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必修五
第一章:解三角形

1、正弦定理:在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等,即
一般地,已知三角形的某些边和角,求其他的边和角的过程叫作解三角形。
2、已知ABC中,A,,求
证明出
解:设
则有,,
从而==
又,所以=2
评述:在ABC中,等式
恒成立。
3、已知ABC中,,求
(答案:1:2:3)

1、余弦定理:三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍。即
从余弦定理,又可得到以下推论:
2、在ABC中,已知,,,求b及A
⑴解:∵
=cos
=
=
∴
求可以利用余弦定理,也可以利用正弦定理:
⑵解法一:∵cos
∴
解法二:∵sin
又∵>
<
∴<,即<<
∴
评述:解法二应注意确定A的取值范围。
3、在ABC中,若,求角A(答案:A=120)

1、在ABC中,已知,讨论三角形解的情况分析:先由可进一步求出B;
则从而
,必须才能有且只有一解;否则无解。
,
如果≥,那么只有一解;
如果,那么可以分下面三种情况来讨论:
(1)若,则有两解;
(2)若,则只有一解;
(3)若,则无解。
(以上解答过程详见课本第910页)
评述:注意在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时,只有当A为锐角且
时,有两解;其它情况时则只有一解或无解。
2、(1)在ABC中,已知,,,试判断此三角形的解的情况。
(2)在ABC中,若,,,则符合题意的b的值有_____个。
(3)在ABC中,,,,如果利用正弦定理解三角形有两解,求x的取值范围。
(答案:(1)有两解;(2)0;(3))
3、在ABC中,已知,,,判断ABC的类型。
解:,即,
∴。
4、(1)在ABC中,已知,判断ABC的类型。
(2)已知ABC满足条件,判断ABC的类型。
(答案:(1);(2)ABC是等腰或直角三角形)
5、在ABC中,,,面积为,求的值
解:由得,
则=3,即,
从而

1、两灯塔A、B与海洋观察站C的距离都等于akm,灯塔A在观察站C的北偏东30,灯塔B在观察站C南偏东60,则A、B之间的距离为多少?
解略:akm
某人在M汽车站的北偏西20的方向上的A处,观察到点C处有一辆汽车沿公路向M站行驶。公路的走向是M站的北偏东40。开始时,汽车到A的距离为31千米,汽车前进20千米后,到A的距离缩短了10千米。问汽车还需行驶多远,才能到达M汽车站?
解:由题设,画出示意图,设汽车前进20千米后到达B处。在ABC中,AC=31,BC=20,AB=21,由余弦定理得
cosC==,
则sinC=1-cosC=,
sinC=,
所以sinMAC=sin(120-C)=sin120cosC-cos120sinC=
在MAC中,由正弦定理得
MC===35
从而有MB=MC-BC=15
答:汽车还需要行驶15千米才能到达M汽车站。
3、S=absinC,,S=bcsinA,S=acsinB
4、在ABC中,求证:
(1)(2)++=2(bccosA+cacosB+abcosC)
证明:(1)根据正弦定理,可设
===k
显然k0,所以
左边=
==右边
(2)根据余弦定理的推论,
右边=2(bc+ca+ab)
=(b+c-a)+(c+a-b)+(a+b-c)
=a+b+c=左边
变式练习1:已知在ABC中,B=30,b=6,c=6,求a及ABC的面积S
提示:解有关已知两边和其中一边对角的问题,注重分情况讨论解的个数。
答案:a=6,S=9;a=12,S=18
5、如图,在四边形ABCD中,ADB=BCD=75,ACB=BDC=45,DC=,求:
AB的长
四边形ABCD的面积
略解(1)因为BCD=75,ACB=45,所以
ACD=30,又因为BDC=45,所以
DAC=180-(75+45+30)=30,
所以AD=DC=
在BCD中,CBD=180-(75+45)=60,所以
=,BD==
在ABD中,AB=AD+BD-2ADBDcos75=5,
所以得AB=
S=ADBDsin75=
同理,S=
所以四边形ABCD的面积S=
第二章:数列

1、概括数列的概念:按照一定顺序排列着的一列数称为数列,数列中的每一个数叫做这个数列的项。
辩析数列的概念:“1,2,3,4,5”与“5,4,3,2,1”是同一个数列吗?与“1,3,2,4,5”呢?给出首项与第n项的定义及数列的记法:{an}
2、数列的分类:有穷数列与无穷数列;递增数列与递减数列,常数列。
3、数列的表示方法:项公式列表和图象等方法表示数列
4、=2an-1+1(n∈N,n>1),(※)式称为递推公式。递推公式也是数列的一种表示方法。

1、数列:一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列。
这个常数叫做等差数列的公差,公差通常用字母d表示。
2、个数a,A,b组成的等差数列可以看成最简单的等差数列,这时,A叫做a与b的等差中项。
3、等差数列中,若m+n=p+q则
4、通项公式:以为首项,d为公差的等差数列的通项公式为:
5、迭加法和迭代法推导等差数列的通项公式:
(迭加法):是等差数列,所以
……
两边分别相加得
所以
(迭代法):是等差数列,则有
……
所以
6、⑴求等差数列8,5,2,…的第20项.
⑵-401是不是等差数列-5,-9,-13,…的项?如果是,是第几项?
解:⑴由=8,d=5-8=-3,n=20,得
⑵由=-5,d=-9-(-5)=-4,得这个数列的通项公式为由题意知,本题是要回答是否存在正整数n,使得-401=-4n-1成立。
解这个关于n的方程,得n=100,即-401是这个数列的第100项。
7、,起步价为10元,即最初的4km(不含4千米)计费10元。如果某人乘坐该市的出租车去往14km处的目的地,且一路畅通,等候时间为0,需要支付多少车费?
解:根据题意,当该市出租车的行程大于或等于4km时,每增加1km,,我们可以建立一个等差数列来计算车费.
令=,表示4km处的车费,公差d=。那么当出租车行至14km处时,n=11,此时需要支付车费
答:。

1、倒序相加法求和
我们用两种方法表示:
(1)①
②
由①+②,得
由此得到等差数列的前n项和的公式
(2)
=
=
=
=
2、已知一个等差数列前10项的和是310,?
解:由题意知,
将它们代入公式
得到
解这个关于与d的方程组,得到=4,d=6,
所以
另解:
得
所以②
②-①,得,
所以
代入①得:
所以有
3、已知数列的前n项为,?如果是,它的首项与公差分别是什么?
解:根据
>
与
可知,当n>1时,①
当n=1时,也满足①式.
所以数列的通项公式为.
由此可知,数列是一个首项为,公差为2的等差数列。
,可求出通项
(n>1)
4、如果一个数列前n项和公式是常数项为0,且关于n的二次型函数,则这个数列一定是等差数列.
5、已知等差数列的前n项和为,求使得最大的序号n的值.
解:由题意知,等差数列的公差为,所以