第六章实数知识点复习.doc

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(1)定义:一般地,如果一个数的平方等于a,那么这个数叫做a的平方根,也叫做a的二次方根。
正的平方根用来表示,(读做“根号a”)
对于正数a
负的平方根用“”表示(读做“负根号a”)
如果x2=a,则x叫做a的平方根,记作“”(a称为被开方数)。
(2)平方根的性质:
①一个正数有两个平方根,这两个平方根互为相反数;
②0只有一个平方根,它就是0本身;
③负数没有平方根.
(3)开平方的定义:求一个数的平方根的运算,叫做开平方.
(4)算术平方根:正数a的正的平方根叫做a的算术平方根,记作“”。
(5)本身为非负数,即≥0;有意义的条件是a≥0。
(6)公式:⑴()2=a(a≥0);
2、立方根
(1)定义:一般地,如果一个数的立方等于a,这个数就叫做a的立方根(也叫做三次方根)。
即X3=a,把X叫做a的立方根。数a的立方根用符号“”表示,读作“三次根号a”。
(2)立方根的性质:
正数有一个正的立方根;0的立方根是0;负数有一个负的立方根。
(3)开立方:求一个数的立方根的运算,叫做开立方。开立方与立方也是互为逆运算,因此求一个数的立方根可以通过立方运算来求.
3、规律总结
(1)平方根是其本身的数是0;算术平方根是其本身的数是0和1;立方根是其本身的数是0和±1。
(2)每一个正数都有两个互为相反数的平方根,其中正的那个是算术平方根;任何一个数都有唯一一个立方根,这个立方根的符号与原数相同。
二、平方根、立方根例题。
例1、(1)下列各数是否有平方根,请说明理由
①(-3)2②02③-
(2)下列说法对不对?为什么?
① 4有一个平方根② 只有正数有平方根
③ 任何数都有平方根
④ 若a>0,a有两个平方根,它们互为相反数
例2、求下列各数的平方根:
(1)9(2)(3)(4)
例3、设,则下列结论正确的是()
A. B.
C. D.
举一反三:
【变式1】1);)-)___________,___________,___________.
【变式2】求下列各式中的
(1) (2) (3)

【例4、判断下列说法是否正确
(1)的算术平方根是-3; (2)的平方根是±15.
(3)当x=0或2时,
例5、求下例各式的值:
(1)(2)(3)(4)
三、实数知识复习。
1、实数的分类
无理数:无限不循环的小数称为无理数。
2、绝对值
(1)一个正数的绝对值是它本身,
一个负数的绝对值是它的相反数,
零的绝对值是零。
(2)一个数的绝对值表示这个数的点离开原点的距离。
(3)注意:
例6、当a<0时,化简的结果是()
A0B-1C1D½
例7、化简下列各式:
(1)|-| (2)|π-|
(3)|-|
分析:要正确去掉绝对值符号,就要弄清绝对值符号内的数是正数、负数还是零,然后根据绝对值的定义正确去掉绝对值。
解:(1)∵=…<
∴|-|=-
(2)∵π=…<
∴|π-|=-π
(3)
∵<,∴|-|=-
【变式1】化简:
3、有关实数的非负性
注意:(1)任何非负数的和仍是非负数;
(2)若几个非负数的和是0,那么这几个非负数均为0.
例8、已知(x-6)2++|y+2z|=0,求(x-y)3-z3的值。
解:∵(x-6)2++|y+2z|=0
且(x-6)2≥0,≥0,|y+2z|≥0,
几个非负数的和等于零,则必有每个加数都为0。
∴解这个方程组得
∴(x-y)3-z3=(6-2)3-(-1)3=64+1=65
【变式2】已知那么a+b-c的值为___________
4、实数比较大小的方法
1、识记下列各式的值,结果保留4个有效数字:
2、方法一:差值比较法
差值比较法的基本思路是设a,b为任意两个实数,先求出a与b的差,再根据当a-b﹥0时,得到a﹥b。当a-b﹤0时,得到a﹤b。当a-b=0,得到a=b。
3、方法二:商值比较法
商值比较法的基本思路是设a,b为任意两个正实数,先求出a与b得商。当<1时,a<b;当>1时,a>b;当=1时,a=b。来比较a与b的大小。
4、方法三:平方法
平方法的基本是思路是先将要比较的两个数分别平方,再根据a>0,b>0时,可由>得到a>b来比较大小,这种方法常用于比较无理数的大小。
5、方法四:估算法
估算法的基本是思路是设a,b为任意两个正实数,先估算出a,b两数或两数中某部分的取值范围,再进行比较。
选择适当的方法比较下列数的大小。
(1)比较1-与1-的大小。(2)比较与的大小。
(3)比较2与3的大小(4)当时,,,的大小顺序是______________。
(1)解∵(1-)-(1-)=>0,∴1->1-。
(2)解:∵3<<4∴-3<1∴<
(3)解:∵2==,3==。
又∵28>27,∴2>3。
(4)解:取=,则:=,=2。
∵<<2,∴<<。