八年级数学因式分解知识点.doc

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把一个多项式化成几个整式的积的形式,这种变形叫做把这个多项式因式分解。因式分解的方法多种多样,现将初中阶段因式分解的常用方法总结如下:
一、提公因式法.
如多项式
其中m叫做这个多项式各项的公因式,m既可以是一个单项式,也可以是一个多项式.
二、运用公式法.
运用公式法,即用
三、分组分解法.
(一)分组后能直接提公因式
例1、分解因式:
分析:从“整体”看,这个多项式的各项既没有公因式可提,也不能运用公式分解,但从“局部”看,这个多项式前两项都含有a,后两项都含有b,因此可以考虑将前两项分为一组,后两项分为一组先分解,然后再考虑两组之间的联系。
解:原式=
=每组之间还有公因式!
=
思考:此题还可以怎样分组?
此类型分组的关键:分组后,每组内可以提公因式,且各组分解后,组与组之间又有公因式可以提。
例2、分解因式:
解法一:第一、二项为一组;解法二:第一、四项为一组;
第三、四项为一组。第二、三项为一组。
解:原式=原式=
==
==
(二)分组后能直接运用公式
例3、分解因式:
分析:若将第一、三项分为一组,第二、四项分为一组,虽然可以提公因式,但提完后就能继续分解,所以只能另外分组。
解:原式=
=
=
例4、分解因式:
解:原式=
=
=
练习:分解因式3、4、
练习:(1)(2)
(3)(4)
(5)(6)
(7)(8)
(9)(10)
(11)(12)
四、十字相乘法.
(一)二次项系数为1的二次三项式
直接利用公式——进行分解。
特点:(1)二次项系数是1;
(2)常数项是两个数的乘积;
(3)一次项系数是常数项的两因数的和。
例5、分解因式:
分析:将6分成两个数相乘,且这两个数的和要等于5。
由于6=2×3=(-2)×(-3)=1×6=(-1)×(-6),从中可以发现只有2×3的分解适合,即2+3=5。12
解:=13
=1×2+1×3=5
用此方法进行分解的关键:将常数项分解成两个因数的积,且这两个因数的代数和要等于一次项的系数。
例6、分解因式:
解:原式=1-1
=1-6
(-1)+(-6)=-7
练习5、分解因式(1)(2)(3)
练习6、分解因式(1)(2)(3)
(二)二次项系数不为1的二次三项式——
条件:(1)
(2)
(3)
分解结果:=
例7、分解因式:
分析:1-2
3-5
(-6)+(-5)=-11
解:=
练习7、分解因式:(1)(2)
(3)(4)
(三)二次项系数为1的齐次多项式
例8、分解因式:
分析:将看成常数,把原多项式看成关于的二次三项式,利用十字相乘法进行分解。
18b
1-16b
8b+(-16b)=-8b
解:=
=
练习8、分解因式(1)(2)(3)
(四)二次项系数不为1的齐次多项式
例9、例10、
1-2y把看作一个整体1-1
2-3y1-2
(-3y)+(-4y)=-7y(-1)+(-2)=-3
解:原式=解:原式=
练习9、分解因式:(1)(2)
综合练习10、(1)(2)
(3)(4)
(5)(6)
(7)(8)
(9)(10)
思考:分解因式:
五、主元法.
例11、分解因式:5-2
解法一:以为主元2-1
解:原式=(-5)+(-4)=-9
=1-(5y-2)
=1(2y-1)
=-(5y-2)+(2y-1)=-(3y-1)
解法二:以为主元1-1
解:原式=12
=-1+2=1
=2(x-1)
=5-(x+2)
=5(x-1)-2(x+2)=(3x-9)
练习11、分解因式(1)(2)
(3)(4)
六、双十字相乘法。
定义:双十字相乘法用于对型多项式的分解因式。
条件:(1),,
(2),,
即:
,,
则
例12、分解因式(1)
(2)
解:(1)
应用双十字相乘法:
,,
∴原式=
(2)
应用双十字相乘法:
,,
∴原式=
练习12、分解因式(1)
(2)
七、换元法。
例13、分解因式(1)
(2)
解:(1)设2005=,则原式=
=
=
(2)型如的多项式,分解因式时可以把四个因式两两分组相乘。
原式=
设,则
∴原式==
==
练习13、分解因式(1)
(2)(3)
例14、分解因式(1)
观察:此多项式的特点——是关于的降幂排列,每一项的次数依次少1,并且系数成“轴对称”。这种多项式属于“等距离多项式”。
方法:提中间项的字母和它的次数,保留系数,然后再用换元法。
解:原式==
设,则
∴原式==
==
==
=
(2)
解:原式==
设,则
∴原式==
==
练习14、(1)(2)
八、添项、拆项、配方法。
例15、分解因式(1)
解法1——拆项。解法2——添项。
原式=原式=
==
==
==
==
(2)
解:原式=
=
=
=
练习15、分解因式(1)(2)
(3)(4)
(5)(6)
九、待定系数法。
例16、分解因式
分析:原式的前3项可以分为,则原多项式必定可分为
解:设=
∵=
∴=
对比左右两边相同项的系数可得,解得
∴原式=
例17、(1)当为何值时,多项式能分解因式,并分解此多项式。
(2)如果有两个因式为和,求的值。
(1)分析:前两项可以分解为,故此多项式分解的形式必为
解:设=
则=
比较对应的系数可得:,解得:或
∴当时,原多项式可以分解;
当时,原式=;
当时,原式=
(2)分析:是一个三次式,所以它应该分成三个一次式相乘,因此第三个因式必为形如的一次二项式。
解:设=
则=
∴,解得,
∴=21
练习17、(1)分解因式
(2)分解因式
(3)已知:能分解成两个一次因式之积,求常数并且分解因式。
(4)为何值时,能分解成两个一次因式的乘积,并分解此多项式。