初中数学总知识点 (2).doc

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(一)几何知识点
:等腰三角形的两个底角相等(简单叙述为:等边对等角)
:等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合.(也称:三线合一)
:有两个角相等的三角形是等腰三角形,简单叙述为:等角对等边.
:有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形
:分别是
证明三角形的三条边相等;
证明三角形的三个内角相等;
证明三角形是等腰三角形,其中有一个角是60°.
:在直角三角形中,如果有一个锐角等于30°,。
:直角三角形两条直角边﹙﹚+b2=c2.
:如果三角形两直角边的平方和等于第三边的平方,那么这个三角形是直角三角形.
:线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。
:到一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上。
:三角形三条边的垂直平分线相交于一点,并且这一点到三个顶点的距离相等,此点为三角形的外心。
12三角形的内心:三角形的三条角平分线相交于一点,并且这一点到三条边的距离相等。
:三条中线的交点。性质:⑴重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2:1。⑵重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。⑶重心到三角形3个顶点距离平方的和最小。⑷在平面直角坐标系中,重心的坐标是顶点坐标的算术平均数。⑸三角形内到三边距离之积最大的点
:角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
逆定理:在一个角的内部,且到角的两边距离相等的点,在这个角的平分线上。
:(1)三边对应相等的两个三角形全等;(SSS)(2)两边及其夹角对应相等的两个三角形全等;(SAS)(3)两角及其夹边对应相等的两个三角形全等;
(ASA)⑷两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。
:全等三角形的对应边、对应角相等。
线段:有两个端点
:将线段向一个方向无限延长就形成了射线,有一个端点。
直线:将线段向两个方向无限延长就形成了直线,没有端点。
:⑴两点之间的所有连线中,线段最短。⑵经过两点有且只有一条直线。⑶同角或等角的补角相等⑷同角或等角的余角相等。⑸过一点有且只有一条直线和已知直线垂直。⑹直线外一点与直线上各点连接的所有线段中,垂线段最短。⑺三角形两边的和大于第三边;三角形两边的差小于第三边。⑻三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和;三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角。⑼两点之间线段的长度,叫做这两点之间的距离。
:如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等,那么在其他直线上截得的线段也相等。
推论1:经过梯形一腰的中点与底平行的直线,必平分另一腰
推论2:经过三角形一边的中点与另一边平行的直线,必平分第三边。
:三角形的中位线平行于第三边,并且等于它的一半。
梯形中位线定理:梯形的中位线平行于两底,并且等于两底和的一半,
:经过直线外一点,有且只有一条直线与这条直线平行。
平行定理2:如果两条直线都与第三条直线平行,那么这两条直线互相平行。
平行判定方法1:同位角相等,两直线平行。
平行判定方法2:内错角相等,两直线平行。
平行判定方法3:同旁内角互补,两直线平行。
:两直线平行,同位角相等。
平行线性质定理2:两直线平行,内错角相等。
平行线性质定理3:两直线平行,同旁内角互补。
:在三角形中,两边之和大于第三边,两边之差小于第三边。

⑴定义:两组对边分别平行的四边形。
⑵性质:①平行四边形的对边相等;②对角相等;③对角线互相平分。
:(1)两组对边分别平行的四边形是平行四边形;(2)两组对边分别相等的四边形是平行四边形;(3)两条对角线互相平分的四边形是平行四边形;(4)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。

