高等代数知识点总结第三版.doc

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知识点考点精要


(1)由sn个数(i=1,2…s;j=1,2……n)排成n行n列的数表,称为s行n列矩阵,简记为。
(2)矩阵的相等设,,如果m=l,n=k,且,对i=1,2…m;j=1,2……n都成立,则称A与B相等,记A=B。
(3)各种特殊矩阵行矩阵,列矩阵,零矩阵,方阵(上)下三角矩阵,对角矩阵,数量矩阵,单位矩阵。

(1)矩阵的加法
+=
运算规律:
i)A+B=B+A
i)(A+B)+C=A+(B+C)
iii)A+O=A
iv)A+(-A)=O
(3)数与矩阵的乘法
运算规律:
(k+l)A=kA+lA,
k(A+B)=ka+kB
k(lA)=(kl)A
lA=A.
(3)矩阵的乘法
其中
运算规律:
i)(AB)C=A(BC)
i)A(B+C)=AB+AC
iii)(B+C)A=BA+CA
iv)k(AB)=A(kB)=(kA)B
一般情况,
ABBA
AB=AC,A0B=C
AB=0A=0或B=0
(4)矩阵的转置
A的转置就是指矩阵
运算规律:
i)
ii)
iii)
iv)
(5)方阵的行列式
设方阵A的行列式为
运算规律:
i)
ii)
iii),这里A,B均为n级方阵。


(1)矩阵可逆的定义
n级方阵A称为可逆的,如果有n级方阵B,使得AB=BA=E,这里E是单位矩阵。
(2)伴随矩阵
设是矩阵中元素的代数余子式,矩阵称A的伴随矩阵。

(1)矩阵A可逆的充分必要条件是A非退化(),而
(2)如果矩阵A,B可逆,那么与AB也可逆,且
(3)设A是sn矩阵,如果P是ss可逆矩阵,Q是nn可逆矩阵,
那么秩(A)=秩(PA)=秩(AQ)

了解分块矩阵的概念及运算,特别是准对角矩阵的性质。
对于两个有相同分块的准对角矩阵
,如果它们相应的分块是同级的,则
(1)
(2)
(3)
(4)A可逆的充要条件是可逆,且此时,


(1)初等变换
i)用一个非零的数k乘矩阵的第i行(列)记作
ii)互换矩阵中i,j两行(列)的位置,记作
iii)将第i行(列)的k倍加到第j行(列)上,记作称为矩阵的三种初等行(列)矩阵。
初等行,列变换称为初等变换所得到的矩阵。
(2)初等方阵
单位矩阵经一次初等变换所得到的矩阵。、

(1)对一个sn矩阵A作一次初等行变换就相当于在A的左边乘上相应的ss初等矩阵;对A作一次初等列变换就相当于在A的右边乘上相应的nn初等矩阵。
(2)任意一个sn矩阵A都与一形式为的等价,它称为矩阵A的标准型,主对角线上1的个数等于A的秩。
(3)n级矩阵A为可逆的充分必要条件是,它能表示成一些初等矩阵的乘积。
(4)两个sn矩阵A,B等价的充分必要条件是,存在可逆的s级矩阵P与可逆的n级矩阵Q,使B=PAQ。

把n级矩阵A,E这两个nn矩阵凑在一起,得到一个n2n矩阵(AE),用初等行变换把它的左边一半化成E,这时,右边的一半就是。
第五章二次型
知识考点精要

(1)二次型
设P是一数域,一个系数在数域P中的的二次齐次多项式称为数域P上的一个n元二次型。
(2)二次型矩阵
设是数域P上的n元二次型,可写成矩阵形式
其中x=,A=。A称为二次型的矩阵。秩(A)称为二次型的秩。
(3)矩阵的合同
数域P上nn矩阵A,B称为合同的,如果有属于P上可逆的nn矩阵C,使

定理数域P上任意一个二次型都可以经过非退化的线性替换化成标准型用矩阵的语言叙述,即数域P上任意一个对称矩阵合同于一个对角矩阵。
定理任意一个复系数的二次型经过一适当的非退化的线性替换化成规范型且规范形是唯一的。
定理任意一个实系数的二次型经过一适当的非退化的线性替换化成规范型且规范形是唯一的,其中p称为此二次型的正惯性指数,q称为此二次型的负惯指数,2p-q称为此二次型的符号差。

(1)基本概念
i)正定二次型实二次型称为正定的,如果对于任意一组不全为零的实数,都有
ii)正定矩阵
实对称矩阵A称为正定的,如果二次型正定。
iii)负定半正定半负定不定的二次型
设是一实二次型,对于任意一组不全为零的实数,如果,那么称为负定的;如果都有那么称为半正定的;如果都有,那么称为半负定的;如果它既不是半正定的又不是半负定的,那么就称为不定的。
(2)正定二次型,正定矩阵的判定
对于实二次型=,其中A是实对称的,下列条件等价;
i)是正定的,
i)A是正定的
iii)的正惯指数为n
iv)A与单位矩阵合同
v)A的各阶顺序主子式大于零
第六章线性空间
知识点考点精要


