高中数学一知识点.doc

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一、极限
数列极限
函数极限,,
,,
求极限(主要方法):
(1)
(2)等价无穷小替换(P76)。当时,
代换时要注意,只有乘积因子才可以代换。
(3)洛必达法则(),只有可以直接用罗比达法则。
幂指函数求极限:;
或,令,两边取对数,若,则。
结合变上限函数求极限。
二、连续
左、右连续
函数连续函数既左连续又右连续
闭区间上连续函数性质:最值,有界,零点(结合证明题),介值,推论。
三、导数
左导数
右导数
微分
可导连续 可导可微 可导既左可导又右可导
求导数:
(1) 复合函数链式法则
(2) 隐函数求导法则
两边对求导,注意、是的函数。
(3)参数方程求导
四、导数的应用
(1)罗尔定理和拉格朗日定理(证明题)
(2)单调性(导数符号),极值(第一充分条件和第二充分条件),最值。
(3)凹凸性(二阶导数符号),拐点(曲线上的点,二维坐标,曲线在该点两侧有不同凹凸性)。
第四章不定积分
原函数 不定积分
基本性质 或
或
(分项积分)

基本积分公式
(1);(2)
(3)(4)
(5)(6)
(7)(8)
(9)(10)
(11)(12)
(13)
除了上述基本公式之外,还有几个常用积分公式
.
.
.
. 9.
求不定积分的方法
直接积分法:恒等变形,利用不定积分的性质,直接使用基本积分公式。
换元法:第一类换元法(凑微分法)

第二类换元法(变量代换法)
(注意回代)
换元的思想:
主要有幂代换、三角代换、倒代换
分部积分法
的优先选取顺序为:指数函数;三角函数;幂函数
第五章 定积分
一、概念
定义
性质:设、在区间上可积,则定积分有以下的性质.
(1).;
(2).;
(3).;
(4). 若在上,,则;
,,则
推论2.()
(5).若函数在区间上可积,且,则
(6).(定积分中值定理)设在区间上连续,则存在,使
.
积分上限函数及其性质
(1).,或;
(2).如果,则.
(3).如果,
则.
广义积分
(1).无穷限积分
.
.
收敛的充分必要条件是反常积分、同时收敛,并且在收敛时,有
.
(2).瑕积分
为瑕点
为瑕点
为瑕点则收敛与均收敛,并且在收敛时,有
二、计算
定积分的计算
1、微积分基本公式:设函数在区间上连续,且,则
,牛顿-莱布尼兹(N-L)公式
2、换元法:设函数在区间上连续,函数满足:
①在区间上可导,且连续;
②,,当时,,则
3、分部积分法:,或.
4、偶倍奇零:设函数在区间上连续,则
5、.
6、分段函数的定积分。
与积分上限函数相关的计算
广义积分的计算(依据定义先求原函数,再求极限)
三、定积分的应用
(一)几何应用
平面图形的面积
(1)直角坐标 ,
或
(2)参数方程 若与及x轴所围成的面积, 分别是曲边的起点的横坐标与终点的横坐标的参数值。
(3)极坐标 由曲线所围的曲边扇形
的面积
旋转体的体积
(1)直角坐标:由曲线与轴所围曲边梯形绕轴旋转一周的旋转体的体积
由曲线与轴所围曲边梯形绕轴旋转一周的旋转体的体积
(2)参数方程由与及x轴所围成的图形绕x由旋转一周的旋转体的体积
3、平面曲线的弧长(积分限从小到大)
(1)直角坐标
(2)参数方程
(3)极坐标
(二)物理应用
(步骤:建立坐标系,选择积分变量,求出功的微元或压力微元,求定积分)
阿基米德螺线心形线
双纽线摆线
第六章微分方程
一、内容小结:
(一)、概念:微分方程;阶;通解;特解;初始条件;初值问题;线性相关;线性无关
(二)、解的结构
齐次线性
非齐次线性
1、是(*)的解,则也是(*)的解;若线性无关,则为(*)的通解)
2、是(**)的解,则是对应齐次线性方程的解
是(*)的通解,是(**)的解,则是(**)的通解
(三)、解方程:判别类型,确定解法。一阶,二阶。
二、一阶微分方程求解
1、可分离变量方程
或或
解法:先分离变量,两边再同时积分
2、齐次方程
则
或者解法:
3、一阶线性微分方程
齐次线性
非齐次线性
三、二阶微分方程求解
(一)、可降阶情形
1、
2、不显含y的二阶方程
解法:
3、不显含x的二阶方程
解法:
(二)、二阶线性微分方程
1、二阶常系数齐次线性微分方程(其中为常数)
特征方程
特征根
且为实根,则微分方程通解为
为相等实根,则微分方程通解为
为一对共轭复根,则微分方程通解为
2、二阶常系数非齐次线性微分方程
,(为常数,是m次多项式)
其具有特解形式其中为与同次的多项式,