⑴定义:一组邻边相等的平行四边形是菱形。
⑵性质:①菱形的四条边都相等;②两条对角线互相垂直平分;③每一条对角线平分一组对角。④面积公式:即对角线乘积的一半。
:(1)一组邻边相等的平行四边是菱形;(2)对角线互相垂直的平行四边形是菱形;(3)四条边都相等的四边形是菱形。
:有一个内角是直角的平行四边形是矩形。矩形的对角线相等,四个角都是直角。
:对角线相等的平行四边形是矩形。
:一组邻边相等的矩形是正方形。(1)正方形的四条边都相等;(2)正方形的四个内角都相等切都等于90度;(3)正方形的对角线相等且互相垂直平分;(4)正方形的每一条对角线平分一组对角;(5)正方形的每组对边互相平行。(6)既是中心对称图形又是轴对称图形。
:
(1)对角线相等的菱形是正方形;
先证明菱形(2)四边均相等,对角线相等的四边形是正方形;
(3)有一个角为直角的菱形是正方形;
(4)一组邻边相等的矩形是正方形;
(5)对角线互相垂直的矩形是正方形;
先证明矩形(6)一组邻边相等,有三个角是直角的四边形是正方;
(7)一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方;
(8)对角线互相垂直,平分且相等的四边形是正方形。
:一组对边平行而另一组对边不平行的四边形是梯形。
⑴定义两条腰相等的梯形是等腰梯形。⑵性质:①等腰梯形同一底上的两个内角相等;②对角线相等。
:⑴同一底上的两个底角相等的梯形是等腰梯形。⑵对角线相等的梯形是等腰梯形。
:一条腰和底垂直的梯形是直角梯形。
:①在平面内,由若干条不在同一条直线上的线段首尾顺次相连组成的封闭图形称为多边形。②在平面内,内角和边都相等的多边形为正多边形。③外角:多边形内角的一边与另一边的反向延长线所组成的角叫做这个多边形的外角。④n边形的内角和等于,外角和为360度。⑤n边形的对角线公式:从n边形的一个顶点可以引出
条对角线;n边形共有条对角线。