设V是一个非空集合,P是一个数域。在集合V的元素之间定义了一种代数运算;这就是说,给出了一个法则,对于V中的任意两个元素,在v中都有唯一的一个元素r与它们对应,称为与的和,记为。
在数域P与集合V的元素之间还定义了一种运算,叫做数量乘法;这就是说,对于属于P中任意数k与V中任意元素,在V中都有唯一的元素与它们对应,称为k与的数量乘积,记为。
如果加法与数量乘法满足下述规则,那么V称为数域P上的线性空间。
(1)
(2)
(3)在V中有一元素0,对于V中任意元素都有
(具有这个性质的元素0称为V的零元素);
(4)对于V中的每一个元素,都有V中的元素,使得(称为的负元素)
(5);
(6)
(7)
(8)
,基与坐标
(1)如果在线性空间V中有n个线性无关的向量。但是没有更多数目的线性无关的向量,那么V就称为n维的。如果在V中可以找到任意多个线性无关的向量,那么V就称为无限维的。
(2)如果在线性空间V中有n个线性无关的向量,且V中任一向量都可以用它们线性表出,那么V是n维的,而就是V的一组基。
(3)在n维线性空间中,n个线性无关的向量称为V的一组基。设是V中任一向量,于是,线性相关,因此可以被基唯一的线性表出,其中系数称为在基下的坐标,
记().

(1)设与是n维线性空间V中两组基,如果
矩阵称为到基的过度矩阵。
(2)设与是n维线性空间V中两组基,由基到基的过度矩阵为A,向量在这两组基下的坐标分别为()与,
则=A。


(1)数域P中线性空间V的一个非空子集合W称为V的一个线性子空间,如果W对于V的两种运算也构成数域P上的线性空间。
(2)线性空间V的非空子集W是V的子空间的充分必要条件是W对于V的两种运算封闭。

(1)线性空间V的子空间的交与和,即都是V的子空间。
(2)维数公式如果是线性空间V的两个子空间,那么
维()+维()=维()+维()

(1)设是线性空间V的子空间,如果和中的每个向量的分解式
,是唯一的,这个和就称为直和,记为。
(2)设是线性空间V的子空间,下列这些条件是等价的:
i)是直和
ii)零向量的表示式是唯一的
iii)={0}
iv)维()=维()+维()。

,如果由V到有一个1---1的映上的映射,具有以下性质:
(1)
(2)
其中是V中任意向量,k是P中任意数,这样的映射称为同构映射。
。
第七章线性变换
知识点考点精要


线性空间V的的一个变换đ称为线性变换,如果对于V中任意元素和数域P中任意数k,都有đ=đ()+đ()đ(K)=kđ()

设đ,是数域P上线性空间V的两个线性变换,kP。
(1)加法(đ+)()=đ()+()
(2)数乘(kđ)()=kđ()
(3)乘法(đ)()=đ(())
(4)逆变换
V的变换đ称为可逆的,如果有V的变换,使đ=đ=(V的恒等变换)
,đ是V中的一个线性变换,基向量的象可以被基线性表出:
用矩阵来表示是A()=()=()A(1)
其中矩阵A称为đ在基下列矩阵。
(2)设是数域P上n维向量空间V的一组基,在这组基下,每个线性变换按公式(1)对应一个nn矩阵。这个对应具有以下性质:
i)线性变换的和对应于矩阵的和
ii)线性变换的乘积对应于矩阵的乘积;
iii)线性变换的数量乘积对应于矩阵的数量乘积;
iv)可逆的线性变换与可逆矩阵对应,且逆变换对应于逆矩阵。
(3)设线性变换đ在基下的矩阵是A,向量在基下的坐标是,则đ在基下的坐标()可按公式计算。
(4)设A,B为数域P上两个n级矩阵,如果可以找到数域P上的n级可逆矩阵X,使得,就说A相似于B。
(5)线性变换在不同基下所对应的矩阵是相似的;反过来,如果两个矩阵相似,那么它们可以看作同一线性变换在两组基下所对应的矩阵。


设A是数域P上线性空间V的一个线性变换,如果对于数域P中一数,存在一非零向量,使得A=,那么称为A的一个特征值,称为A的属于特征值的一个特征向量。

(1)设A是数域P上一个n级矩阵,是一个文字,矩阵E-A的行列式
称为A的特征多项式,这是数域P上的一个n次多项式,则