m的值为。
=x2+bx+c线的顶点坐标为(1,3),则b=,c=.
=x2+3x的顶点在()

=ax2-6x经过点(2,0),则抛物线顶点到坐标原点的距离为()
A. B. .
=ax+b不经过二、四象限,则抛物线y=ax2+bx+c()
,,对称轴是y轴
,,对称轴平行于y轴
已知二次函数y=mx2+(m-1)x+m-1有最小值为0,则m=。
三、二次函数图象的平移
:
方法一:⑴将抛物线解析式转化成顶点式,确定其顶点坐标;
⑵保持抛物线的形状不变,将其顶点平移到处,具体平移方法如下:

在原有函数的基础上“值正右移,负左移;值正上移,负下移”.
概括成八个字“左加右减,上加下减”.
方法二:
⑴沿轴平移:向上(下)平移个单位,变成
(或)
⑵沿轴平移:向左(右)平移个单位,变成(或)
函数y=ax2+bx+c的图象和性质例题:
=x2+4x+9的对称轴是。
=2x2-12x+25的开口方向是,顶点坐标是。
,写出下列函数的开口方向、对称轴和顶点坐标:
(1)y=x2-2x+1;(2)y=-3x2+8x-2;(3)y=-x2+x-4
4、把抛物线y=x2+bx+c的图象向右平移3个单位,在向下平移2个单位,所得
图象的解析式是y=x2-3x+5,试求b、c的值。
5、把抛物线y=-2x2+4x+1沿坐标轴先向左平移2个单位,再向上平移3个单位,
问所得的抛物线有没有最大值,若有,求出该最大值;若没有,说明理由。
四、二次函数与的比较
从解析式上看,与是两种不同的表达形式,后者通过配方可以得到前者,即,其中.
五、二次函数图象的画法
五点绘图法:利用配方法将二次函数化为顶点式,确定其开口方向、对称轴及顶点坐标,然后在对称轴两侧,:顶点、与轴的交点、以及关于对称轴对称的点、与轴的交点,(若与轴没有交点,则取两组关于对称轴对称的点).
画草图时应抓住以下几点:开口方向,对称轴,顶点,与轴的交点,与轴的交点.
六、二次函数的性质
,抛物线开口向上,对称轴为,顶点坐标为.
当时,随的增大而减小;当时,随的增大而增大;当时,有最小值.
,抛物线开口向下,对称轴为,,随的增大而增大;当时,随的增大而减小;当时,有最大值.
例题:函数y=a(x-h)2的图象与性质
:
抛物线
开口方向
对称轴
顶点坐标
试说明函数y=(x-3)2的图象特点及性质(开口、对称轴、顶点坐标、增
减性、最值)。
二次函数y=a(x-h)2的图象如图:已知a=,OA=OC,试求该抛物线的解
析式。
二次函数的增减性
二次函数y=3x2-6x+5,当x>1时,y随x的增大而;当x<1时,y
随x的增大而;当x=1时,函数有最值是。
已知函数y=4x2-mx+5,当x>-2时,y随x的增大而增大;当x<-2时,y
随x的增大而减少;则x=1时,y的值为。
已知二次函数y=x2-(m+1)x+1,当x≥1时,y随x的增大而增大,则m的取值范围是.
=-x2+3x+的图象上有三点A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3)且3<x1<x2<x3,则y1,y2,y3的大小关系为.
七、二次函数解析式的表示方法
:(,,为常数,);
:(,,为常数,);
:(,,是抛物线与轴两交点的横坐标).
注意:任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式,但并非所有的二次函数都可以写成交点式,只有抛物线与轴有交点,即时,.
八、二次函数的图象与各项系数之间的关系

二次函数中,作为二次项系数,显然.
⑴当时,抛物线开口向上,的值越大,开口越小,反之的值越小,开口越大;
⑵当时,抛物线开口向下,的值越小,开口越小,反之的值越大,开口越大.
总结起来,决定了抛物线开口的大小和方向,的正负决定开口方向,的大小决定开口的大小.

在二次项系数确定的前提下,决定了抛物线的对称轴.
⑴在的前提下,
当时,,即抛物线的对称轴在轴左侧;
当时,,即抛物线的对称轴就是轴;
当时,,即抛物线对称轴在轴的右侧.
⑵在的前提下,结论刚好与上述相反,即
当时,,即抛物线的对称轴在轴右侧;
当时,,即抛物线的对称轴就是轴;
当时,,即抛物线对称轴在轴的左侧.
总结起来,在确定的前提下,决定了抛物线对称轴的位置.
的符号的判定:对称轴在轴左边则,在轴的右侧则,概括的说就是“左同右异”
总结:

⑴当时,抛物线与轴的交点在轴上方,即抛物线与轴交点的纵坐标为正;
⑵当时,抛物线与轴的交点为坐标原点,即抛物线与轴交点的纵坐标为;
⑶当时,抛物线与轴的交点在轴下方,即抛物线与轴交点的纵坐标为负.
总结起来,决定了抛物线与轴交点的位置.
总之,只要都确定,那么这条抛物线就是唯一确定的.
例题:函数的图象特征与a、b、c的关系
=ax2+bx+c的图象如右图所示,则a、b、c的符号为( )
>0,b>0,c>0 >0,b>0,c=0
>0,b<0,c=0 >0,b<0,c<0
=ax2+bx+c的图象2如图所示,则下列结论正确的是()
+b+c>0 >-2a
-b+c>0 <0
=ax2+bx+c中,b=4a,它的图象如图3,有以下结论:
①c>0;②a+b+c>0 ③a-b+c>0 ④b2-4ac<0 ⑤abc<0;其中正确的为()
A.①② B.①④ C.①②③ D.①③⑤
<0是一次函数y=ax+b与二次函数y=ax2+bx+c在同一坐标系内的图象可能是()
=ax2+bx+c,如果a>b>c,且a+b+c=0,则它的图象可能是图所示的()
二次函数y=ax2+bx+c的图象如图5所示,那么abc,b2-4ac,2a+b,
a+b+c四个代数式中,值为正数的有()