⑴定义:在平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。定点叫做圆心,定长叫做半径。
⑵与圆相关的概念:
①圆弧:圆上任意两点间的部分叫做圆弧。②弦:连接圆上任意两点的线段叫做弦,经过圆心的弦称为直径。③弦心距:圆心到弦的距离。
⑶与圆有关的角
①圆心角:顶点在圆心的角。圆心角的度数等于它所对的弧的度数。
同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦相等.
②圆周角:顶点在圆上,两边都与圆相交的角,叫做圆周角.
圆周角的性质:Ⅰ在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等;反之,在同圆或等圆中相等圆周角所对的弧也相等.
Ⅱ半圆或直径所对的圆周角是直角;90°的圆周角所对的弦是直径.
Ⅲ一条弧所对的圆周角的度数等于这条弧度数的一半.
③弦切角:顶点在圆上,一边和圆相交,另一边和圆相切的角叫做弦切角。
弦切角的性质:Ⅰ弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角,等于它所夹的弧所对的圆心角的一半。
Ⅱ两个弦切角所夹的弧相等,那么这两个弦切角也相等。
④圆心角与圆周角的关系:在同圆或等圆中,同弧或同弦所对的圆周角等于二分之一的圆心角。
⑷圆的切线
①定义:平面几何中,将和圆只有一个公共交点的直线叫做圆的切线。
②性质定理:圆的切线垂直于经过切点的半径.
推论1:经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点.
推论2:经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心.
③判定定理:Ⅰ经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。Ⅱ与圆有惟一公共点的直线是圆的切线;Ⅲ若圆心到一条直线的距离等于圆的半径,则该直线是圆的切线;
④切线长定理:从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。
⑤相交弦定理:圆内的两条相交弦,被交点分成的两条线段长的积相等。(经过圆内一点引两条弦,各弦被这点所分成的两段的积相等)。
A
P
P
D
C
P
B
推论:如果弦与直径垂直相交,那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项。
⑥切割弦定理:从圆外一点引圆的切线和割线,切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项
几何语言:如图,PT切圆O于点T,PBA是圆O的割线,则有:
推论:从圆外一点引圆的两条割线,这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等。
几何语言:PBAPDC是圆O的割线,则有:.
⑸与圆有关性质
①垂径定理:垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧
推论一:平分弦(不是直径)的直径垂直与这条弦,并且平分这条弦所对的两段弧
推论二:弦的垂直平分线经过圆心,并且平分这条弦所对的弧
推论三:平分弦所对的一条弧的直径垂直平分这条弦,并且平分这条弦所对的另一条弧
推论四:在同圆或者等圆中,两条平行弦所夹的弧相等。
②圆心角、弧、弦心距、弦之间的关系:
在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弧、两条弦心距中有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量分别相等。
⑹与圆有关的三种位置关系
①点与圆的位置关系:
点和圆的位置关系是由这个点到圆心的距离d与半径r的数量大小关系决定的,
即:Ⅰ点在圆外d>r
Ⅱ点在圆上d=r
Ⅲ点在圆内d<r
②直线与圆的位置关系:
相交
直线和圆的位置关系相切
相离
判断直线和圆的位置关系的方法:
方法1:从公共点的个数来判断
当直线和圆有两个公共点时直线和圆相交;
当直线和圆有且只有一个公共点时,直线和圆相切;
当直线和圆没有公共点时,直线和圆相离.
方法2:比较圆心到直线的距离d与半径r的大小
当d<r时,直线和圆相交;
当d=r时,直线和圆相切;
当d>r时,直线和圆相离.
③圆与圆的位置关系:
方法1:比较两圆的半径与圆心距的大小
设两圆的半径分别为R和r,两圆心之间的距离为d
Ⅰ当d>R+r时,两圆外离;
Ⅱ当d=R+r时,两圆外切;
Ⅲ当R-r<d<R+r时,两圆相交;
Ⅳ当d=R-r时(R>r)两圆内切;
Ⅴ当d<R-r(R>r)时,两圆内含。
反之也成立。
方法2:从公共点的个数,和一个圆上的点在另一个圆的外部还是内部来考虑,两个圆的位置关系有五种:外离、外切、相交、内切、内含。
Ⅰ外离:两个圆没有公共点,并且一个圆上的每一点都在另一个圆的外部;
Ⅱ外切:两个圆有唯一公共点,除公共点外一个圆上的点都在另一个圆的外部;
Ⅲ相交:两个圆有两个公共点,一个圆上的点有的在另一个圆的外部,有的在另一个圆的内部;
Ⅳ内切:两个圆有一个公共点,除公共点外,⊙O2上的点在⊙O1的内部;
Ⅴ内含:两个圆没有公共点,⊙O2上的点都在⊙O1的内部.
⑺弧长与扇形的面积
在半径为R的圆中,的圆心角所对的弧长公式:.
如果扇形的半径为R,圆心角为的扇形面积公式:.
或是.(l是扇形的弧长,R是扇形的半径)
⑻圆锥的侧面积:
①圆锥的侧面展开图为扇形.
②设圆锥的底面半径为r,母线长为l,侧面展开图中扇形的圆心角度数为n,那么圆锥的侧面积为:或.
③圆锥的侧面展开图是扇形,其半径等于母线长,,母线长为ι,则它的侧面积:S侧=πrι,S全=S侧+S底=πr(ι+r).
⑼确定圆的条件:不在同一直线上的三点确定一个圆。

⑴比例线段:在四条线段中,如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比,那么这四条线段叫成比例线段,简称比例线段。
⑵比例的基本性质:如果,那么,即内项积等于外项积;
⑶合比性质:,即前后项和比后项,比值不变叫合比。
⑷等比性质:;
⑸黄金分割:若线段AB上的一点P,把线段AB分成AP、BP两部分,并且使,则称线段AB被C黄金分割。
⑹相似多边形:如果两个边数相同的多边形的对应角相等,对应边成比例,这两个多边形叫做相似多边形,相似多边形对应边的比叫做相似比。
相似多边形的性质:
相似多边形性质定理1:相似多边形周长比等于相似比。
相似多边形性质定理2:相似多边形对应对角线的比等于相似比。
相似多边形性质定理3:相似多边形中的对应三角形相似,其相似比等于相似多边形的相似比。
相似多边形性质定理4:相似多边形面积的比等于相似比的平方。
相似多边形性质定理5:若相似比为1,则全等
⑺相似三角形:三角对应相等、三边对应成比例的两个三角形叫做相似三角形。
相似三角形的性质:
Ⅰ相似三角形对应角相等,对应边成比例;
Ⅱ相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等)的比等于相似比。
Ⅲ相似三角形周长的比等于相似比
Ⅳ相似三角形面积的比等于相似比的平方。
Ⅴ相似三角形内,外切圆直径比和周长比都和相似比相同,内,外切圆面积比是相似比的平方
②相似三角形的判定方法:
Ⅰ两角对应相等的两个三角形相似;
Ⅱ三边对应成比例的两个三角形相似;
Ⅲ两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似。
⑻平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例。
推论:平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线),所得的对应线段成比例。
⑼基本定理:⑴如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例,那么这条直线平行于三角形的第三边。
⑵平行于三角形的一边,并且和其他两边相交的直线,所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例
⑽基本点:直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似
⑾直角三角形相似判定方法:如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例,那么这两个直角三角形相似

