高中数学不等式知识点.doc

该【高中数学不等式知识点 】是由【莫比乌斯】上传分享，文档一共【6】页，该文档可以免费在线阅读，需要了解更多关于【高中数学不等式知识点 】的内容，可以使用淘豆网的站内搜索功能，选择自己适合的文档，以下文字是截取该文章内的部分文字，如需要获得完整电子版，请下载此文档到您的设备，方便您编辑和打印。不等式知识要点
1.⑴平方平均≥算术平均≥几何平均≥调和平均(a、b为正数):
(当a=b时取等)
特别地,(当a=b时,)
:不等式的解为()
A.-1<x≤1或x≥2 <-3或1≤x≤2
=4或-3<x≤1或x≥2 =4或x<-3或1≤x≤2
求定义域的时候不要写成并集;分子分母同时约去一项前必须先保证约去的一项不为零
:
分析:本例主要复习含绝对值不等式的解法,分类讨论的思想。本题的关键不是对参数进行讨论,而是去绝对值时必须对末知数进行讨论,得到两个不等式组,最后对两个不等式组的解集求并集,得出原不等式的解集。
解:当
根的分布你还记得吗
。
?
:①②③
(1)若同时满足①、②的值也满足③,求m的取值范围;
(2)若满足的③值至少满足①和②中的一个,求m的取值范围。
分析:本例主要综合复习整式、分式不等式和含绝对值不等的解法,以及数形结合思想,解本题的关键弄清同时满足①、②的值的满足③的充要条件是:③对应的方程的两根分别在和内。不等式和与之对应的方程及函数图象有着密不可分的内在联系,在解决问题的过程中,要适时地联系它们之间的内在关系。
解:记①的解集为A,②的解集为B,③的解集为C。
解①得A=(-1,3);解②得B=
因同时满足①、②的值也满足③,ABC
设,由的图象可知:方程的小根小于0,大根大于或等于3时,即可满足
因满足③的值至少满足①和②中的一个,因此小根大于或等于-1,大根小于或等于4,因而
说明:同时满足①②的x值满足③的充要条件是:③对应的方程2x+mx-1=0的两根分别在(-∞,0)和[3,+∞)内,因此有f(0)<0且f(3)≤0,否则不能对A∩,在解决问题的过程中,要适时地联系它们之间的内在关系.
=f(x)的图象经过原点,且1≤f(-1)≤2,3≤f(1)≤4,求f(-2)的范围.
分析:要求f(-2)的取值范围,只需找到含人f(-2)的不等式(组).由于y=f(x)是二次函数,所以应先将f(x)(-2)的表达式,然后依题设条件列出含有f(-2)的不等式(组),即可求解.
解:因为y=f(x)的图象经过原点,所以可设y=f(x)=ax2+
解法一(利用基本不等式的性质)
不等式组(Ⅰ)变形得
(Ⅰ)所以f(-2)的取值范围是[6,10].
解法二(数形结合)
建立直角坐标系aob,作出不等式组(Ⅰ)所表示的区域,(-2)=4a-2b,所以4a-2b-f(-2)=,当直线4a-2b-f(-2)=0过点A(2,1),B(3,1)时,分别取得f(-2)的最小值6,(-2)的取值范围是:6≤f(-2)≤10.
解法三(利用方程的思想)
又f(-2)=4a-2b=3f(-1)+f(1),而
1≤f(-1)≤2,3≤f(1)≤4,①
所以3≤3f(-1)≤6.②
①+②得4≤3f(-1)+f(1)≤10,即6≤f(-2)≤10.
说明:(1)在解不等式时,:
2b,8≤4a≤12,-3≤-2b≤-1,所以5≤f(-2)≤11.
常见题型:
(为常数),,求的最小值.
,且,求的最小值.
,求证:.
,使成等比数列;若另外插入两个正数,使成等差数列,求证:.
大家来挑错!
分析:结合上一系列题目中的(5)-(7)题可知,本题的解答忽略了对基本不等式使用时必须是正数这一点注意事项。
本题的解答在使用基本不等式时没有找到定值条件,只是盲目的套用基本不等式的形式,导致所得结果并不是最小的值。
提醒同学注意:在使用基本不等式求最值为题时,式中的积或和必须是定值。
本题的解答没有注意本身的限制,使得基本不等式的等号无法取得。
提醒同学注意:最值是否存在要考虑基本不等式中的等号是否能取得,在什么情况下取得
(x+y)()≥≥9.(想一想错在何处?)
例4(2007山东卷)函数的图象恒过定点,若点在直线上,其中,则的最小值为_______.
【思路点拨】先用恒过定点这一条件建立一个关系式,再用均值不等式求最值.
【解析】∵函数的图象恒过定点,
∴,即,,
∴
【点评】本题是用函数、方程作为隐性条件建立等量关系式,,是立意很好的题目.
含绝对值的不等式解法
(一)主要知识:
:是指数轴上点到原点的距离;是指数轴上两点间的距离
,或,
;
当时,,.
(二)主要方法:
,将其等价转化为一元一次(二次)不等式(组)进行求解;
:
(1)公式法:,或.
(2)定义法:零点分段法;
(3)平方法:不等式两边都是非负时,两边同时平方.
(三)例题分析:
:
(1);(2);(3).
解:(1)原不等式可化为或,∴原不等式解集为.
(2)原不等式可化为,即,∴原不等式解集为.
(3)当时,原不等式可化为,∴,此时;
当时,原不等式可化为,∴,此时;
当时,原不等式可化为,∴,此时.
综上可得:原不等式的解集为.
例2.(1)对任意实数,恒成立,则的取值范围是;
(2)对任意实数,恒成立,则的取值范围是.
解:(1)可由绝对值的几何意义或的图象或者绝对值不等式的性质得,∴;
(2)与(1)同理可得,∴.