高中数学知识点精讲——极限和导数.doc

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一、数学归纳法:
1、数学归纳法的步骤:“两步一结论”.
2、数学归纳法的应用:主要用于证明与自然数有关的恒等式和不等式.
3、重要的数学思想和方法:“归纳—猜想—证明”.
习题:①用数学归纳法证明:.
②用数学归纳法证明:.
③已知数列满足,求.
二、极限
1、数列极限:
(1)公式:(C为常数);(p>0);.
(2)运算法则:
若数列和的极限都存在,则和的和、差、积、商的极限等于和的极限的和、差、积、商.
例题:①将直线、、(,)围成的三角形面积记为,则.
②已知和是两个不相等的正整数,且,则.
习题:①.
②设0<a<b,则=_____.
③若,则.
④等于.
⑤数列的前n项和为Sn,则=________.
⑥已知数列的首项,其前项的和为,且,则=.
2、函数极限:
(1)公式:(C为常数);(p>0);
;.
(2)运算法则:
若函数和的极限都存在,则函数和的和、差、积、商的极限等于和的极限的和、差、积、商.
习题:①;.
②已知,,且,则.
③.
3、函数的连续性:
函数在处连续的充要条件是.
习题:①已知函数在x=0处连续,则.
②已知,下面结论正确的是()
(A)在处连续(B)
(C)(D)
③若,则常数的值分别为.
三、导数
1、导数的概念:
(1)导数的定义:函数在处的导数.
(2)导数的几何意义:()处的切线方程为.
(3)导数的物理意义:
若质点运动的位移函数为S=s(t),则时质点运动的瞬时速度是.
例题:①若,则等于.
②若曲线在点处的切线与两个坐标围成的三角形的面积为18,则.
③如图,一个正五角星薄片(其对称轴与水面垂直)匀速地升出水面,记t时刻五角星露出水面部分的图形面积为,则导函数的图像大致为
④已知曲线.
(1)求曲线在点处的切线方程;(2)求曲线过点的切线方程.
⑤求抛物线上的点到直线距离的最小值.
习题:①若,则等于.
②运动曲线方程为,则t=3时的速度是.
③已知函数y=f(x),y=g(x)的导函数的图象如下图,那么y=f(x),y=g(x)的图象可能是
④曲线在点(1,1)处的切线方程是.
⑤已知点P在曲线y=上,为曲线在点P处的切线的倾斜角,则的取值范围是.
2、导数的运算:
(1)常见函数的导数:
;;;.
;;;.
(2)导数的四则运算法则:
;
,;
.
(3)复合函数的求导法则:首先,选定中间变量,分解复合关系,说明函数关系y=f(μ),μ=f(x);然后将已知函数对中间变量求导,中间变量对自变量求导;最后求,并将中间变量代回为自变量的函数
习题:①若满足,则.
②等比数列中,,,,则.
③求下列函数的导数:
(1)(2).
3、导数的应用:
(1)求函数的单调性:用导数求函数单调区间的一般步骤为:求;>0的解集与定义域的交集的对应区间为增区间;<0的解集与定义域的交集的对应区间为减区间.
例题:①函数的单调递增区间为.
②已知函数,求()的单调区间.
③若函数在区间(1,4)内为减函数,在区间(6,+∞)上为增函数,试求实数a的取值范围.
④已知函数在上是增函数,求的取值范围.
习题:①函数的单调减区间为.
②若恰有三个单调区间,则的取值范围是.
③已知a>0,函数f(x)=x3-ax在[1,+∞)上是单调增函数,则a的最大值是.
④求函数()的单调性.
⑤是否存在这样的k值,使函数在(1,2)上递减,在(2,+∞)上递增
(2)求函数的极值:求导数;求方程=0的根;用函数的导数为0的点,顺次将函数的定义区间分成若干小开区间,并列成表格,检查在方程根左右的值的符号,如果左正右负,那么在这个根处取得极大值;如果左负右正,那么在这个根处取得极小值;如果左右不改变符号即都为正或都为负,则在这个根处无极值.
例题:①已知函数f(x)=ax3+bx2-3x在x=±1处取得极值,求f(x)的极大值和极小值.
②函数f(x)=x3-6bx+3b在(0,1)内有极小值,则b的取值范围为.
③已知函数在处取得极大值,在处取得极小值,且.(1)证明;(2)若z=a+2b,求z的取值范围.
习题:①已知函数=x3+ax2+bx+a2在x=1处有极值为10,则=______
②设为实数,函数,求的极值.
③设函数,,求函数的极值.
(3)求函数的最值:利用导数求函数的最值步骤:求在内的极值;将的各极值与、比较得出函数在上的最值.
例题:①函数在区间上的最大值是.
②求抛物线上与点距离最近的点.
③设函数,其中常数.
(1)讨论的单调性;(2)若当时,恒成立,求的取值范围.
习题:①用总长148m的钢条制作一个长方体容器的框架如果所制作容器的底面的一边比另一边长05m,那么高为多少时容器的容积最大?并求出它的最大容积.
②设且,g(x)是f(x),恒有成立,求t的取值范围.
(4)证明不等式:
例题:①当0<x<时,证明:x<sinx<x.
②设为实数,:当且时,.
习题:求证不等式:.
(5)讨论方程的根的情况:利用数形结合法,方程的根就是函数和x轴的图象交点的横坐标.
例题:①函数,则方程在区间[1,2]上的根有个.
②已知函数.
(1)求曲线在点处的切线方程;
(2)设,如果过点可作曲线的三条切线,证明:.
习题:设函数,且方程有且仅有一个实根,求的取值范围.