①常见的几何体的三视图的画法:

②投影:物体在光线的照射下,会在地面或墙壁上留下它的影子,这是投影现象.
Ⅰ平行投影:太阳光线可以看成平行光线,像这样的光线形成的投影称为平行投影.
Ⅱ中心投影:探照灯、手电简、台灯的光线可以看成是从一点发出的,像这样的光线形成的投影称为中心投影。
Ⅲ视点:::。

(1)轴对称图形的定义:在平面内,如果一个图形沿一条直线折叠,直线两旁的部分能够互相重合,这样的图形叫做轴对称图形,这条直线叫做对称轴。这时,我们也说这个图形关于这条直线对称。
(2)轴对称:把一个图形沿着某一条直线翻折过去,如果它能与另一个图形重合,那么称这两个图形成轴对称。
(3)轴对称图形的性质:①对称轴是一条直线。②在轴对称图形中,对称轴两侧的对应点到对称轴的距离相等。③在轴对称图形中,沿对称轴将它对折,左右两边完全重合。④如果两个图形关于某条直线对称,那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。⑤关于某条直线对称的两个图形是全等形。
(4)轴对称的判定方法:如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分,那么这两个图形关于这条直线对称。
⑸常见的轴对称图形:等腰三角形、正方形、等边三角形、等腰梯形、圆和正多边形、矩形、角、五角星

⑴中心对称图形:在平面内,一个图形绕某个点旋转180°,如果旋转前后的图形互相重合,那么这个图形叫做中心对称图形,这个点叫做它的对称中心。
⑵中心对称:在平面内,如果把一个图形绕某个点旋转180°后,能与另一个图形重合,那么就说这两个图形关于这个点成中心对称,这个点叫做对称中心,旋转180°后重合的两个点叫做对应点。
⑶中心对称图形的性质:①在中心对称的两个图形中,连结对称点的线段都经过对称中心且被对称中心平分。②成中心对称的两个图形全等。
⑷中心对称的判定方法:如果两个图形的对应点连线都经过某一点,并且被这一点平分,那么这两个图形关于这一点对称。
⑸常见的中心对称图形:线段、矩形、菱形、正方形、平行四边形、圆、边数为偶数的正多边形。
:正方形、圆、矩形、菱形、边数为偶数的正多边形。

(1)定义:在平面内,将一个图形沿某个方向移动一定的距离,这样的图形运动称为平移。
(2)性质:①平移不改变图形的形状和大小,只改变图形的位置,平移前后新旧两图形全等。②经过平移,对应点所连的线段平行且相等,对应线段平行且相等,对应角相等。

(1)定义:在平面内,将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一个角度,这样的图形运动称为旋转。这个定点称为旋转中心。
(2)性质:①经过旋转,图形上的每一点都绕旋转中心沿相同方向转动了相同的角度;②任意一对对应点与旋转中心的连线所成的角都是旋转角;③对应点到旋转中心的距离相等。
(二)实数

正有理数:比0大的数。
正实数
正无理数:无限不循环的正的小数。
实数零
负有理数:在正数前面加“-”的数;比0小的数。
负实数负无理数:无限不循环的负的小数。

(1)在数轴上表示两个数的点,右边的点表示的数大于左边的点表示的数。