概率论概率统计期末考试知识点.doc

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第一章随机事件与概率
本章重点:随机事件的概率计算.
1.**事件的关系及运算
(1)(或).
(2)和事件:;(简记为).
(3)积事件:,(简记为或).
(4)互不相容:若事件A和B不能同时发生,即
(5)对立事件:.
(6)差事件:若事件A发生且事件B不发生,记作(或).

(7)德摩根(DeMorgan)法则:对任意事件A和B有
,.
2.**古典概率的定义
古典概型:
.
几何概率
·
3.**概率的性质
(1).
(2)(有限可加性)设n个事件两两互不相容,则有
.
(3).
(4)若事件A,B满足,则有
,
.
(5).
(6)(加法公式)对于任意两个事件A,B,有
.
对于任意n个事件,有
.
4.**条件概率与乘法公式
.
乘法公式:
.
5.*随机事件的相互独立性
事件A与B相互独立的充分必要条件一:
,
事件A与B相互独立的充分必要条件二:
.
对于任意n个事件相互独立性定义如下:对任意一个,任意的,若事件总满足
,
.
6.*贝努里概型与二项概率
设在每次试验中,随机事件A发生的概率,则在n次重复独立试验中.,事件A恰发生次的概率为
,
7.**全概率公式与贝叶斯公式
贝叶斯公式:
如果事件两两互不相容,且,,,则
.
第二章一维随机变量及其分布
本章重点:离散型和连续性随机变量的分布及其概率计算.
概率论主要研究随机变量的统计规律,也称这个统计规律为随机变量的分布.
1.**离散型随机变量及其分布律

分布律也可用下列表格形式表示:
2.*概率函数的性质
(1) ,
(2) .
3.*常用离散型随机变量的分布
(1) 0—1分布,它的概率函数为
,
其中,或1,.
(2) 二项分布,它的概率函数为
,
其中,,.
(4)** 泊松分布,它的概率函数为
,
其中,,.
.4.*二维离散型随机变量及联合概率
二维离散型随机变量的分布可用下列联合概率函数来表示:
其中,.
5.*二维离散型随机变量的边缘概率
设为二维离散型随机变量,为其联合概率(),称概率为随机变量的边缘分布律,记为并有
,
称概率为随机变量Y的边缘分布率,记为,并有
=.
.
设为二维离散型随机变量,与相互独立的充分必要条件为
.
7.*随机变量函数的分布
设是一个随机变量,是一个已知函数,是随机变量的函数,,下面来求这个新的随机变量的分布.
设离散型随机变量的概率函数为
则随机变量函数的概率函数可由下表求得

但要注意,若的值中有相等的,则应把那些相等的值分别合并,同时把对应的概率相加.
第三章连续型随机变量及其分布
本章重点:一维及二维随机变量的分布及其概率计算,边缘分布和独立性计算.
1.*分布函数
随机变量的分布可以用其分布函数来表示,
.

(1)
(2);
由已知随机变量的分布函数,可算得落在任意区间内的概率
.

二维随机变量的联合分布函数
.

(1) ;
(2),
;
(3) .
5.**连续型随机变量及其概率密度
设随机变量的分布函数为,如果存在一个非负函数,使得对于任一实数,有
成立,则称X为连续型随机变量,函数称为连续型随机变量的概率密度.
6.**概率密度及连续型随机变量的性质
(1)
(2);
(3);
(4)设为连续型随机变量,则对任意一个实数c,;
(5) 设是连续型随机变量的概率密度,则有
=.
7.**常用的连续型随机变量的分布
(1) 均匀分布,它的概率密度为
其中,.
(2) 指数分布,它的概率密度为
其中,.
(3) 正态分布,它的概率密度为
,
其中,,当时,称为标准正态分布,它的概率密度为
,
标准正态分布的分布函数记作,即
,
当出时,可查表得到;当时,可由下面性质得到
.
设,则有
;
.
8.**二维连续型随机变量及联合概率密度
对于二维随机变量(X,Y)的分布函数,如果存在一个二元非负函数,使得对于任意一对实数有
成立,则为二维连续型随机变量,为二维连续型随机变量的联合概率密度.
9.**二维连续型随机变量及联合概率密度的性质
(1);
(2);’
(3)在的连续点处有
;
(4)设为二维连续型随机变量,则对平面上任一区域有
.
10,**二维连续型随机变量的边缘概率密度
设为二维连续型随机变量的联合概率密度,则的边缘概率密度为
;
的边缘概率密度为
.

(1) 均匀分布
如果在二维平面上某个区域G上服从均匀分布,则它的联合概率密度为
(2)二维正态分布
如果的联合概率密度
则称服从二维正态分布,并记为
.
如果,则,,即二维正态分布的边缘分布还是正态分布.
12.**随机变量的相互独立性.
,
那么,称随机变量与相互独立.
设为二维连续型随机变量,则与相互独立的充分必要条件为
,与相互独立的充分必要条件是.
第四章随机变量的数字特征
本章重点:随机变量的期望。方差的计算.
1.**数学期望
设是离散型的随机变量,其概率函数为
则定义的数学期望为
;
设为连续型随机变量,其概率密度为,则定义的数学期望为
.
2.*随机变量函数的数学期望
设为离散型随机变量,其概率函数
则的函数的数学期望为
设为二维离散型随机变量,其联合概率函数
则的函数的数学期望为
;
3.**数学期望的性质
(1)(其中c为常数);
(2)(为常数);
(3);
(4)如果与相互独立,则.
4.**方差与标准差
随机变量的方差定义为
.
计算方差常用下列公式:
’
当为离散型随机变量,其概率函数为
则的方差为
;
当为连续型随机变量,其概率密度为,则的方差为
.
随机变量的标准差定义为方差的算术平方根.
5.**方差的性质
(1)(c是常数);
(2)(为常数);
(3)如果与独立,则.

随机变量的阶原点矩定义为;
随机变量的阶中心矩定义为];
7.**常用分布的数字特征
(1)当服从二项分布时,
.
(2)当服从泊松分布时,
,
(3)当服从区间上均匀分布时,
(4)当服从参数为的指数分布时,
(5)当服从正态分布时,
.
(6)当服从二维正态分布时,
;
;